考虑动态气流的电天然气耦合系统最优调度：一种依次收紧凸化方法

《Sustainable Energy, Grids and Networks》：Optimal scheduling of integrated electricity–natural gas systems with dynamic gas flow: A sequentially tightened convexification approach

　　

## 摘要

在全球能源系统脱碳的大背景下，电-气一体化系统（IENGS）的最优调度是实现可再生能源消纳的基础。为确保 IENGS 调度的可靠性，必须考虑气体流动的动力学特性。然而，现有研究通常无法同时刻画气体流动所遵循的偏微分方程（PDEs），并保证调度方案的可行性。针对这一研究空白，本文建立了一种考虑高保真气体流动动力学的 IENGS 最优调度模型。具体而言，动态气体流动模型由控制性 PDEs 导出，并采用隐式差分法进行离散化。为应对由此产生的非凸性问题，本文提出了一种新颖的递进紧化凸化方法。该方法将带有自适应松弛量的二阶锥松弛与有效不等式相结合，并集成顺序凸近似、信赖域更新和自适应松弛调整策略，从而同时保证可行性、最优性和计算效率。算例研究表明，该方法在解的精度上与直接求解非凸问题相当，但计算时间显著降低。尤为关键的是，在所有基准方法中，该方法取得了最低的非凸约束相对违反量（平均 0.11%，最大 2.92%），从而保证了调度可行性。敏感性分析进一步验证了其鲁棒性和稳定性。

## 引言

在全球向低碳清洁能源系统加速转型的驱动下，近年来可再生能源的部署规模迅速扩张。国际能源署（IEA）在《2024 年可再生能源展望》中预测，风能与太阳能光伏（PV）发电的全球合计占比将从 2023 年的 13% 增至 2030 年的近 30% [1]。这一趋势显著提升了系统对短期运行灵活性的需求，使大规模可再生能源的消纳成为现代电力系统运行面临的最紧迫挑战之一 [2]。

为应对这一挑战，近期研究探索了电力系统内部的各种灵活性增强策略，包括分布式能源、储能和需求响应的协同利用 [3]，以及基于市场的机制 [4,5]。这些方法能够提升可再生能源的消纳能力，并增强电力系统的安全经济运行水平。然而，仅依赖电力系统内部的灵活性可能不足以消纳日益增长的波动性可再生能源出力。这一局限促使研究者将灵活性的提供范围扩展到电力行业之外，通过与其他能源基础设施的协同运行来实现。

在此背景下，电-气一体化系统（IENGS）作为一种已被广泛研究的框架，凭借其利用天然气系统运行灵活性以促进大规模可再生能源消纳的能力，吸引了大量研究关注 [6]。典型的 IENGS 示意图如图 1 所示，其中燃气机组作为电力与天然气系统之间的双向耦合纽带。一方面，燃气机组的快速启动能力和优异的爬坡能力使其成为平抑可再生能源波动的主要灵活性资源 [7]；另一方面，气体流动固有的动力学特性反过来又限制了燃气机组可用的出力与爬坡能力。鉴于 IENGS 内部固有的双向耦合特性，有必要进行整体性的运行优化，以实现系统整体的经济与运行最优性，同时严格保证所得调度方案的可行性。

然而，IENGS 的最优运行面临着源自电力与天然气系统本质差异的挑战，如表 1 所总结。与响应快速的电力系统不同，天然气系统由固有的缓慢气体流动动力学主导，其中管存（line pack）是该过程中最显著、最具可利用性的特征。然而，刻画该缓慢气体流动动力学的控制方程是带有时空耦合的非线性偏微分方程（PDEs）[8]。这一复杂的数学形式无法直接纳入 IENGS 最优调度框架，构成了实际运行优化中精确建模气体动力学的核心瓶颈。该核心瓶颈严重限制了管存灵活性的充分利用以及 IENGS 运行中最优调度方案的可行性。本研究的核心动机正是通过开发一套高保真度的气体流动动力学建模框架，并配套设计高效求解算法，来突破这一瓶颈，从而支撑 IENGS 的可行且经济最优的调度。

