有限元引导的反演网络用于梯度模量分布的全场重建

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Finite-element-guided inversion network for full-field reconstruction of graded modulus distributions

　　

•局部和全局弱形式损失函数引导全场梯度模量场的恢复。•解析损失函数敏感性分析实现了高效的物理引导训练。•在含噪全场测量条件下评估了混合损失函数加权方案。•重复查询推理在保持竞争性精度的同时，优于伴随法反演。

引言
高通量表征（HTC）能够在单次实验中快速获取大规模属性数据集，显著提升了材料筛选效率[[1], [2], [3]]。然而，在力学表征领域，HTC的发展仍然滞后于化学和热性能研究。现有的力学HTC工作主要针对标量指标，如热膨胀系数[4]、增材制造材料的弹性模量[5]以及断裂强度[6,7]。虽然这些离散HTC方法可以并行筛选多种组分，但通常需要更多的实验资源，可能遗漏中间混合状态，并且对样品间的制造不一致性较为敏感。基于函数梯度材料（FGMs）的连续HTC提供了一种替代方案，即将完整的组分路径嵌入到单个样品中，使得可以从单次实验中推断连续变化的杨氏模量[[8], [9], [10], [11]]。这种方法在大幅减少材料消耗和实验时间的同时，通过消除样品间变异提高了数据一致性，特别适合在组分梯度上进行系统性的性能映射。在该框架下，力学表征自然地转化为由数字图像相关技术（DIC）位移测量驱动的全场反问题[12]，其核心任务是从测量位移场重建全场模量分布图。对于连续HTC而言，反演方法必须能够在不需要针对样品进行参数调优的情况下，对大量样品进行快速推理。

针对全场反识别，已有成熟的策略包括有限元模型更新法（FEMU）、本构方程残差法（CEGM）、虚拟场法（VFM）和平衡残差法（EGM）[[13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]]。FEMU通过最小化测量场与模拟场之间的偏差来更新参数[13,14]，CEGM利用本构一致性残差与可容许应力构造[19]，VFM/EGM则在测量场上施加虚功或平衡一致性[16,18]。这些方法族在全场识别实践中已得到充分建立[15,20]，并在最近面向实验力学的物理信息神经网络（PINNs）研究中也有所讨论[21]。噪声感知的本构关系误差变体也得到了进一步发展，以提高数据-模型同化中的鲁棒性[22]。这些基于物理的方法提供了较高的可解释性和显式的力学一致性[23]，其中VFM近年来在多个方向上持续发展[[24], [25], [26]]。然而，对于高维场反演，许多方法仍然需要迭代正/反问题更新和精细的正则化参数调优，这在重复查询场景下会限制处理吞吐量。具体而言，基于伴随的方法通常每个样品需要数十到上百次正/反问题迭代，每次迭代都涉及完整的有限元装配和求解。此外，最优正则化参数往往在不同的模量分布之间变化，需要通过L曲线分析[27]或交叉验证[28]进行逐例调优。这些计算和操作瓶颈限制了传统迭代方法在连续表征场景中对新样品进行快速推理的实际吞吐量，从而推动了对学习型代理方法的发展需求——这类方法能够在多次查询中分摊训练成本，同时保留物理约束。

近期的深度学习（DL）方法为全场反分析提供了一条互补路径。卷积神经网络提供了有效的场到场表示基础[29,30]，U-Net等编码器-解码器架构尤其适合密集的场反重建，因为跳跃连接有助于在聚合多尺度上下文特征的同时保留局部空间信息[31,32]。代表性研究在反力学和性能场重建方面取得了令人鼓舞的结果[32]，包括从位移场恢复杨氏模量以及非均匀微结构的拟反变形分析[9,34,35]。深度学习也被用于更一般的反材料表征[36]以及物理约束下复合材料层压板的反演[37]。尽管具有令人满意的重建性能，但这些端到端的数据驱动框架完全依赖训练数据的完整性，无法内在满足物理一致性，这可能导致物理上不合理的预测，尤其是在含噪输入条件下。这一局限性促使将控制方程引入学习目标，以提高精度和鲁棒性。

物理信息神经网络（PINNs）[38,39]是其中一种方法，在网络训练过程中将控制方程嵌入学习目标[40,41]。应用于弹性力学领域时，PINNs已被用于求解耦合的正问题/反问题/混合问题[38,39]，包括空间变化模量的实验识别[21]，以及最近含噪位移测量下的鲁棒重建[42]。然而，现有的物理信息方法在梯度材料HTC方面面临若干局限性。首先，标准PINNs通常按问题单独训练，对具有不同边界条件或材料分布的每个新样品都需要重新训练[43,44]。这种按问题训练的范式限制了其在高通量场景中的适用性，在这些场景中需要对大量样品进行快速推理。其次，PINNs通过惩罚微分算子的逐点残差来施加强形式PDE，这需要对边界条件进行仔细处理，并且对配点选择敏感[45,46]。最新证据表明，除非更明确地施加物理约束，基线PINNs在非均匀识别中可能会失去精度[21,[47], [48], [49]]。第三，许多近期的物理信息反力学研究聚焦于在区域化参数化下定位局部刚/柔区域或界面[33,41,50]，而梯度材料的HTC需要对连续变化的模量分布进行全场重建。

