用于三维声波地震波场建模的高低频协同傅里叶神经算子

《Journal of Applied Geophysics》：High-low frequency collaborative Fourier neural operator for three-dimensional acoustic seismic wavefield modeling

　　

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  提出了HFNO用于三维声学地震波场正演模拟。
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  双分支傅里叶设计增强了高频波场恢复能力。
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  因果时间加权损失将声学波的因果性嵌入训练过程。
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  HFNO更好地解析断层和尖锐界面，并在SEG-Combined和HEMEWS-3D基准上进行了验证。
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  高频能量比误差相比FNO基线降低了高达33%，每次模拟的GPU推理时间为0.0094秒。

引言

基于声学波动方程的三维地震波传播模拟是勘探地球物理学中的关键技术，是计算数学与地下成像之间的关键接口。早期方法主要采用射线近似（Bullen, 1961）进行高频运动学建模，而有限差分方法（Virieux, 1986; Levander, 1988）实现了对该基本方程的全波形模拟。伪谱技术（Kosloff and Baysal, 1982）通过谱导数算子求解波动方程，进一步提高了建模精度，但其固有的计算障碍限制了其在复杂三维地质环境中的实际应用。谱元方法（Komatitsch and Tromp, 1999）的出现推动了弹性波解的发展，但可扩展性限制依然存在。随后的计算硬件进步推动了结构化离散化技术的突出地位，为波动方程求解奠定了坚实基础。然而，在三维声场模拟中，数值精度与资源消耗之间的矛盾依然突出，特别是在处理几何结构复杂的构造时，传统离散化范式面临不可接受的扩展性约束。

深度学习的革命重新定义了偏微分方程求解的计算范式（Raissi et al., 2019）。神经网络通过隐式编码波动方程算子提供了变革性潜力，从根本上不同于显式离散化数值策略。早期采用卷积架构（Wu et al., 2018）和循环模块（Wang et al., 2021, Wang et al., 2023）的探索取得了一定成功，但受限于其固有的局部性偏差，这些方法类似于欧拉离散化框架的局限性，未能超越传统计算范式。

傅里叶神经算子（FNO）网络（Li et al., 2021; Yang et al., 2021; Zhu et al., 2023）在算子学习中标志着范式转变，在神经网络架构中嵌入了声学波动方程求解器。通过利用快速傅里叶变换（FFT）实现谱卷积，FNO实现了高效的全局特征提取，与传统卷积架构相比展现了在不同空间离散化下更好的泛化能力，使三维声场建模具有更强的灵活性来表征多尺度地质特征。然而，调和傅里叶基函数的周期性与局部地质不连续性之间的关键挑战依然存在，特别是在声近似条件下建模断层网络和具有强速度对比的介质时。

为了克服传统FNO的局限性，特别是傅里叶模式截断导致的高频信息丢失和缺乏物理时间约束的问题，我们提出了HFNO，这是一个整合架构创新与物理信息驱动训练的综合框架。在架构方面，我们设计了一种双分支频率感知的FNO变体，通过专用的傅里叶分支显式分离低频和高频频谱处理，增强了复杂地质边界附近细尺度声场特征的表征能力。在物理约束方面，我们采用了时间加权因果损失函数（Wang et al., 2024），通过优先关注早期时间预测误差来强制声学波传播的时间因果性。需要注意的是，当前形式采用声学近似，未考虑剪切波效应；扩展到弹性波动方程留作未来工作。

在三个地质复杂度和空间分辨率逐步增加的基准数据集上的验证，包括一个合成数据集、一个物理真实的非均匀数据集HEMEWS-3D，以及一个大规模数据集SEG-Combined（结合SEG/EAGE Salt和Overthrust速度模型），表明所提出的方法在所有三个数据集上始终实现最低的高频能量比误差（HER），同时相对于FNO（Li et al., 2021）、U-FNO（Wen et al., 2022）、Fourier-DeepONet（Zhu et al., 2023）和多尺度傅里叶神经算子（MSFNO）（Guibas et al., 2022）提供具有竞争力或最佳的全局精度和高频相关性性能。除了标准的相对$L^2$误差外，我们引入了两个补充谱指标，即高频能量比误差（HER）和高频相关误差，以更全面地评估高频重建保真度。鲁棒性和泛化性实验进一步证实了在含噪输入和不同震源配置下的稳定性能。

本文结构如下：第2节通过形式化声学波传播机理和神经算子概念建立理论基础，随后介绍HFNO架构和时间加权因果损失函数。第3节详细描述了三个基准数据集的构建。第4节呈现了全面的对比实验、消融研究、敏感性分析和鲁棒性评估，实现对模型在空间和频率域性能的系统评估。第5节总结全文并展望有前景的研究方向。

章节摘要

地震波方程

声学波动方程支配非均匀声学介质中的压力波传播，源自质量守恒和构成本构关系的组合。当地震源作用于介质时，会产生压力扰动，并根据介质的压缩性和密度进行传播，遵循严格的物理因果律。正如惠更斯-菲涅尔原理（Dong et al., 2018; Virieux and Operto, 2009）所述，任何波场扰动都作为源作用于

数据集

本研究采用三个地质复杂度和空间分辨率逐步增加的基准数据集来训练和评估所提出的HFNO框架。第一个数据集是在受控地质参数化下合成的，实现了跨不同结构复杂度的系统性评估。其余两个数据集源自地质真实且工业标准的地震速度模型，为模型在

参数配置

为确保可重复性和公平比较，我们描述了所有实验中采用的网络架构和训练配置。架构主要目标为${30}^3$输入网格，SEG-Combined数据集的${64}^3$配置通过调整傅里叶模式数量和通道宽度来扩展，详见下文。

架构在提升层Conv1和解码器层Conv2/Conv3之间堆叠了四层FNO和两层HFNO，所有层均包含批量归一化和GeLU

结论

本工作针对复杂地质环境下三维声学地震波场正演模拟的基本挑战，提出了HFNO。所提出的框架引入了双分支谱架构，显式解耦多尺度特征学习：标准傅里叶分支捕捉全局低频波场结构，而专用高频分支采用频带选择来增强局部

CRediT作者贡献声明

孙鹏元：资源获取、项目管理、方法论、调查研究、资金获取、概念设计。侯普义：初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、数据整理。林烨：审阅与编辑、监督指导、方法论、调查研究。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所报告工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本工作由国家油气勘探计算机软件工程研究中心委托技术开发项目"地球物理应用中的偏微分方程智能求解研究"（合同编号：DFWT-ZYRJ-2024-JS-79）资助。

Pengyuan Sun|Puyi Hou|Ye Lin