在现有的 IENGS 最优调度研究中，天然气管网大多采用稳态或准稳态气体流动模型来表示。稳态模型忽略了控制气体流动的非线性 PDEs 中所有与时间相关的项，并使用 Weymouth 方程描述节点压力与管段流量之间的关系 [[11]–[17]]。在该假设下，每一个调度时段都被视为一个独立的稳态运行工况，所得模型并未显式刻画管段中所储存气体的时间演化，即管存动态。为部分弥补这一局限，准稳态模型在基于 Weymouth 方程的框架中进一步引入了管存方程和跨时段气体平衡约束 [[18]–[24]]。这些模型将管存表示为管道平均压力的函数，并通过流入与流出的不平衡来刻画其跨时段变化。然而，每个调度时段内部的压力—流量关系仍然由稳态 Weymouth 方程支配。因此，准稳态模型以聚合方式考虑了跨时段的气体储存，却未能完整刻画沿管道传播的瞬态压力与流量动态。

Weymouth 方程引入了气体压力与流量之间的非凸关系，显著增加了 IENGS 调度的计算难度。因此，线性化技术被广泛采用，以将稳态与准稳态气体网络模型转化为线性或混合整数线性形式 [[11]–[13], [18]–[20], [22]–[24]]。常见的方法包括局部线性化 [19, 22, 23] 和分段线性化 [[11]–[13], 20, 24]。局部线性化的精度强烈依赖于所选取的运行点，而分段线性化的性能则受近似范围和分段数量的影响。文献 [18] 系统地比较了七种用于气体网络优化的分段线性化方法，并指出增量式线性化方法在近似精度和计算效率方面的整体表现较为优异。此外，二阶锥（SOC）松弛也被广泛用于对 Weymouth 方程进行凸化 [[14]–[17]]。与分段线性化相比，SOC 松弛避免引入大量线性分段，并将气体网络约束转化为可处理的凸形式。然而，其通常会使原非线性方程的可行域扩大，当松弛不精确时，松弛解可能不满足原始的压力—流量关系。

尽管稳态和准稳态模型具有计算优势，但它们简化了天然气输送的时间动态。前者忽略了管道气体储存的时间演化，后者虽然刻画了管存的变化，却未保留原始气体流动方程中所隐含的完整瞬态动力学。因此，所得调度方案可能与气体网络的真实瞬态运行工况存在偏差 [[25]–[28]]。

为精确量化天然气动力学对最优调度的影响并支撑可靠的运行策略，近期研究将动态气体流动模型引入了 IENGS 最优调度框架 [[29]–[37]]。这些模型从控制气体流动的非线性 PDEs 导出，通过忽略物理效应相对较小的项，并使用标准数值方法（如有限差分法和有限体积法）将所得方程离散化为时间耦合的非线性代数约束。根据模型降阶过程中忽略的项，主要有两类动态模型近似被采用。一些研究仅忽略对流项和重力项 [29, 30, 33–35, 37]，因为在传统天然气输送条件下，对流项对动量平衡的贡献通常小于 1% [38]，且管道通常被假定为水平布置。另有部分研究进一步忽略惯性项 [31, 32, 36]，从而以牺牲部分瞬态特性为代价简化所得模型。

为应对摩擦项引入的非凸性，许多研究在平均或参考气体流速附近对动量守恒方程进行线性化。然而，这种近似的精度强烈依赖于合适参考流速的选取。随着可再生能源渗透率的提高，系统运行条件引入了显著的随机性，实际气体流速可能与预设的参考值偏差较大。因此，所得线性化气体流动模型在不确定运行条件下的精度可能会下降。

更近期，凸松弛技术被用于将原始非凸模型转化为可计算的凸优化问题 [35, 36]。文献 [35] 采用分段 McCormick 包络对非凸气体流动约束进行松弛。该松弛的精度强烈依赖于变量边界的紧度，但在实际工程应用中，足够紧的边界往往难以获取。增加分区数量可提升松弛精度，但也会扩大模型规模并显著加重计算负担。文献 [36] 提出了一种在目标函数中加入线性惩罚项的 SOC 松弛方法，以提升松弛紧度。然而，该惩罚项只是间接地促使松弛解趋向原非线性等式，并不能确保原气体流动方程被精确满足。此外，由于惩罚项改变了原目标函数，所得解相对于原问题可能不再最优。其有效性还依赖于对惩罚系数的慎重选取。

