《Water》：Physics-Informed Neural Networks for One-Dimensional Groundwater Contaminant Transport: A Synthetic Numerical Study of Prediction and Parameter Inversion
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本研究开发了一种基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的代理模型，用于求解含吸附作用的一维合成地下水污染物运移问题，并以Crank–Nicolson数值解作为参考数据。研究系统评估了观测密度和噪声对预
本研究开发了一种基于物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN）的代理模型，用于求解含吸附作用的一维合成地下水污染物运移问题，并以Crank–Nicolson数值解作为参考数据。研究系统评估了观测密度和噪声对预测精度、训练不确定性及参数反演的影响。针对物理信息时间覆盖范围关注不足及PINN训练成本高的问题，研究进一步考察了物理约束的时间范围对外推预测的影响，以及迁移学习（Transfer Learning, TL）在吸附机制内部及跨吸附机制情形下提升训练效率的可行性。结果表明，当物理约束——包括对流–弥散方程（Advection–Dispersion Equation, ADE）残差以及给定的初始条件和边界条件——覆盖目标预测时段（0.3 < t < 0.6）时，PINN能够准确预测浓度值并降低初始化引起的不确定性，其在精度和稳定性上均优于纯数据驱动的神经网络。例如，在t = 0.6时，PINN-T6的决定系数（R2）达到0.990，而DNN的R2仅为?1.122。然而，当目标时段位于物理约束区间之外时，预测误差和不确定性随外推距离的增加而增大，PINN的长期预测性能可能趋近于纯数据驱动模型。在t = 0.6时，PINN-T3的R2降至0.377，原因在于其物理约束仅施加至t = 0.3。在源任务与目标任务共享相同线性吸附方程的情形下，迁移学习加速了训练初期的收敛过程，但随着训练预算的增加，该优势逐渐减弱。从线性吸附到Freundlich吸附的跨机制迁移仅在训练初期提供暂时性收益，最终导致负迁移，表明其有效性取决于物理相似性和可用的训练预算。
物理信息神经网络在地下水污染物运移建模中的应用：预测精度、物理约束时间覆盖、噪声鲁棒性与迁移学习策略的系统评估
一、研究背景与问题提出
地下水是支撑工业活动、农业灌溉以及城乡供水的重要淡水资源。然而，工业废水排放、化肥施用和固体废弃物处置等人类活动日益加剧，导致污染物不断进入地下水系统，对地下水质量构成严重威胁。污染物进入含水层后，其运移和归宿受平流、水动力弥散、分子扩散、吸附和降解等物理–地球化学耦合过程的共同控制。其中，吸附作用能够显著改变溶质运移速率和污染物羽流的空间分布，是控制含水层中污染物运移和归宿的关键过程。因此，准确刻画含吸附作用的溶质运移对于地下水污染风险评估和修复具有重要意义。
对流–弥散方程（Advection–Dispersion Equation, ADE）是描述地下水溶质运移的经典控制方程，可通过引入阻滞因子（Retardation Factor）来表征吸附效应。解析方法虽能直接揭示溶质浓度的时空演化规律，但通常需要均质介质和简单边界条件等理想化假设；数值方法虽能处理复杂边界和非均质含水层，但往往需要复杂的网格生成和大量计算资源，难以满足大规模场景预测和实时参数反演的需求。
