求解含矩形障碍物外部诺伊曼问题的多区域复合谱方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Multi-domain composite spectral method for solving the exterior Neumann problem with a rectangular obstacle

　　

## 摘要

本文提出了一种多区域谱方法，用于求解具有Neumann边界条件和矩形障碍物的二维外部问题。为分析误差，构造了若干复合准正交逼近，它们同时满足相邻子域界面处的连续性条件和外部域的Neumann边界条件。针对两个模型问题，提出了复合谱方案，并利用这些逼近进行了误差分析。与Dirichlet边界条件下的外部问题相比，主要挑战在于在相邻子域公共边界处的函数值的同时施加外部边界条件。此外，对于Neumann问题，确保障碍物顶点处的一致性至关重要。本文引入了一种高效算法，采用有限差分法和谱配置法进行时间离散化。谱配置法显著提高了计算效率。数值实验表明所提算法具有高精度和有效性，验证了理论分析的结论。

## 引言

在物理学中，Neumann边界值问题常用于建模稳态热传导、电势分布或有界区域内的弹性变形等现象。由于这些问题的精确解很少能获得，数值方法在其分析中起着至关重要的作用[1]-[4]。具体而言，在研究多边形障碍物周围的流体流动或外部域中的热传递时，需要求解外部Neumann边界值问题[5]-[7]。现有方法通常涉及直接求解受Neumann条件约束的边界积分方程，或者将控制微分方程转化为边界积分形式后求解。此外，边界元法、有限元法和完美匹配层法等数值技术被广泛用于处理这些外部问题。

另一方面，我们必须超越上述方法，例如谱方法。具体而言，我们专注于求解多边形区域或多面体障碍物外部域中的Neumann问题。为此开发高效的数值方法仍然是一项关键但具有挑战性的任务。在过去几十年中，Laguerre谱方法在求解无界区域上的PDE方面取得了显著进展，详见[8]-[12]。特别是，谱方法已成功应用于涉及球体、圆盘或分离星形障碍物的外部问题[13]-[17]。然而，在工程应用中，解决非光滑几何区域内的问题[18]-[20]，特别是涉及多面体或多边形障碍物的外部问题，具有显著的挑战性。为此，文献[21]、[22]的作者提出了一种区域分解谱方法来求解具有多边形障碍物和Dirichlet边界条件的外部域中的二阶和四阶问题。

本文提出了一种基于区域分解的多区域复合谱方法，用于数值求解矩形障碍物外部域中的两个模型Neumann边界值问题，该域定义为$\Omega_0=\{(x_1,x_2) \mid -1 \leq x_1,x_2 \leq 1\}$（见图1）。外部域记为$\Omega=\mathbb{R}^2\setminus\Omega_0$。其边界$\Gamma$分解为四段：$\Gamma=\Gamma_1\cup\Gamma_2\cup\Gamma_3\cup\Gamma_4$，定义如下：$\Gamma_1=\{(x_1,x_2) \mid x_1=1,-1\leq x_2\leq 1\}$，$\Gamma_2=\{(x_1,x_2) \mid -1\leq x_1\leq 1,x_2=1\}$，$\Gamma_3=\{(x_1,x_2) \mid x_1=-1,-1\leq x_2\leq 1\}$，$\Gamma_4=\{(x_1,x_2) \mid -1\leq x_1\leq 1,x_2=-1\}$。

外部域$\Omega$被划分为八个子域，如图1所示，使得$\Omega=\bigcup_{j=1}^8\Omega_j$。为简洁起见，我们仅提供部分子域的代表性集合表示。例如：$\Omega_1=\{(x_1,x_2) \mid 1< />
记号$\gamma_{j,j+1}$（其中$\gamma_{8,9}=\gamma_{8,1}$）表示相邻子域$\omega_j$和$\omega_{j+1}$（$j=1,2,\cdots,8$）之间的公共边界。类似地，特定公共边界的定义如下：$\gamma_{1,2}=\{(x_1,x_2)\in\omega \mid x_1\geq 1,x_2=1\},\cdots,\gamma_{7,8}=\{(x_1,x_2)\in\omega \mid x_1=1,x_2\leq -1\}$。

