一种适用于具有任意截面的各向异性结构构件的有限元分析方法

《Thin-Walled Structures》：A finite-element-based analysis method for anisotropic structural members with arbitrary cross-sections

　　

**主要贡献：**
- 提出了一种考虑材料各向异性的任意截面横截面分析方法。
- 开发了用于横截面分析的正交各向异性常应变三角形单元（OCST）。
- 将计算得到的截面特性集成到长曲梁有限元模型（LFEM）中，用于几何非线性分析，并在MSASect2软件中实现。
- 所提方法表现出良好的精度和计算效率。

## 引言

由纤维增强聚合物（FRP）、三维打印复合材料、木材和工程竹材等各向异性材料制成的结构构件，由于其轻质、高耐腐蚀性以及多样的力学性能，引起了显著的研究兴趣，使其能够满足现代结构和建筑设计日益复杂的需求。然而，由这些材料制成的构件在不同受力方向上可能表现出各种力学特性，使其结构分析尤为困难[1,2]。此外，当前关于各向异性材料结构构件的研究主要集中在对称截面上，其结果主要基于从实验数据中推导出的经验解[3,4]。由于先进制造技术的发展，具有任意截面的构件在工程结构中变得越来越普遍[[5], [6], [7]]。由各向异性材料制成的非对称截面结构构件可以实现更高的结构效率，但力学行为更为复杂，对此的研究却十分有限。

如图1所示，各向异性材料构件的力学行为表征比各向同性材料更为复杂。对于具有对称截面的各向同性悬臂梁，在承受恒定载荷P时，无论载荷方向如何，梁的挠度都保持一致（Δy=Δz）。然而，这一原理并不适用于各向异性材料[8]，在这些材料中，由于材料属性的方向依赖性，不同方向施加的载荷可能导致不同的挠度。因此，为了更精确地分析各向异性材料，应当引入更多与材料各向异性相对应的参数[[9], [10], [11], [12], [13]]。例如，确定正交各向异性材料的力学特性需要九个独立的弹性刚度参数，而各向同性材料仅需两个参数[14]。

现有研究中已相继开发了多种描述各向异性材料特性的解析解。Ramberg和Osgood[15]提出了一维三参数Ramberg–Osgood模型来描述材料各向异性，该模型通常用于表征纤维增强复合材料的非线性行为[16,17]。通过引入玻璃纤维增强聚合物（GFRP）在环向和纵向的两个不同弹性模量，Li等[3]提出了一系列公式来估算GFRP管在轴向压缩下的承载能力。Li等[18]研究了具有初始缺陷的剪切可变形各向异性层合复合梁在轴向压缩下的屈曲和后屈曲行为。然而，这些研究的应用仅限于涉及法向载荷条件的特定案例，仅考虑了少数材料参数。

由于在开发用于分析各向异性材料的精确模型时引入额外材料参数的复杂性，通常会采用简化假设。例如，为了简化分析，通常假定FPR管的截面是各向同性的[19]。类似的简化也可以在复合材料设计指南中找到[20,21]，包括最新的FRP层合板或型材设计欧洲规范[22]，在这些规范中，这些型材的截面也被视为各向同性。然而，这些简化假设在横向载荷条件下可能导致显著偏差[23]。因此，开发更合适的材料模型，使各向异性材料能够在更广泛的载荷条件下得到有效应用，仍然十分必要。

基于三维实体单元的有限元分析（FEA）方法以其解决复杂工程问题的鲁棒性而广为人知；然而，它们通常需要密集的网格和大量的计算工作量[11]。通用商业梁公式提供了更高效的替代方案，例如Abaqus中提供的梁单元，这些单元基于Euler–Bernoulli和Timoshenko梁理论，对非线性整体结构分析非常高效。然而，一些商业软件中的标准预定义截面库可能无法为任意各向异性几何形状和空间变化的材料分布提供通用的截面解。在过去几十年中，已开发了若干专用的二维横截面分析框架，包括变分渐近梁截面分析（VABS）和BEam截面分析软件（BECAS）[[24], [25], [26], [27]]。VABS采用变分渐近方法将三维非线性弹性问题分解为二维横截面分析和一维非线性梁问题[24]。它可以为具有任意几何形状和各向异性材料分布的梁生成截面刚度矩阵[25]。类似地，BECAS是一种基于有限元的横截面分析工具，用于确定任意各向异性和非均匀截面的完全耦合截面刚度矩阵、质量特性和应力/应变恢复场[26,27]。VABS和BECAS都是高保真横截面预处理器，其输出通常传输到独立的一维梁求解器中。

在精细化一维理论中，Carrera统一公式（CUF）提供了一个层级框架，通过高阶、分层或分组的截面展开来丰富梁位移场[28]。在CUF中，经典Euler-Bernoulli和Timoshenko梁理论可作为低阶情况恢复，而高阶模型可以捕捉截面翘曲、局部三维应力状态、层合材料行为以及几何非线性响应[29,30]。尽管这种可变阶能力提供了高保真度，但广义未知数的数量和相应的计算成本通常会随着所选展开阶次的增加而增加。在本研究中，采用线有限元方法（LFEM）。与直接解析构件详细截面变形的精细化理论不同，所提框架在进行构件级分析之前，将截面响应压缩为一组广义截面特性。因此，全局自由度的数量与常规线元模型相当。因此，当主要目标是长或细长结构构件的高效整体分析时，LFEM特别具有优势，适用于大规模结构模拟[31,32]。