近年来，深度学习被广泛应用于地下水建模、预测和参数反演。传统深度神经网络（Deep Neural Network, DNN）作为纯数据驱动模型，通常需要大量训练数据，且在观测稀疏时泛化能力较差。为解决这一局限，Raissi等人提出了物理信息神经网络（Physics-Informed Neural Network, PINN），将控制方程及初始条件和边界条件嵌入损失函数，将物理一致性与深度学习的非线性逼近能力相结合。
尽管PINN在地下水溶质运移领域已展现出较大潜力，但仍存在若干重要研究空白：第一，物理信息的作用尚未得到充分关注，现有研究多聚焦于观测点的数量和空间分布及观测噪声的影响，而物理约束的时间覆盖范围对预测精度和外推稳定性的影响缺乏系统量化；第二，PINN训练需要大量配置点采样和自动微分的反复梯度计算，计算成本高昂，制约了大规模应用和重复训练；第三，针对含吸附作用的一维ADE的PINN代理建模仍相对有限，观测密度和噪声对浓度预测及参数反演精度和稳定性的影响尚未被系统评估。
二、研究内容与主要结论
本研究开发了含吸附作用的一维ADE的PINN代理模型，以Crank–Nicolson数值解为参考数据，并以纯数据驱动DNN作为性能对比。研究系统评估了PINN的预测精度和训练不确定性，分别量化了观测密度和物理约束时间覆盖范围的影响，评估了PINN对观测噪声的鲁棒性，考察了迁移学习在参数设置变化时提升训练效率的可行性，并将阻滞因子作为可训练变量以同时重构浓度场和估计其数值。
研究得出以下主要结论：PINN对污染物运移预测的价值不仅取决于将控制方程纳入损失函数，更关键的是物理约束是否覆盖目标预测时段。当ADE残差及给定的初始条件和边界条件贯穿整个预测时段时，物理约束能够限制可行解空间，提高外推稳定性并增强对观测噪声的抵抗力。单纯增加空间观测密度无法弥补时间域上物理信息的缺失。迁移学习在源任务与目标任务共享相似控制物理机制时，在训练初期最为有效，而吸附机制的差异可能削弱继承的表征并导致负迁移。阻滞因子反演在受控的单参数设定下可行，但其精度取决于观测是否足以分辨浓度梯度和污染羽前锋位置。
三、关键技术方法
本研究采用的主要技术方法包括：其一，Crank–Nicolson数值方法，用于求解一维ADE并获得参考解，该数值解已与解析解进行对比验证；其二，深度神经网络（DNN），由输入层、多个隐藏层和输出层组成，采用四层隐藏层、每层64个神经元、tanh激活函数的全连接网络结构；其三，物理信息神经网络（PINN），将ADE残差及初始条件和边界条件嵌入损失函数，采用Adam优化器，初始学习率为10?3，物理约束采用均匀分布的时空配置点，包括40000个偏微分方程配置点、5000个初始条件点和各5000个边界条件点；其四，迁移学习（Transfer Learning, TL），将源域模型学到的权重用于初始化目标域PINN并进行微调，考察了线性吸附参数域内迁移和从线性到Freundlich吸附的跨机制迁移两种场景。所有计算在Windows 11环境下使用Python 3.12.13、PyTorch 2.11.0、CUDA 12.8和NVIDIA GeForce RTX 4090 D GPU完成。
四、研究结果
4.1 预测精度与训练不确定性
在观测时段内（t ≤ 0.3），PINN和DNN均能较好地捕捉浓度剖面，但随预测时域延长，两者差异逐渐增大。在t = 0.4时，PINN和DNN的R2分别为0.999和0.976，RMSE分别为0.00287和0.01317；在t = 0.6时，PINN的R2保持在0.990以上，RMSE低于0.003，而DNN的R2降至?1.122，RMSE升至0.03790。通过100次随机种子独立训练的蒙特卡洛重复训练分析，PINN的预测不确定性区间窄且均匀，对随机初始化不敏感；而DNN的预测不确定性区间显著更宽，且向下游区域明显扩大，表明纯数据驱动模型对参数初始化高度敏感。
4.2 观测密度与物理信息时间覆盖的影响