此外，设$v_{j+1/2}$（$j=1,3,5,7$）表示相邻子域$\omega_j,\omega_{j+1}$和$\omega_{j+2}$（其中$\omega_9=\omega_1$）的公共顶点。具体而言，这些顶点对应障碍物的角点：$v_1:=(1,1)$，$v_2:=(-1,1)$，$v_3:=(-1,-1)$，$v_4:=(1,-1)$。

我们解决了在矩形障碍物外部域中数值求解neumann边界值问题的若干关键挑战。第一个挑战在于构造基函数。具体而言，这些函数必须满足整个边界$\gamma$上的neumann边界条件，并在每个子域内准确逼近解。第二个也是更具挑战性的任务是确保解在子域界面处的连续性，同时逼近法向导数并估计整个边界上的函数值。第三个挑战是在整个计算域内保持谱精度。为克服这些困难，我们采用以下策略：

- 在某些子域中应用二维laguerre逼近，在其他子域中应用混合legendre-laguerre逼近。
- 构造基函数以强制界面间的连续性，并确保解的正规性，包括其法向导数和边界值。
- 利用复合准正交逼近来维持外部域中数值解的谱精度。

除上述三个主要挑战及其相应策略外，矩形障碍物外部域中的neumann问题还存在一个额外复杂性：边界$\gamma$上的解可能是非齐次的。此外，两组基函数（参见上述前两个策略中使用的基函数）被构造为在矩形障碍物的四个顶点处消失。因此，仅这些基函数无法保证数值解在这些关键点处的连续性。为解决此问题，有必要在四个顶点处引入补充基函数，这显著增加了基函数系统整体构造的复杂性。

此外，对于非齐次neumann边界条件，我们构造了一种新的齐次化函数来将问题转化为具有齐次neumann边界条件的问题。具体而言，我们不在子域$\omega_i$（$i=1,2,\cdots,8$）的边界上施加neumann迹，从而将问题简化为在各子域上求解（参见[23]第1页式(1.2)）。此外，我们避免考虑子域上的neumann迹，从而使变分公式不涉及neumann迹空间（如[24]第41页式(5)所要求），从而使误差分析相对简单。

为便于误差分析，我们首先建立了针对外部域、专门适用于基于区域分解的neumann边界值问题的复合多区域准正交逼近框架。在第3节中，我们开发了针对矩形障碍物外部域中两个模型neumann问题的复合多区域谱方法，并提供了严格的收敛性证明。第4节详细介绍了算法的具体实现，数值结果表明了算法的高精度和有效性。特别是，该方法对具有不同特性的测试函数产生了高精度结果。为提高计算效率，我们还结合了时空谱方法，这显著减少了计算时间。最后，我们对论文进行了总结，并讨论了未来研究方向。

## 章节片段

### 多区域复合逼近

本节建立了基于区域分解的矩形障碍物外部域复合多区域准正交逼近结果。这些结果构成了复合多区域方法误差分析的数学基础。

### 多区域复合谱方法

本节专注于外部域中neumann边界值问题的多区域谱方法。

### 数值结果

本节实施了矩形障碍物外部neumann问题的复合谱方法。给出若干数值算例以验证前一节推导的理论分析。理论误差估计由式(3.10)给出，提供了关于$m$和$n$的显式收敛界。

所有计算均在一台配备第12代intel(r) core(tm) i9-12900 k 3.20 ghz处理器的dell台式机上完成，运行64位

## 结论

本文提出了一种用于求解矩形障碍物外部域中neumann边界值问题的多区域复合谱方法。为确保数值解的正规性，我们采用了第4节中引入的基函数。这些函数保证了数值解在整个外部域中的连续性，并准确逼近边界处的法向导数。特别是，该方法在逼近方面实现了高精度

