基于广义标量辅助变量方法的Klein-Gordon-Zakharov系统高阶保结构格式

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：High-order structure-preserving scheme for the Klein-Gordon-Zakharov system with the generalized scalar auxiliary variable

　　

# 摘要

本文针对具有周期边界条件的克莱因-戈尔登-扎卡霍夫（Klein-Gordon-Zakharov, KGZ）系统，提出了一类高精度、结构保持的数值方法。通过引入广义标量辅助变量（GSAV）框架，原始能量泛函被改写为仿射二次不变量，从而得到一个等价的能量守恒系统。然后，我们采用高阶辛龙格-库塔法进行时向离散化，获得了能量保持的全离散格式。对于空间离散化，采用傅里叶伪谱法，得到在数值层面保持相应修正离散能量的全离散算法。从理论上证明，半离散和全离散格式在离散时间层上严格满足各自的修正离散能量守恒律。此外，还建立了数值解的存在唯一性。广泛的数值实验验证了所提格式的高阶收敛性，并展示了其关于修正离散能量守恒的长时间稳定性。

# 引言

本文关注如下具有周期边界条件的克莱因-戈尔登-扎卡霍夫（KGZ）系统 [1], [2], [3]：

$$\begin{cases} \gamma^2 \partial_{tt} E(\mathbf{x},t) - \Delta E(\mathbf{x},t) + \frac{1}{\gamma^2} E(\mathbf{x},t) + N(\mathbf{x},t) E(\mathbf{x},t) = 0, & \mathbf{x} \in \Omega, \, t > 0, \\ \varepsilon^2 \partial_{tt} N(\mathbf{x},t) - \Delta N(\mathbf{x},t) - \Delta |E|^2(\mathbf{x},t) = 0, & \mathbf{x} \in \Omega, \, t > 0, \end{cases}$$

初值条件为：

$$E(\mathbf{x},0) = E_0(\mathbf{x}), \quad \partial_t E(\mathbf{x},0) = E_1(\mathbf{x}), \quad N(\mathbf{x},0) = N_0(\mathbf{x}), \quad \partial_t N(\mathbf{x},0) = N_1(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \Omega.$$

其中 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^d$（$d=2$）是一个有界凸域，也视为周期矩形，$\Delta$ 为拉普拉斯算子。为引入势变量 $\psi$，我们额外假设相容性条件 $\int_\Omega N_1(x) \, d\mathbf{x} = 0$。正参数 $\gamma, \varepsilon \in (0, 1]$ 分别代表克莱因-戈尔登（KG）分量和波动分量的内在时间尺度。未知量 $E(\mathbf{x}, t)$ 和 $N(\mathbf{x}, t)$ 分别表示复值电场和离子密度的实值扰动。非线性耦合项 $NE$ 描述了密度涨落对电场的调制作用。

系统（1）满足守恒能量泛函：

$$\frac{d}{dt} \mathcal{H}(t) = 0, \quad (\mathbf{x}, t) \in \Omega \times (0, T],$$

其中

$$\mathcal{H}(t) = \int_\Omega \left( \gamma^2 |\partial_t E|^2 + |\nabla E|^2 + \frac{1}{\gamma^2} |E|^2 + \frac{\varepsilon^2}{2} |\nabla \psi|^2 + \frac{1}{2} |N|^2 + N|E|^2 \right) d\mathbf{x},$$

其中 $\partial_t N = \Delta \psi$。

KGZ系统是等离子体物理中描述朗缪尔波与离子声波相互作用的基本耦合模型 [4], [5]，在等离子体强朗缪尔湍流研究中具有重要作用 [6]。这类方程具有显著的物理背景和复杂的数学结构，从解析和数值两个方面都受到了广泛关注。这类方程在不同空间维度下可能表现出不同的数学结构和动力学行为 [7], [8], [9]。此外，对其时间分数阶 [10], [11] 和空间分数阶变体 [12], [13]，以及解析解的定性性质 [14], [15] 也有大量研究。Shang等利用扩展双曲函数法获得了KGZ方程的多组精确显式解 [16]。Masmoudi等建立了KGZ系统解向奇异非线性Schr?dinger系统的收敛性 [17]。Daub等从KGZ系统中推导出KG方程并建立了相应的逼近结果 [18]。Su等为亚声速极限情形下的KGZ系统建立了守恒有限差分格式的错误估计 [19]。Nestor等采用新的扩展直接代数法和正弦-Gordon展开法获得了KGZ方程的丰富精确解 [20]。他们的研究取得了有价值的成果。然而，从数值分析的角度来看，数值方法期望尽可能保持原始问题的内在结构 [21]。因此，研究高效且结构保持的数值算法具有重要意义。

对于非线性Hamilton波方程，在长时间数值模拟中保持能量守恒性质是一个关键问题。过去几十年中，针对经典非线性方程发展了各种能量保持数值方法，如平均向量场方法 [22]、Hamilton边界值方法 [23], [24]、指数积分器 [25] 以及离散变分导数方法 [26]。值得注意的是，这些方法通常需要在每个时间步求解一类非线性代数方程组，导致相当大的计算成本和相对较低的长时间数值模拟效率。为了克服这些困难，辅助变量方法在非线性演化方程的能量保持格式中引起了越来越多的关注 [27], [28], [29], [30], [31], [32], [33]。标量辅助变量（SAV）方法已成为计算物理中梯度流问题的重要工具 [34], [35], [36]。SAV框架的多种扩展，包括指数SAV（ESAV）[37]、二次SAV（QSAV）[38] 和广义SAV（GSAV）[39], [40]，已被提出以增强辅助变量方法处理非线性能量泛函的灵活性。特别是，GSAV方法适用于具有复杂非线性耦合的耦合波系统 [41]。因此，采用GSAV方法构造具有周期边界条件的KGZ系统的高效能量保持离散格式是很自然的。

