受限贝叶斯神经网络在价格促销设计中的应用

《Journal of Choice Modelling》：Constrained Bayesian Neural Network utility in the design of price promotions

　　

- 具有由神经网络建模的灵活效用函数的离散选择模型。
- 关于网络结构的不确定性通过贝叶斯模型平均来反映。
- 相对于线性效用模型，样本外预测得到改善。
- 反事实分析显示，与线性模型相比，自身价格和交叉价格弹性更低。

引言
价格促销常被管理者用来提升品牌知名度、获取市场份额或宣传产品。然而，在促销实施前准确预测其财务影响颇具挑战。消费者可能以各种方式对价格变化做出反应。了解他们的反应方式对于有效的产品营销和管理决策至关重要。例如，在选择价格折扣时，管理者通常希望确定在特定价格降幅下他们将额外销售多少单位产品。

分析消费者决策的一个成熟工具是明确地将消费者效用建模为可观测产品属性（包括价格，Guadagni and Little, 1983）以及消费者特征（参见 Allenby and Rossi, 2006）的函数。然而在实践中，此类模型的估计可能很复杂，特别是在分析人员希望偏离效用的线性函数形式和消费者间偏好的同质性时。

先前的文献发现了非线性偏好的实证证据，这是由于可观测选择之间以及可观测选择与外部商品之间的互补性（Lee et al., 2013, D.S. Kim et al., 2023），或消费者对可观测商品相对于外部商品价值的感知（Lee and Allenby, 2014, C. Kim et al., 2023）。联合分析文献强调，消费者对价格变化的反应取决于其他属性的水平（Toubia, 2018, Marshall and Bradlow, 2002, McCoy et al., 2022）。在许多实际场景中，偏好可能是关于产品属性的非线性，并且在消费者之间存在异质性。

本文开发了一种新颖的离散选择模型来分析产品价格与其购买概率之间的关系。与大多数现有的离散选择文献不同，我们不将线性约束施加于消费者效用。相反，我们用灵活的神经网络对效用进行建模，并施加一个定性约束，即效用函数是关于价格递减的，正如经济理论所规定的（Assuncao and Meyer, 1993）。由于我们分析背后的贝叶斯方法，我们刻画了消费者偏好的完整分布，从而允许价格敏感度在消费者之间变化。所形成的非线性定性约束模型环境加上消费者偏好异质性为实施带来了重大实际挑战。使用哈密顿蒙特卡洛后验采样过渡（Neal, 2011, Burda and Daviet, 2023），我们获得了测试数据集上价格弹性的预测分布。我们通过贝叶斯模型平均（BMA）来考虑神经网络结构中固有的不确定性，其中数据决定了具有不同数量隐藏节点的候选网络的后验权重，这些隐藏节点表征了不同程度的非线性，在定性形状约束下。

我们将模型应用于一个IRI咖啡购买数据的样本，结合营销、产品属性和消费者商店访问信息。我们获得了自身和交叉价格弹性的模型平均预测密度，以及在几个最流行产品的几个级别价格促销的反事实实验中相应的收入变化预测。

在统计和机器学习文献中，已经探索了许多灵活的函数逼近方法。然而，对于一个函数要表示偏好关系并因此成为可接受的效用函数，它必须是连续的（Mas-Colell et al., 1995），这排除了分段常数函数，如基于树的逼近。两种满足连续性并作为非线性函数逼近器的流行机器学习方法是贝叶斯神经网络（BNNs）和非参数高斯过程（GPs）。

Levy（2024, ch.2）对与外部商品相关的子效用指定了高斯过程先验，同时将效用函数建模为对数线性形式。Dew（2024）对低维度物品嵌入上的效用指定了高斯过程先验，而不是原始属性。事实上，高斯过程在高输入维度下扩展性不佳，如果没有稀疏近似就会迅速变得计算不可行（Liu et al., 2020）。