与惩罚强形式逐点残差不同，弱形式和有限元积分公式将PDE残差重新表述为变分或有限元形式[51,52]。变分和域分解PINNs[53]在变分试探空间上施加控制方程[54,55]。深度有限元法通过预测节点位移并最小化有限元能量损失来求解正向边值问题[56,57]。有限元积分反演公式联合优化未知材料或边界参数以及用于表示状态的神经网络[58,59]。基于平衡的卷积网络为超弹性材料学习平衡约束的本构响应[60]。这些研究将力学残差与神经表示相结合，但解决的是正向状态问题、逐例参数识别或本构映射问题，没有任何一种能够实现从测量位移场到连续变化材料场的单次映射。在此背景下，针对FGMs连续模量场反重建的若干具体问题仍未得到充分解决[[8], [9], [10], [11]]。首先，从位移测量中进行全场模量反演本质上是病态的，且对测量噪声敏感，但含噪输入下的鲁棒性尚未对连续梯度样品进行系统量化[21,22]。此外，虽然物理引导学习在相关的反识别问题中已显示出前景[41,50]，但不同的基于平衡的损失构造尚未被比较性地考察用于连续模量场重建。最后但同样重要的是，针对此类反问题的有效损失设计策略——在保持预测精度的同时提高鲁棒性——尚未建立。

为应对这些挑战，我们提出了有限元引导反演网络（FE-GIN）用于连续高通量力学表征中的模量场重建。该框架将基于数据集的学习与弱形式平衡约束相结合，通过弱形式有限元公式将物理引导的监督引入网络训练，并自然地施加边界条件。在该框架内，空间梯度模量场使用等参梯度有限元（IGFE）公式[61]进行表示。此外，由于IGFE刚度矩阵对模量场具有线性依赖关系，相应的敏感性分析可以相应地展开[62]。我们还研究了混合损失设计，并将所提方法与经典伴随法反演方法进行了比较。主要贡献总结如下：

1. 物理引导的反演学习框架。我们开发了FE-GIN，将局部和全局弱形式平衡损失引入U-Net训练中以从全场测量中重建模量场。一旦完成训练，该网络可以直接预测新样品的模量场，无需逐样品重新训练或迭代反演。

2. 混合损失公式与参数研究。我们设计了平衡数据保真度和物理一致性的混合损失，并系统地研究了在含噪全场测量条件下损失加权的影响。所得参数分析确定了有效的加权策略，并阐明了精度-鲁棒性之间的权衡。

3. 与参考伴随法迭代反演方法的基准比较。我们与经典伴随法迭代反演方法进行了全面比较。该比较评估了两种不同反演策略的重建性能和计算特征。结果表明，FE-GIN在测试案例中达到了竞争性或更优的重建精度，同时避免了逐样品迭代优化和逐例正则化调优，使其非常适合重复查询的连续高通量力学表征。

本文其余部分组织如下：第2节介绍正向弹性模型和弱形式公式，作为参考迭代方法的伴随法反演公式，以及所提出的FE-GIN框架和建模设置、数据集生成和评估方案。第3节分析局部和全局平衡损失的解析敏感性和数值特征。第4节展示数值结果，包括单损失模型的性能、混合损失模型在不同损失权重和噪声水平下的表现，以及最优混合模型与伴随法反演方法的比较。第5节总结全文并讨论未来扩展方向。

---

## 问题公式化与有限元引导反演网络

本节首先介绍正向弹性模型及其弱形式有限元公式，为反问题和所提出的学习框架提供力学基础。然后介绍反问题及相应的伴随法优化方法，后者作为参考迭代反演方法基准。接下来描述所提出的FE-GIN框架，重点阐述如何构建局部和全局平衡损失。

---

## 物理约束损失的敏感性与数值特征

本节分析第2.3节引入的两种物理约束损失，即局部平衡损失和全局平衡损失。分析聚焦于其解析敏感性、残差结构和数值特征。第3.1节推导两种损失相对于预测模量场的解析敏感性。第3.2节考察相应的残差结构和局部数值特征。第3.3节比较两者。

---

## 结果与鲁棒性分析

本节系统评估所提出的FE-GIN框架在从位移测量中进行全场弹性模量反演方面的表现。分析聚焦于重建精度与抗测量噪声鲁棒性之间的权衡。首先检验三种单损失模型，以阐明纯数据驱动和纯物理约束目标的差异行为。其次，通过组合MSE项与局部或全局损失构建混合损失模型。

---

## 结论

在本工作中，我们开发了FE-GIN用于从位移测量中进行连续变化模量场的全场重建。通过将弱形式平衡信息纳入基于U-Net架构的反演学习框架，所提方法将深度神经网络的强大场到场表示能力与基于平衡的损失公式相结合。该设计为FGMs的准确表征提供了一个鲁棒的反演学习框架。

---

## CRediT作者贡献声明

Gengxuan Zhu：撰写——初稿、验证、方法论、调查、概念构思。Zonghao Li：撰写——审阅与编辑、验证、调查、概念构思。Ronghao Bao：撰写——审阅与编辑、监督、概念构思。Weiqiu Chen：撰写——审阅与编辑、监督、经费获取、概念构思。

---

## 数据可用性

本研究使用的处理后数据集和源代码将在论文接受后通过GitHub仓库公开发布。

---

## CRediT作者贡献声明

Gengxuan Zhu：撰写——初稿、验证、方法论、调查、概念构思。Zonghao Li：撰写——审阅与编辑、验证、调查、概念构思。Ronghao Bao：撰写——审阅与编辑、监督、概念构思。Weiqiu Chen：撰写——审阅与编辑、监督、经费获取、概念构思。

Gengxuan Zhu | Zonghao Li | Ronghao Bao | Weiqiu Chen