摘要
本文提出了一种有限元方法，用于求解直接以应力张量分量为变量的线性弹性理论边界值问题的数值解。与位移作为主要未知量的经典有限元公式不同，此处考虑的方法将应力分量作为求解量。本文研究了两种形式的边界值问题。第一种基于平衡方程和贝尔特拉米 - 米歇尔（Beltrami–Michell）方程的联用，第二种则是应力张量分量的泊松型方程变换系统。基于伽辽金法（Galerkin method）获得了两种形式的变分关系。采用三角形有限元上的线性基函数，构造局部矩阵并形成全局代数方程组，其未知量为应力的节点值。所开发方案的数值实现是通过内部 C++ 程序和 FreeFEM++ 软件环境完成的。为了验证所提出数学模型和数值模型的可靠性，求解了经典的带圆孔拉伸弹性板克尔什（Kirsch）问题，该问题以孔边缘附近明显的应力集中为特征。将应力分量的数值解与使用艾里（Airy）应力函数法获得的解析解进行比较，并与使用 FreeFEM++ 软件包进行的计算结果进行了对比。对比结果显示所获得解之间吻合良好，证实了在不先计算位移场的情况下直接确定应力的可能性。网格加密研究进一步显示数值误差呈系统性减小：在所考虑的最细网格上，形式 A 的相对误差降至 3.189%，形式 B 降至 7.415%。所提出的方法扩展了有限元方法在以应力为变量的弹性理论边界值问题中的适用性，可用于研究具有复杂几何形状和局部应力集中的问题。