### credit作者贡献声明

jia tan：撰写——初稿。tian-jun wang：撰写——审阅与编辑，资金获取。

### 利益冲突声明

作者确认与本文相关的机构或个人不存在利益冲突。

jia tan | tian-jun wang 记号$\gamma_{j,j+1}$（其中$\gamma_{8,9}=\Gamma_{8,1}$）表示相邻子域$\Omega_j$和$\Omega_{j+1}$（$j=1,2,\cdots,8$）之间的公共边界。类似地，特定公共边界的定义如下：$\Gamma_{1,2}=\{(x_1,x_2)\in\Omega \mid x_1\geq 1,x_2=1\},\cdots,\Gamma_{7,8}=\{(x_1,x_2)\in\Omega \mid x_1=1,x_2\leq -1\}$。 此外，设$v_{j+1 2}$（$j=1,3,5,7$）表示相邻子域$\Omega_j,\Omega_{j+1}$和$\Omega_{j+2}$（其中$\Omega_9=\Omega_1$）的公共顶点。具体而言，这些顶点对应障碍物的角点：$V_1:=(1,1)$，$V_2:=(-1,1)$，$V_3:=(-1,-1)$，$V_4:=(1,-1)$。 我们解决了在矩形障碍物外部域中数值求解neumann边界值问题的若干关键挑战。第一个挑战在于构造基函数。具体而言，这些函数必须满足整个边界$\gamma$上的neumann边界条件，并在每个子域内准确逼近解。第二个也是更具挑战性的任务是确保解在子域界面处的连续性，同时逼近法向导数并估计整个边界上的函数值。第三个挑战是在整个计算域内保持谱精度。为克服这些困难，我们采用以下策略： - 在某些子域中应用二维laguerre逼近，在其他子域中应用混合legendre-laguerre逼近。 - 构造基函数以强制界面间的连续性，并确保解的正规性，包括其法向导数和边界值。 - 利用复合准正交逼近来维持外部域中数值解的谱精度。 除上述三个主要挑战及其相应策略外，矩形障碍物外部域中的neumann问题还存在一个额外复杂性：边界$\gamma$上的解可能是非齐次的。此外，两组基函数（参见上述前两个策略中使用的基函数）被构造为在矩形障碍物的四个顶点处消失。因此，仅这些基函数无法保证数值解在这些关键点处的连续性。为解决此问题，有必要在四个顶点处引入补充基函数，这显著增加了基函数系统整体构造的复杂性。 此外，对于非齐次neumann边界条件，我们构造了一种新的齐次化函数来将问题转化为具有齐次neumann边界条件的问题。具体而言，我们不在子域$\omega_i$（$i=1,2,\cdots,8$）的边界上施加Neumann迹，从而将问题简化为在各子域上求解（参见[23]第1页式(1.2)）。此外，我们避免考虑子域上的Neumann迹，从而使变分公式不涉及Neumann迹空间（如[24]第41页式(5)所要求），从而使误差分析相对简单。 为便于误差分析，我们首先建立了针对外部域、专门适用于基于区域分解的neumann边界值问题的复合多区域准正交逼近框架。在第3节中，我们开发了针对矩形障碍物外部域中两个模型neumann问题的复合多区域谱方法，并提供了严格的收敛性证明。第4节详细介绍了算法的具体实现，数值结果表明了算法的高精度和有效性。特别是，该方法对具有不同特性的测试函数产生了高精度结果。为提高计算效率，我们还结合了时空谱方法，这显著减少了计算时间。最后，我们对论文进行了总结，并讨论了未来研究方向。 ## 章节片段 ### 多区域复合逼近 本节建立了基于区域分解的矩形障碍物外部域复合多区域准正交逼近结果。这些结果构成了复合多区域方法误差分析的数学基础。 ### 多区域复合谱方法 本节专注于外部域中neumann边界值问题的多区域谱方法。 ### 数值结果 本节实施了矩形障碍物外部neumann问题的复合谱方法。给出若干数值算例以验证前一节推导的理论分析。理论误差估计由式(3.10)给出，提供了关于$m$和$n$的显式收敛界。 所有计算均在一台配备第12代intel(r) core(tm) i9-12900 k 3.20 ghz处理器的dell台式机上完成，运行64位 ## 结论 本文提出了一种用于求解矩形障碍物外部域中neumann边界值问题的多区域复合谱方法。为确保数值解的正规性，我们采用了第4节中引入的基函数。这些函数保证了数值解在整个外部域中的连续性，并准确逼近边界处的法向导数。特别是，该方法在逼近方面实现了高精度 ### credit作者贡献声明 jia tan：撰写——初稿。tian-jun wang：撰写——审阅与编辑，资金获取。 ### 利益冲突声明 作者确认与本文相关的机构或个人不存在利益冲突。 jia tan | tian-jun>
记号$\gamma_{j,j+1}$（其中$\gamma_{8,9}=\gamma_{8,1}$）表示相邻子域$\omega_j$和$\omega_{j+1}$（$j=1,2,\cdots,8$）之间的公共边界。类似地，特定公共边界的定义如下：$\gamma_{1,2}=\{(x_1,x_2)\in\omega \mid x_1\geq 1,x_2=1\},\cdots,\gamma_{7,8}=\{(x_1,x_2)\in\omega \mid x_1=1,x_2\leq -1\}$。

