鞍结分岔之外共存极限环间的噪声诱导跃迁

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Noise-induced transitions between coexisting limit cycles beyond saddle-node bifurcations

　　

摘要：具有限制环的非线性多稳态系统即使在超越决定这些限制环存在的鞍-结分岔的参数区域，也可能表现出噪声诱导的振荡状态间跃迁。这种行为与鞍-结分岔的"幽灵"有关，这是非线性系统在此类分岔点附近的一个已知特征。为了研究这一现象，我们首先考虑一个随机最小模型，该模型在由两个鞍-结分岔界定的参数区间内支持两个共存的限制环。我们从数值和理论上估计了在噪声强度和距离幽灵结构两方面靠近每个稳定吸引子的概率。然后，我们通过在相空间的指定区域内引入空间局域化、强度增强的非均匀噪声来扩展该模型。这一修改旨在模拟Hindmarsh-Rose模型的不对称结构，在该模型中，爆发性限制环在相空间的特定区域内彼此靠近，从而促进了它们之间的噪声诱导跃迁。

引言：多稳态是非线性系统中广泛存在的现象[1]。它指的是多个吸引子的共存，包括不动点、限制环、准周期状态和混沌吸引子等。系统最终到达的吸引子取决于初始条件[2]、[3]。多稳态的一个特别相关的实例是双节律性，指的是两种具有不同振幅和频率的周期解的共存[4]。

理解噪声对多稳态系统的影响在多个科学领域都很相关，包括物理学、化学和生物学[5]、[6]、[7]。噪声在神经元动力学中起着基本作用，无论是在单个神经元层面还是在神经元网络的集体行为层面[8]、[9]。当噪声引入多稳态系统时，共存的吸引子之间可能发生随机跃迁，因为随机涨落可以将轨迹驱动跨越其吸引盆地的分隔面[4]。例如，已在神经元离散映射中报告了在混沌吸引子确定性存在区域之外的噪声诱导混沌[10]。在癫痫研究中，噪声也被证明可以触发导致癫痫发作的跃迁[11]。

表现出一个或多个稳定限制环的多稳态系统，其参数区域由鞍-结分岔结构决定，特别值得关注，因为与这些环相关的跃迁甚至可以在相应分岔点之外发生。这种行为与鞍-结分岔的"幽灵"有关，这是非线性系统在这些分岔附近的特征[3]。在分岔之外，稳定或不稳定限制环都不存在。然而，如果初始条件位于已消失的限制环曾经存在的相空间区域附近，轨迹可能会在该区域停留有限时间后才逃逸。因此，在噪声存在的情况下，由此"幽灵"瞬态介导的跃迁可能发生，且与共存区域内观察到的随机跃迁在定性上相似，在该区域内实际存在稳定限制环吸引子。

Hindmarsh-Rose模型为研究噪声对双节律性的影响提供了相关框架。该模型于1984年提出，旨在重现单神经元实验中常见现象，如爆发性放电、慢-快动力学和多种放电模式[4]、[12]、[13]。随着与快离子通道相关的参数变化，该模型表现出爆发性限制环分支，该分支通过一系列鞍-结分岔进行连续折叠，每次爆发中的尖峰数增加。在连续分岔之间出现双节律区域。当引入噪声时，共存的爆发性限制环之间发生跃迁。由于"幽灵"现象，此类跃迁也可以在双节律区域之外但接近的地方发生。

上述Hindmarsh-Rose模型的特征相当独特。据我们所知，没有其他低维神经元模型表现出多个在两个鞍-结分岔之间嵌入的爆发性限制环的双节律范围，尤其是在神经科学背景下。这种丰富的分岔结构为研究不同振荡状态的共存和相互作用提供了自然框架，同时保持模型足够简单以允许对底层动力学进行详细分析和数值表征。从这个意义上说，Hindmarsh-Rose模型在动力学丰富性和数学可处理性之间提供了特别适合本文研究的平衡。

除了这些确定性特性外，Hindmarsh-Rose模型因其可以表现出的各种噪声诱导现象而引起了相当大的关注，包括随机D-分岔、随机敏感性、相干共振和噪声诱导抑制[4]、[14]。这些特征使该模型特别适合研究随机涨落如何影响不同振荡状态的共存及其间的跃迁。因此，选择HR模型不是任意的，而是由其丰富的确定性分岔结构和良好的噪声敏感性组合所驱动的，这些都直接关系到本工作研究的现象。