最近，一系列重要工作聚焦于利用SAV方法发展能量守恒数值方法。Fazayel等在 [42] 中建立了结合SAV技术的保守非标准有限差分格式，用于KGZ方程，实现了二阶时间精度并保持修正离散能量。在 [43] 中，通过将GSAV方法与Crank-Nicolson方法结合，为耦合非线性波动方程提出了一种全解耦、线性的能量保持格式，并分析了所提格式的非条件收敛性。然而，要获得更高阶的时间精度，需要采用更复杂的离散方案。GSAV和辛龙格-库塔（SRK）方法 [44] 已被用于构造保持系统修正能量的离散格式，可实现任意高阶时间精度。此外，迭代预测-校正（PC）[45], [46] 技术也可被利用，在保持离散能量稳定性的同时提高时间收敛阶和精度。在本工作中，我们尝试基于变量变换和GSAV方法为KGZ系统构造一种结构保持格式，在时间方向上实现高阶精度并保持修正能量。

本文结构如下。第2节给出KGZ方程的等价GSAV改写。第3节将SRK格式应用于时间方向的等价GSAV系统，可以构造一系列全解耦、任意高阶和能量保持的格式。此外，对修正系统应用PC技术以改进时间方向的精度。第4节引入傅里叶伪谱法发展全离散格式，并讨论全离散格式的稳定性。第5节展示广泛的数值实验以说明所提格式的高效率。第6节给出结论。

# 第2节 模型改写

本节引入两个新变量 $v$ 和 $\psi$，考虑KGZ方程的等价系统，满足 $\partial_t E = v$ 和 $\partial_t N = \Delta \psi$。设 $\psi_0(\mathbf{x})$ 为 $\Delta \psi_0(\mathbf{x}) = N_1(\mathbf{x})$ 的唯一零均值周期解。对于 $t > 0$，通过规范条件 $\varepsilon^2 \partial_t \psi = N + |E|^2$ 固定 $\psi$ 的加性空间常数。则原始方程（1）可写为如下形式：

$$\begin{cases} \partial_t E(\mathbf{x},t) = v(\mathbf{x},t), & \mathbf{x} \in \Omega, \, t > 0, \\ \gamma^2 \partial_t v(\mathbf{x},t) = \Delta E(\mathbf{x},t) - \frac{1}{\gamma^2} E(\mathbf{x},t) - N(\mathbf{x},t) E(\mathbf{x},t), & \mathbf{x} \in \Omega, \, t > 0, \\ \partial_t N(\mathbf{x},t) = \Delta \psi(\mathbf{x},t), & \mathbf{x} \in \Omega, \, t > 0, \\ \varepsilon^2 \partial_t \psi(\mathbf{x},t) = N(\mathbf{x},t) + |E|^2. \end{cases}$$

# 第3节 高阶能量保持方法

本节首先引入任意高阶的Gauss型SRK格式用于修正模型的时间离散化。随后，基于外推方法和Gauss型SRK方法，我们在时间方向上为修正模型构造了一种线性的半离散格式，该格式具有任意高阶时间精度，并证明新格式满足修正能量守恒律。为进一步改进计算精度，我们引入PC技术。

# 第4节 傅里叶伪谱法全离散守恒格式

本节采用傅里叶伪谱法对半离散格式（20）-（24）进行空间离散化，得到KGZ系统的全离散格式。进一步证明所得格式满足离散能量守恒律，并建立了相应数值解的存在唯一性。

# 第5节 数值算例

本节给出若干数值算例以验证本文的理论结果。在所有计算中，设参数 $C_0 = 1$，预测-校正迭代中的停止容差取 $tol = 10^{-12}$。算例5.1和5.3中的局部化初始剖面表现出指数衰减，在 $\Omega = (-10, 10)^2$ 的边界附近可忽略不计，因此其周期延拓适合在所选计算域上使用傅里叶伪谱离散化。

# 第6节 结论

本文将GSAV改写、高斯辛龙格-库塔方法和PC策略相结合，为KGZ方程提出了一种结构保持的高阶数值方法。通过引入修正能量，所提方法实现了修正离散能量守恒。采用傅里叶伪谱法进行空间离散化，得到全离散格式。半离散和全离散格式均保持相应的离散能量。

# CRediT作者贡献声明

Paiyong Liu：撰写—审阅与编辑，撰写—原始稿件，验证，方法论，概念化。

Hongliang Liu：指导，资源，项目管理，资金获取。

Dongdong Hu：项目管理，调查，资金获取，概念化。

Zhenxing Fu：可视化，验证，数据管理。

# 利益冲突声明

我们声明，我们与其他人员或组织没有不当影响本工作的财务和个人关系，我们在任何产品、服务和/或公司中没有专业或其他个人利益，这些可能被解释为影响本文所呈现的立场或手稿的审稿过程。本文题为《具有广义标量辅助变量的克莱因-戈尔登-扎卡霍夫系统的高阶结构保持格式》。

Paiyong Liu | Hongliang Liu | Dongdong Hu | Zhenxing Fu

湘潭大学数学与计算科学学院，教育部智能计算与信息处理湖南省重点实验室，湘潭，411105，中国