利用变分方法确定有限变形下位错的性质

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Variational approach to determine the properties of dislocations at finite deformation

　　摘要：最近提出了一种广义的连续体理论，用于描述弯曲位错场的时空演化：统计储存的位错密度、几何上必要的位错密度和曲率（Groma等人，2021年）。然而，该框架仅适用于小变形情况。本文的目的是讨论有限变形弹性理论的基本原理，特别是在系统中存在单个位错的情况下。平衡方程是通过变分形式推导出来的。研究表明，将位错引入有限变形框架是一项非平凡的任务。为了建立一个数学上严格的理论，需要重新考虑在连续体中如何定义位错。此外，如果变形较大，作用在位错段上的力不是众所周知的Peach-Koehler力。在即将发表的论文中，这些结果将应用于弯曲位错的连续体理论的推广。

引言：晶体材料的塑性变形是由大量位错的集体运动控制的。变形金属中的典型位错密度约为ρ～10^14 m^-2，即位错线之间的平均间距约为100 nm。因此，一个微米级的变形样品已经包含了许多强烈相互作用的位错。因此，通过离散位错动力学（DDD）模拟来跟踪位错系统随时间演化在计算上要求较高（Akhondzadeh等人，2020年；Arsenlis等人，2007年；Berta等人，2025年；Bulatov和Cai，2006年；Devincre等人，2001年；Fan等人，2021年；Ghoniem和Sun，1999年；Kubin和Canova，1992年；Madec等人，2002年）。然而，对于大多数问题，适当的连续体模型应该是合适的，但由于位错系统中的自由度很大，用位错来模拟晶体材料的塑性变形需要采用统计物理学方法。在发展连续体理论时最具有挑战性的问题是，传统的统计物理学方法不能直接应用，因为位错运动具有很强的耗散性，并且位错是柔性的线状物体。在过去的三十年中，一个重要发现是，特征尺寸在10 μm或更小的样品的塑性响应取决于样品的大小（Fleck等人，1997年）。尽管尝试通过在应力中加入应变梯度项来将内部长度尺度纳入现象学连续体理论（Aifantis，1999年；Fleck和Hutchinson，2001年；Gurtin，2002年；Zhu等人，1997年），但目前还没有一个被广泛接受的解决方案。可以预期，一个适当的位错连续体理论能够模拟这种尺寸效应。另一个观察到的关键特征是在塑性变形过程中位错图案的形成。自20世纪60年代初以来，已经提出了几种理论和数值方法来模拟这种图案化（Hansen和Kuhlmann-Wilsdorf，1986年；Holt，1970年；Pontes等人，2006年；Walgraef和Aifantis，1985年）。然而，由于这些方法并没有直接关联到单个位错的特定属性，它们本质上是现象学的方法。图案化也是开发DDD方法的重要动机（Devincre等人，2001年；Ghoniem和Sun，1999年；Kubin和Canova，1992年；Madec等人，2002年），但这些模拟在计算上极其昂贵且可扩展性较差。因此，DDD仍然局限于特定问题（Devincre等人，2001年；Hussein等人，2015年；Madec等人，2002年）。最近，El-Azab及其同事（Lin和El-Azab，2020年；Xia和El-Azab，2015年）使用基于矢量位错密度的连续体公式来捕捉位错图案的演化。然而，这种伪连续体变体更倾向于数值模拟，而不是完全理论化的位错图案模型。在过去25年中，通过系统地对单个位错的演化方程进行粗化处理，开发了一个连续体理论，该理论适用于一个高度简化的准二维系统，其中位错是直线且平行排列的（Dogge等人，2015年；Groma，1997年；Groma等人，2003年；Groma等人，2007年；Groma等人，2016年；Mesarovic等人，2010年；Valdenaire等人，2016年；Zaiser等人，2001年），并且已经成功与DDD模拟进行了比较（Groma等人，2003年；Groma等人，2006年；Ispánovity等人，2020年；Yefimov等人，2004年）。到目前为止，它可以被认为是解决这一二维问题的一个成熟理论。此外，该理论表明即使最初并不是为了预测位错图案而设计的，它也能实现这一预测（Groma等人，2016年；Ispánovity等人，2020年；Wu等人，2018年）。然而，由于位错是移动的弯曲柔性线状物体，适当的连续体理论应该考虑到这一点。Hochrainer等人（参见Hochrainer（2015年）；Hochrainer等人，2014年；Hochrainer等人，2007年；Sandfeld等人（2010年））发展了弯曲位错演化的运动学理论。这些运动学最初是在包含位错线方向作为独立变量的2+1维空间中推导出来的。该理论的多极展开导致了以排列张量表示的形式（Groma等人，2021年）。为了得到一个封闭的理论，必须在运动学方程中加入关于位错系统动力学的适当假设。基于与二维情况的类比（Groma等人，2016年），假设存在一个称为“塑性势”的标量函数，它在系统演化过程中不能增加。这一条件对速度场的可能形式施加了严格的限制（Groma等人，2021年）。然而，参考文献（Groma等人，2021年）中提出的理论的一个相当大的局限性是它仅考虑了小变形。在这里，我们采用变分方法，讨论了系统中存在“单个”位错时的有限变形理论的基本原理。在论文的第一部分，通过考虑能量对变形场的功能导数，简要回顾了“无缺陷”的非线性弹性问题。接下来，如果系统中存在塑性畸变，则推导出平衡方程。在最后一部分，我们讨论了如何以系统化的方式将单个位错引入非线性弹性连续体中。研究表明，如果我们超越线性弹性，通常应用的Peach-Koehler力形式必须进行修改。所获得的结果将作为有限变形框架下位错连续体理论的关键输入。