在参考文献[15]中，Hindmarsh-Rose模型中的随机双节律现象被详细研究，并提出了一个最小模型来定性描述底层机制。然而，该模型只是部分捕捉了这一现象，因为它表现出单个限制环与不动点吸引子共存，而不是两个共存的限制环，以及单个限制环的鞍-结分岔，而不是一对这样的分岔。因此，它没有表现出真正的双节律性，尽管它确实表现出在鞍-结分岔之外噪声诱导的周期性振荡的出现。

为了更深入地了解具有类似Hindmarsh-Rose模型结构的系统中的双节律机制以及"幽灵"现象所扮演的角色，我们在此提出一个随机轴向对称双节律模型，其中两个共存的限制环出现在由两个鞍-结分岔界定的参数区间内。模型的简单性允许基于相关Fokker-Planck方程[16]的可处理概率描述。在这一框架内，共存的限制环之间的随机跃迁可以在整个相空间内发生，这与高度不对称的Hindmarsh-Rose模型不同，在其中此类跃迁主要限制在限制环轨迹彼此接近的区域。

为了捕捉这种效应，我们通过引入在指定相空间区域增强强度的非均匀噪声来扩展简化模型。因此，随机跃迁更可能在该区域内发生。总体而言，均匀噪声和非均匀噪声模型都定性重现了在Hindmarsh-Rose模型参数空间中观察到的相同沙漏状结构，表明这一结构可能是非线性系统的稳健特征，在该系统中两个限制环吸引子在由鞍-结分岔界定的区域内共存。这一沙漏状结构从相空间中的长时间观察中出现。然而，在低噪声区域，即使非常长的观察时间也可能不足以让系统达到随机平衡，因为相应的弛豫时间变得极其巨大且实际上无法访问。因此，提出了一种基于稳态概率分布的理论方法来描述高噪声情况下系统的行为，而在低噪声情况下，提出了一个受Kramers逃逸问题[17]、[18]启发的互补方法。

本文结构如下。在第2节中，我们介绍轴向对称模型，并根据噪声强度和控制参数表征随机双节律性。在第3节中，我们将非均匀噪声引入模型，并分析由此产生的随机双节律性。最后，第4节总结主要结论。

确定性模型：我们引入一个简单模型，旨在模仿Hindmarsh-Rose模型中观察到的双节律性，其中共存的吸引子离原点相对较远，但在相空间的特定区域内彼此靠近。该模型表现出两个共存的稳定限制环，由两个鞍-结分岔界定。该模型是一个二元随机微分方程系统，以向量形式写出为：

d**r**/dt = **F**(**r**) + ε**ξ**(t)

其中 **r** = (x(t), y(t)) 收集了两个时变变量。

双鞍-结分岔模型与局域化噪声：这里，第2节中描述的模型被修改以模仿Hindmarsh-Rose模型的不对称行为，在该模型中，噪声只可能在吸引子彼此接近的区域诱导共存的爆发性吸引子（或其"幽灵"）之间的跃迁。与其打破确定性吸引子的轴向对称性，不如通过限制噪声到特定角度扇区来打破噪声的轴向对称性，即 -π/4 < θ < π/4，对应于...

结论：在这篇论文中，我们研究了噪声对双节律系统的影响，其中两个限制环在由两个鞍-结分岔界定的区域内共存。Hindmarsh-Rose模型表现出多个此类区域，其中爆发性周期状态共存，这特别值得关注。当噪声引入该模型时，即使在鞍-结分岔之外也观察到噪声诱导的爆发性状态间跃迁。换句话说，双节律行为可能出现在...

CRediT作者贡献声明：Ignacio Ortega-Piwonka：撰写—初稿，调查，形式分析，概念化。Javier Used：撰写—审阅与编辑，监督。Jesús M. Seoane：撰写—审阅与编辑，监督。Miguel A.F. Sanjuán：资金获取，项目管理，监督，验证，撰写—审阅与编辑。

利益冲突声明：作者声明以下财务利益/个人关系可能被视为潜在的利益冲突：Miguel Angel Fernandez Sanjuan报告了西班牙国家研究局提供的资金支持。如果有其他作者，他们声明没有已知的可能影响本文所报告工作的财务利益或个人关系。

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非线性动力学、混沌和复杂系统研究组，雷伊胡安卡洛斯大学，Tulipán s/n, Móstoles, 28933, Madrid, Spain