测量误差下基于部分随机化应答技术的分层校准估计量：不同距离度量的影响

《Axioms》：Impact of Partial Randomized Response Technique on Stratified Calibration Estimators with Different Types of Distance Measures in the Presence of Measurement Error

　　

校准（Calibration）是一种通过整合辅助信息提高总体参数估计精度的方法论方法。在本研究中，研究人员在测量误差存在的情况下，基于部分随机化应答技术（Partial Randomized Response Technique, PRRT），开发了一种新的比率校准方法，并采用多种距离度量，以解决分层抽样下总体均值估计的问题。此外，为显示PRRT模型下测量误差的影响，研究人员将所提出的校准估计量与类似的直接估计量（即不存在测量误差和随机化的情况）进行比较。通过使用真实数据集的模拟研究，评估了所提出的校准估计量的有效性。

# 测量误差与部分随机化应答技术下分层校准估计方法研究解读

## 一、研究背景与问题

在社会调查中，涉及个人隐私或敏感话题的问题（如医疗与法律过失、药物成瘾、犯罪记录、人工流产、家庭暴力等）常常导致受访者提供不准确、回避性甚至故意误报的回答。为鼓励真实回答并保护受访者隐私，研究者发展了随机化应答技术（Randomized Response Technique, RRT）和扰乱应答技术（Scrambled Response Technique, SRT）。Warner首次提出RRT后，该技术被广泛研究与应用。Mangat和Singh引入的部分随机化应答技术（Partial Randomized Response Technique, PRRT）是一种两阶段随机化程序：第一阶段随机选取一部分受访者直接提供真实回答，其余受访者进入第二阶段使用随机化应答机制。与可选随机化应答技术（Optional Randomized Response Technique, ORRT）不同，PRRT中受访者被分配到真实回答或随机化回答机制是由抽样程序决定的，而非受访者自行选择。

另一个重要问题是测量误差。尽管调查方法通常假设研究变量和辅助变量被准确测量，但实际中测量误差可能来自报告困难、记录错误、仪器限制等非抽样误差来源。分层抽样中利用辅助信息可以提高估计效率，校准估计通过最小化指定距离度量并满足校准约束来调整初始设计权重。已有研究如Gupta和Trisandhya在测量误差下研究了分层抽样中基于不同距离度量的校准估计量，但尚未有研究在PRRT框架下结合测量误差与多种距离度量来构造分层比率型校准估计量。因此，本研究旨在填补这一空白。

## 二、研究内容与主要结论

研究人员在PRRT模型和测量误差同时存在的情况下，针对分层抽样中敏感变量总体均值的估计问题，提出了三种基于不同距离度量的分层比率型校准估计量。具体而言，研究采用经典可加测量误差模型，并将其扩展到分层抽样和PRRT框架下，同时考虑研究变量与辅助变量均受测量误差污染的情形。通过最小化三种距离函数（分别对应不同形式的校准权重）并满足共同的校准约束，推导出三种校准估计量的表达式及其一阶近似方差。模拟研究使用印度安得拉邦多个城市的真实环境空气质量监测数据，以细颗粒物PM_2.5和PM₁₀的年均浓度作为研究变量和辅助变量，构造了包含三个异质层的有限总体。研究考虑了三种测量误差方差设置（Set-I、Set-II、Set-III）、三个抽样比例（约10%、20%、30%）、不同的测量误差相关系数以及不同的PRRT随机化参数P，进行了10,000次蒙特卡洛模拟。

主要结论包括：第一，三种提出的校准估计量在绝对相对偏差（Absolute Relative Bias, ARB）上表现相近，差异较小，其中基于某种距离度量的估计量在部分设置下略优，但优势不具一致性。第二，测量误差相关系数对ARB有明显影响，且影响模式随P和抽样比例变化。第三，测量误差设置显著影响估计量的偏差和效率表现。第四，当与PRRT下无测量误差的估计量比较时，测量误差的存在导致效率损失（相对效率通常低于100），说明测量误差对估计效率有不利影响。第五，当与既无测量误差也无随机化的直接估计量比较时，PRRT机制结合测量误差导致效率进一步下降，但该机制在敏感问题调查中仍具有重要实用价值，因为它保护受访者隐私并鼓励真实回答。

## 三、关键技术方法

研究采用的主要技术方法包括：（1）部分随机化应答技术（PRRT），即通过两阶段随机化程序生成扰乱应答变量，其中扰乱变量Z_h服从均值为1、方差为1的正态分布，扰乱变量S_h服从均值为0、方差为1的正态分布；（2）经典可加测量误差模型，假设测量误差与真实变量独立，且研究变量和辅助变量的测量误差相关系数为ρ_h；（3）校准估计方法，采用三种距离函数并通过拉格朗日乘数法求解校准权重；（4）蒙特卡洛模拟，基于真实环境监测数据（来源为印度中央污染控制委员会公开数据）构建有限总体，重复10,000次独立模拟计算模拟方差和百分比相对效率（Percent Relative Efficiency, PRE）。样本队列来源为印度安得拉邦北部、东部和南部地区多个城市的空气质量监测数据。

## 四、研究结果分述

**Set-I、Set-II和Set-III下的ARB表现**：通过绘制不同测量误差方差设置下的绝对相对偏差图（图1-3）可见，三种估计量的ARB随抽样比例、测量误差相关系数和P的变化而波动，无单调一致模式，但估计量之间差异较小。

**百分比相对效率比较（Table 2-4）**：将基于第二种和第三种距离度量的估计量与基于第一种距离度量的估计量比较，在多种P、ρ_h和抽样比例组合下，PRE值大于100的情况表明所提出的校准估计量在PRRT和测量误差下表现良好，但具体优劣取决于参数组合。

**测量误差的影响（Table 5）**：将PRRT下含测量误差的估计量与PRRT下无测量误差的估计量比较，PRE值普遍低于100，证实测量误差对估计效率产生不利影响，且这种影响在三种设置下模式相似。

**随机化与测量误差的联合影响（Table 6）**：将含测量误差和PRRT的估计量与既无测量误差也无随机化的直接估计量比较，所有组合下的PRE值均低于100，表明PRRT机制与测量误差共同导致效率损失，但该损失是保护隐私和获得真实回答的代价。

## 五、讨论与结论

讨论部分指出，测量误差相关系数、测量误差方差设置、抽样比例和随机化参数P均会影响所提出估计量的偏差和效率。虽然PRRT和测量误差带来一定的精度损失，但所提出的分层比率型校准估计量在敏感变量总体均值估计中仍然有效，且能够在保护受访者隐私的同时获得较可靠的结果。研究结论强调，在估计敏感变量时不应忽视测量误差，而应将其适当纳入估计程序，以在分层随机抽样框架下获得可靠的估计量。研究的局限性在于基于较小有限总体和样本量，且理论结果仅为一级近似，未来需在更大总体和样本量下验证估计量的稳健性。