应用功能导数得到平衡方程：让我们从考虑N个位于x→i=1的原子的情况开始。已知相互作用能量V(x→1,…,x→N)，平衡条件显然为：??V/?xi_p=Fipi=0，p=1。这对于连续体来说是直接推广的。在这种情况下，系统的状态由函数x→(X→)描述，其中x→是变形后点X→的位置。需要注意的是，为了引入位错，我们需要一个周期性的晶体结构作为起点。

塑性变形情况下的平衡方程：众所周知，如果涉及塑性变形，变形体的最终形状是通过两个步骤达到的：塑性变形和弹性变形。因此，变形梯度Fij被分解为塑性变换Fij_p和弹性变换Fije的乘积：Fij=FipiFmjp。然而，内力仅在弹性变形期间产生。因此，弹性能量仅依赖于弹性变形?ije=1/2(FmieFmje?δij)。从方程(12)得出Fije=FioFoj?p。

单一位错环：在连续体水平上，位错由一个切割表面定义，在该表面上位移场有一个跳跃b→，称为Burgers向量（见图1）。因此，塑性变形梯度如下：Fij_p=δij+binjδ(ζ)，其中n→是表面上给定点的法向量，ζ是沿n→方向的距离，δ(x)是狄拉克δ函数。量βijp=binjδ(ζ)被称为塑性畸变，即Fij_p=δij+βijp。

作用在位错段上的力：一个非常重要的量是作用在位错段上的力。为了计算它，让我们移动位错线（见图2）。由于位错线的移动，Fij_p会发生变化，这表示为δ′Fij_p。我们首先需要计算这种变化产生的能量变化。由于线的移动，对应于平衡配置的位移场也会变化。因此，总能量变化为δ′E=∫[δEδFij_pδ′Fji?p+δEδFijδ′Fji]dV。

结论：单个位错的场理论已经建立得很好（参见Kr?ner等人（1981年））。然而，将其推广到大变形框架并不容易。研究表明，通过应用类似于物理中不同场理论中的变分框架，可以系统地推导出适当的平衡方程和作用在位错段上的力。所提出的方法允许人们超越线性和局部弹性。

利益冲突声明：作者声明他们没有任何已知的竞争性财务利益或个人关系可能会影响本文报告的工作。István Groma