统一评估框架下偏微分方程求解中经典数值方法与机器学习范式的认识论比较与混合整合路径

《ARTIFICIAL INTELLIGENCE REVIEW》：Partial differential equations in the age of machine learning: a critical synthesis of classical, machine learning, and hybrid methods

　　

摘要

偏微分方程（PDEs）支配着从微观到宏观全尺度范围内的物理现象，然而其计算求解仍是现代科学面临的核心挑战之一。本文作为一篇批判性综述，通过一个统一的评估框架考察了偏微分方程求解的两个成熟但认识论上截然不同的范式——经典数值方法和机器学习方法。该框架围绕六个基本计算挑战构建：高维性、非线性、几何复杂性、间断性、多尺度现象和多物理场耦合。经典方法，包括有限差分法、有限元法、有限体积法和谱离散化方法，从其结构保持性质、严格的收敛理论和可扩展的求解器设计方面进行评估；其在高维和几何复杂场景中的持续局限性得到了详细表征。机器学习方法，包括物理信息神经网络、神经算子、图架构、Transformer、生成模型和混合框架，按照物理知识被纳入的程度进行分类评估，并接受与经典方法相同的批判性审视。核心发现是：经典方法是演绎式的——其误差由可从PDE结构和离散化参数推导出的量所界定；机器学习方法是归纳式的——其精度取决于与训练分布的统计接近程度。这一区分决定的不是哪种范式更优，而是每种方法能够认证什么，因而应该在何处部署。认识论特征，而非计算速度，是负责任的方法选择的首要准则。我们识别了两种范式之间的三个真正互补性，并发展了混合设计的原则，包括一个结构继承问题的框架，以及一种将离散化、神经近似和耦合贡献分离的错误预算分解。我们进一步评估了新兴前沿领域，包括科学计算基础模型、用于逆向设计的可微分编程、量子算法和百亿亿次级协同设计，并针对决定当前障碍是本质性的还是取决于工程进步的结构约束对每一项进行评估。结论不是一种范式取代另一种，而是两者的有原则的整合——基于各自提供的互补优势——为在计算上可解决的、单凭任何一方都无法应对的最重要开放问题提供了最具可信度的路径。