基于上述综述，现有 IENGS 调度研究主要可通过其气体流动表示方式以及非凸性处理方式加以区分。表 2 从气体流动模型、非凸性处理方式、数学形式以及原非线性气体流动方程残差控制四个维度，对代表性研究进行了比较。比较结果表明，现有方法普遍通过模型简化、线性近似或凸松弛来提高计算可行性。然而，原非线性气体流动方程的违反情况往往未被考虑，或仅通过更细分区、惩罚项或收紧边界等方式间接减小。因此，现有文献仍缺乏一种统一建模与求解框架，将高保真动态气体流动建模与计算可行性相结合，并显式进行残差控制，从而提升所得解的近似可行性和质量。

综上所述，现有 IENGS 最优调度研究普遍未能精确表征由原始 PDEs 所支配的天然气流动动力学。尽管部分研究取得了相对较高的建模保真度，但其相应的求解方法难以同时兼顾解的质量、近似可行性和计算可行性。为弥补上述不足，本文首先建立了一种 IENGS 最优调度模型，该模型通过仅忽略对流项和重力项，保留了天然气流动的主要动态特征。此外，提出了一种新颖的递进紧化凸化（STC）方法来应对动态气体流动模型引起的非凸性。本文的主要贡献总结如下：

（1）通过引入动态气体流动方程，建立了一种 IENGS 最优调度模型，使调度决策能够显式考虑管存动态以及气体网络的缓慢瞬态特性。

（2）为 IENGS 调度问题动量方程中的非凸项设计了一种结构紧化的代理模型。该代理模型采用双侧紧化策略，将 SOC 松弛与包含自适应松弛变量的有效不等式相结合，从而获得显著更紧且可调节的松弛区域。

（3）提出了一种新颖的 STC 方法。在该方法中，顺序凸近似（SCA）为有效不等式提供可处理的凸近似，信赖域机制通过限制步长来约束局部近似的精度，而自适应松弛更新则逐步缩小与原始非凸问题之间的差距，从而引导迭代解趋向近可行的高质量调度方案。

本文余下部分组织如下：第 2 节建立 IENGS 调度问题模型；第 3 节介绍所提出的 STC 方法；第 4 节通过算例研究评估所提方法的解质量、近似可行性和计算性能，考察其对关键参数的敏感性，并讨论实际实施方面的考虑；最后，第 5 节总结全文并指出未来的研究方向。

## 章节片段

### 电力系统建模

本研究聚焦于输电层面的逐小时日前有功功率调度，因此采用线性化的直流（DC）潮流模型以限制计算复杂度。在 IENGS 中，电力与天然气系统之间的主要耦合通过燃气机组实现，其天然气消耗量与有功出力相关联。

尽管无功功率的提供可能会限制发电机的可用有功功率能力，且——凸替代公式与求解算法——在本研究中，调度优化问题的非凸性主要源于支配天然气流动的非线性动量守恒方程（例如公式(4b)）。为解决这一问题，引入了二次锥（SOC）松弛以获得相应非凸约束的可处理的凸松弛形式。此外，为收紧松弛并提高解的质量，我们引入了一组具有自适应松弛变量的有效不等式，并开发了一种时空耦合（STC）方法。在此——算例分析——在本节中，我们将所提出的模型与几种广泛使用的模型进行基准比较，以评估相对性能并展示其优势。具体而言，我们考虑了以下八种集成电-天然气系统（IENGS）调度模型，这些模型在天然气流动建模方式上有所不同：(M1) 动态天然气流动模型；(M2) McCormick松弛动态天然气流动模型；(M3) 分段McCormick松弛动态天然气流动模型（采用均匀两段划分）；(M4)——结论——本文开发了一种考虑高保真度天然气流动动态特性的IENGS最优调度模型。为解决所建立优化问题的非凸性，提出了一种新颖的STC方法。在两个不同规模的IENGS测试系统上的数值结果得出以下结论：(1) 与直接求解非凸问题相比，所提出的STC方法可以获得相当的最优解，同时显著提高了计算效率。这种——CRediT作者贡献声明——魏生原：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论。宋上飞：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论。史博辉：撰写——审阅与编辑。洪秉源：撰写——审阅与编辑。龚晶：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，方法论。利益冲突声明：作者声明他们不存在可能影响本论文所报告工作的已知竞争性经济利益或个人关系。致谢：本研究得到国家自然科学基金（批准号52574091、52404065）和中国博士后科学基金（批准号2024M763653）的支持，谨此致谢。魏生原 | 宋上飞 | 史博辉 | 洪秉源 | 龚晶