此外，设$v_{j+1/2}$（$j=1,3,5,7$）表示相邻子域$\omega_j,\omega_{j+1}$和$\omega_{j+2}$（其中$\omega_9=\omega_1$）的公共顶点。具体而言，这些顶点对应障碍物的角点：$v_1:=(1,1)$，$v_2:=(-1,1)$，$v_3:=(-1,-1)$，$v_4:=(1,-1)$。

我们解决了在矩形障碍物外部域中数值求解neumann边界值问题的若干关键挑战。第一个挑战在于构造基函数。具体而言，这些函数必须满足整个边界$\gamma$上的neumann边界条件，并在每个子域内准确逼近解。第二个也是更具挑战性的任务是确保解在子域界面处的连续性，同时逼近法向导数并估计整个边界上的函数值。第三个挑战是在整个计算域内保持谱精度。为克服这些困难，我们采用以下策略：

- 在某些子域中应用二维laguerre逼近，在其他子域中应用混合legendre-laguerre逼近。
- 构造基函数以强制界面间的连续性，并确保解的正规性，包括其法向导数和边界值。
- 利用复合准正交逼近来维持外部域中数值解的谱精度。

除上述三个主要挑战及其相应策略外，矩形障碍物外部域中的neumann问题还存在一个额外复杂性：边界$\gamma$上的解可能是非齐次的。此外，两组基函数（参见上述前两个策略中使用的基函数）被构造为在矩形障碍物的四个顶点处消失。因此，仅这些基函数无法保证数值解在这些关键点处的连续性。为解决此问题，有必要在四个顶点处引入补充基函数，这显著增加了基函数系统整体构造的复杂性。

此外，对于非齐次neumann边界条件，我们构造了一种新的齐次化函数来将问题转化为具有齐次neumann边界条件的问题。具体而言，我们不在子域$\omega_i$（$i=1,2,\cdots,8$）的边界上施加neumann迹，从而将问题简化为在各子域上求解（参见[23]第1页式(1.2)）。此外，我们避免考虑子域上的neumann迹，从而使变分公式不涉及neumann迹空间（如[24]第41页式(5)所要求），从而使误差分析相对简单。

为便于误差分析，我们首先建立了针对外部域、专门适用于基于区域分解的neumann边界值问题的复合多区域准正交逼近框架。在第3节中，我们开发了针对矩形障碍物外部域中两个模型neumann问题的复合多区域谱方法，并提供了严格的收敛性证明。第4节详细介绍了算法的具体实现，数值结果表明了算法的高精度和有效性。特别是，该方法对具有不同特性的测试函数产生了高精度结果。为提高计算效率，我们还结合了时空谱方法，这显著减少了计算时间。最后，我们对论文进行了总结，并讨论了未来研究方向。

## 章节片段

### 多区域复合逼近

本节建立了基于区域分解的矩形障碍物外部域复合多区域准正交逼近结果。这些结果构成了复合多区域方法误差分析的数学基础。

### 多区域复合谱方法

本节专注于外部域中neumann边界值问题的多区域谱方法。

### 数值结果

本节实施了矩形障碍物外部neumann问题的复合谱方法。给出若干数值算例以验证前一节推导的理论分析。理论误差估计由式(3.10)给出，提供了关于$m$和$n$的显式收敛界。

所有计算均在一台配备第12代intel(r) core(tm) i9-12900 k 3.20 ghz处理器的dell台式机上完成，运行64位

## 结论

本文提出了一种用于求解矩形障碍物外部域中neumann边界值问题的多区域复合谱方法。为确保数值解的正规性，我们采用了第4节中引入的基函数。这些函数保证了数值解在整个外部域中的连续性，并准确逼近边界处的法向导数。特别是，该方法在逼近方面实现了高精度

### credit作者贡献声明

jia tan：撰写——初稿。tian-jun wang：撰写——审阅与编辑，资金获取。

### 利益冲突声明

作者确认与本文相关的机构或个人不存在利益冲突。

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