因此，神经网络呈现了一种吸引人的灵活参数化，用于表示具有连续导数的消费者效用。事实上，贝叶斯神经网络可以被视为一种用户友好的灵活参数表示，用于表示非参数高斯过程。在贝叶斯神经网络研究的开创性成果中，Neal（1996）表明，具有一个隐藏层的贝叶斯神经网络随着隐藏节点数量趋向于无穷大而收敛到一个高斯过程。最近，这一结果已被扩展到深度架构，表明即使某些隐藏层保持有限宽度，贝叶斯神经网络随着许多隐藏层宽度趋向于无穷大也收敛到高斯过程（Agrawal et al., 2020）。

Hruschka et al.（2004）分析了一个多项式logit模型，其中用多层感知器神经网络指定了非线性效用。Hruschka（2007）提出了一个品牌选择的异质多项式probit模型，其中效用由神经网络逼近。在这两种情况下，神经网络模型都明显优于考虑的替代方案。然而，这些作者将模型条件于给定的神经网络结构，未考虑模型规范不确定性。相比之下，在这里我们将神经网络结构指定为随机的，并通过贝叶斯模型平均包括模型不确定性。

Farrell et al.（2020）采用深度神经网络对广泛的经济模型类别中的参数异质性进行建模。他们关注估计参数函数的频率派渐近推断性质，而我们的目标是具有灵活效用函数的贝叶斯有限样本分析。Gabel和Timoshenko（2022）开发了一个神经网络模型，用于预测客户对营销行动响应的特定购买概率。他们的神经网络提供了一种灵活的函数形式来近似客户购买行为，通过联系购买历史、频率和折扣优惠券与购买概率。与我们的情况不同，他们的模型仅捕捉基于会员卡交易数据的购买决策，排除了产品属性和消费者特征。

当前的贝叶斯神经网络实现，如在PyTorch和Tensorflow/Keras中，通常采用变分推断（VI），受益于为确定性最小化开发的优化数值库的直接使用。然而，变分后验只是对实际后验的近似；即使其抽样数量接近无穷大，前者也可能无法准确反映后者。因此，基于近似的优化方案，如变分推断，可能会提供不准确的预测量（Goan and Fookes, 2020）。受益于顺序蒙特卡洛采样器的粒子可扩展性（Dai et al., 2022），我们在近300万个结合产品-消费者数据向量的实质应用中实时实现了我们的模型，进行精确的贝叶斯推断而避免变分推断近似。

在营销文献中，关于价格促销的研究（Drechsler et al., 2017, Dawes, 2018）分析了不同价格促销框架对消费者水平购买概率的影响。一般来说，价格降低会增加消费者购买产品的概率，有效性的变化基于框架的具体内容或过去的购买历史。这种反应的强度被发现是消费者间异质的。价格促销也可以以异质方式影响客户保留，某些类型的促销在保留新客户方面更有效（Kim, 2019, Shaddy and Lee, 2020）。Dubé和Misra（2023）使用需求端的二元logit概率模型研究了个性化定价的福利影响。然而，这些论文施加了消费者效用的线性形式，后者在其实证应用中也是如此。

当消费者做出购买决策时，他们可能经常只考虑总销售产品中少数几个产品。这种现象，称为考虑集形成，已被营销人员和经济学家研究（Roberts and Lattin, 1991, Eliaz and Spiegler, 2011）。然而，品牌咖啡，我们应用中的产品，可以被认为是消费者低介入度的产品（Radder and Huang, 2008）。消费者可能不会在做出与其相关的购买决策时行使高水平的认知努力，因此在我们的环境中不需要更复杂的考虑集形成框架。因此，我们在框架中选择了不考虑考虑集形成。

消费者选择文献已经扩展到多产品类别环境（Hruschka et al., 1999, Manchanda et al., 1999, Russell and Petersen, 2020）。最近，Ruiz et al.（2020）开发了一个离散选择模型，纳入了不同产品类别中各种商品的替代性和互补性对消费者的影响。Donnelly et al.（2021）考虑了一个场景，其中消费者在几个不同的产品类别中并行做出购买决策。将我们的方法扩展到多产品环境为未来研究提供了一个有前景的方向。

本文其余部分组织如下。在第2节中，我们开发了一个具有定性约束的贝叶斯模型平均神经网络效用离散选择模型。在第3节中，我们