将LFEM应用于几何非线性分析的一个重要挑战在于准确确定截面特性[33]。对于对称截面，几何、扭转和翘曲特性，如截面面积A、面积二次矩（Iy和Iz）、惯性积（Iyz）和翘曲常数Iω，可以通过闭式解求解[34,35]。然而，对于非对称截面构件，计算这些截面特性可能变得繁琐和复杂[36]，且应考虑扭转效应[37]。扭转效应可以通过引入五个额外参数来考虑[38]，包括剪力中心相对于形心（yc和zc）的位置（ys和zs），以及三个Wagner系数（βv、βw和βω）。这些参数对于非对称截面的确定已由Liu及其同事进行了广泛研究[34,[39], [40], [41], [42]]。此外，基于Timoshenko提出的梁理论[43]可以考虑构件的剪切变形，并开发了一系列计算剪切系数（κy和κz）的公式[40,44,45]。尽管这些研究对LFEM的发展做出了重要贡献，但其适用范围仅限于由各向同性材料制成的构件。因此，有必要开发一种稳健的方法，将扭转效应和剪切变形结合起来，对各向异性构件进行几何非线性分析。

总之，本研究开发了一种基于特性的横截面分析和LFEM框架，用于具有任意截面的正交各向异性构件。计算了一组明确的截面量，包括剪力中心、剪切系数、扭转和翘曲特性以及Wagner系数，并直接将其纳入七自由度Timoshenko LFEM进行几何非线性分析。所提方法在教育用结构分析软件MSASect2[46]（任意截面矩阵结构分析）中实现，用于设计实践和研究。最后，提供了若干算例来验证所提方法，展示了其在促进各向异性材料实际应用中的潜力。本研究的新颖之处在于：(i)基于OCST的正交各向异性构件任意几何形状横截面分析；(ii)将七自由度LFEM框架扩展到正交各向异性构件；以及(iii)开发新型结构分析软件MSASect2。

## 正交各向异性材料的控制方程

在三维连续体中。描述正交各向异性材料应力-应变关系的胡克定律表达式为：

其中，εi和σi（i=x, y, z）分别表示法向应变和应力，γij和τij（i, j=x, y, z）分别表示剪应变和剪应力；Ei（i=1, 2, 3）是不同的杨氏模量...

## 基本假设

本节基于以下假设：
(1) 假定材料为弹性的和各向异性的，用正交各向异性材料模型表示。
(2) 截面中的应力σy、σz和τyz相对较小，可以忽略。
(3) 施加的载荷是保守的，且截面的应变和变形相对较小。

## Saint-Venant扭转理论修正

如图2(a)和(b)所示，在具有任意截面的杆件上施加扭矩Mx时，任意点P0的位移为...

## 数值实现

本研究的数值框架可分为两部分：(i)基于所提OCST单元的二维有限元横截面分析，以及(ii)将所得截面特性纳入所开发的LFEM进行结构分析。

## 算例1：正交各向异性构件的横截面分析

表1列出了几组正交各向异性材料的弹性参数（GFRP-M10E、CFRP-AGP370[54]和Timber-C24[4]），这些数据来自实验结果。这些参数作为后续分析的输入（如图5所示）。此外，由于各向同性理论仅需两个独立弹性参数[14]，因此也建立了各向同性材料模型进行比较。在该模型中，剪切模量由公式Giso=E1/(2(1+νiso))计算，其中νiso=(ν12+ν...

## 案例研究

本节进行了两个案例研究，以展示所提方法在更复杂结构中的适用性，包括二维承载索结构和三维支撑式木框架建筑。

## 结论

本文介绍了一种针对各向异性材料构件的先进横截面分析方法。开发了一种改进的FEA方法来计算具有任意截面的正交各向异性构件的截面特性，包括剪力中心、剪切系数、扭转和翘曲特性以及Wagner系数。这些特性随后被纳入LFEM进行几何非线性分析。所提方法的准确性为...

## CRediT作者贡献声明

薛海恩：原创草稿撰写、验证、软件、方法论、调查、形式分析、概念化。李英雷：审阅与编辑、验证、监督、方法论、调查、概念化。赵晓玲：审阅与编辑、监督、方法论、调查、形式分析、概念化。陈亮：审阅与编辑、验证、软件、调查、概念化。刘思伟：审阅与编辑。

## 利益冲突声明

作者声明，他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文中报告的工作。

## 致谢

本文描述的工作部分得到了香港特别行政区研究资助局通过项目"具有不规则截面的钢构件设计二阶直接分析（PolyU/21E/15203121）"的资助。此外，环保基金（项目编号ECF153/2024）也提供了额外支持。

**作者：** 薛海恩 | 李英雷 | 赵晓玲 | 陈亮 | 刘思伟