在观测密度方面，将空间观测点从21增加到101和501，PINN和DNN的预测精度均未出现显著或单调的提升。在t = 0.6时，DNN在21、101和501个观测点下的R2分别为?1.122、?0.056和?0.052。增加空间数据密度仅改善了观测时段内浓度剖面的表征，但无法提供未来时间演化的信息，对长时域预测的贡献呈现边际递减。
在物理约束时间覆盖方面，PINN-T3（物理约束仅施加至t = 0.3）在t = 0.4时仍能准确再现浓度剖面（RMSE为0.00339），但在t = 0.6时R2降至0.377，RMSE升至0.02054；而PINN-T6（物理约束覆盖至t = 0.6）在t = 0.6时仍保持R2为0.990，RMSE为0.00263。在t > 0.3后，PINN-T3和DNN的误差及不确定性均随预测时间增大而增加，而PINN-T6在整个预测时段内保持低误差和低变异性。
4.3 观测噪声对预测鲁棒性的影响
在0%、5%和10%噪声水平下，PINN-T6在t = 0.5处的R2分别为0.999、0.998和0.995，保持高精度；PINN-T3的R2从无噪声时的0.908降至10%噪声时的0.665；DNN的R2从0.835降至?2.214。100次独立试验的统计结果表明，PINN-T6在5%和10%噪声下均保持高精度和较窄的性能分布，PINN-T3表现中等但随噪声增大而下降，DNN对观测噪声最为敏感。
4.4 线性吸附参数域内的迁移学习
在源参数（Pe = 5，R = 2）到目标参数（Pe = 50，R = 20）的线性吸附迁移中，TL-PINN在4000个训练周期时即达到R2为0.997，超过随机初始化的PINN训练16000个周期的精度。100次重复试验表明，TL-PINN在所有训练阶段均获得更高的预测精度和更集中的结果，在4000和8000周期时100%的试验中优于PINN，在16000周期时仍有93%的试验占优。迁移增益随训练周期增加而逐渐下降，表明源域知识的促进作用主要体现在训练初期。
4.5 跨机制迁移至Freundlich吸附
在从线性吸附迁移至非线性Freundlich吸附（R = 50，无量纲吸附强度参数为23.75，非线性指数a = 0.8）的情形中，TL-PINN在4000周期时将RMSE从0.19222降至0.08246，降低约57.1%。然而，在8000和16000周期时，随机初始化的PINN取得了更低的RMSE。100次试验中，TL-PINN在4000和8000周期时分别在70%和69%的配对试验中优于PINN，但在16000周期时该比例降至14%，配对增益整体转为负值，表明跨机制迁移最终导致负迁移。
4.6 参数反演精度与不确定性
将阻滞因子R作为可训练变量（真实值为2.0，初始估计为1.0），在5、21和101个空间观测点下进行100次独立反演。结果表明，PINN能够在反演参数的同时重构浓度场。观测密度对估计偏差的影响大于对运行间变异性的影响：随观测点数从5增加到21和101，平均估计R从1.751增至1.914和1.960，相对误差从约12.4%降至4.3%和2.0%。小标准差相对于系统性偏差表明，有限的观测信息对参数估计误差的贡献大于随机网络初始化。
五、讨论与结论
本研究表明，PINN对污染物运移预测的价值不仅取决于将控制方程纳入损失函数，更关键的是物理约束是否覆盖目标预测时段。当ADE残差及初始条件和边界条件贯穿整个预测时段时，它们能够限制可行解空间，提高外推稳定性和抗噪声能力。单纯增加空间观测密度无法弥补时间域上物理信息的缺失。迁移学习在源任务与目标任务共享相似控制物理机制时，在训练初期最为有效，而吸附机制的差异可能削弱继承的表征并导致负迁移。阻滞因子反演在受控的单参数设定下可行，但其精度取决于观测是否足以分辨浓度梯度和污染羽前锋位置。
这些发现为PINN运移模型中配置点的时间分布选择、浓度观测设计和迁移策略评估提供了指导。然而，研究结论仅限于均质一维合成问题及给定的流场和边界条件，在应用于场地尺度地下水预测之前，仍需在非均质多维系统、耦合反应过程以及实验室或场地观测条件下进行进一步验证。
