适用于瞬态热传导拓扑优化的时空多重网格方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Space-time multigrid methods suitable for topology optimisation of transient heat conduction

　　

- 瞬态热传导的时空多重网格方法。
- 适用于高对比度问题的半粗化策略。
- 不同的温度插值方法和粗层离散化方法。
- 通过将这些方法应用于一维拓扑优化问题来展示其鲁棒性。

## 引言

拓扑优化方法是计算设计方法，旨在为各种工程应用寻找最优的材料分布 [1], [2]。其中一个应用领域是瞬态热传导的优化 [3], [4], [5], [6]，这也是本文的重点。先前已经证明瞬态效应会影响优化设计 [7], [8]，并且在实践中很重要，因为许多物理情况本质上都是瞬态的，例如电子芯片的工作负载和热量产生 [8]。

拓扑优化方法可能因其高昂的计算成本而受阻，这是因为被优化的系统在迭代优化过程中必须被模拟多次 [1]。这对时间相关问题尤其成为一个问题，因为每次模拟的计算时间对于实际的问题可以轻松达到数小时甚至数天的量级，导致优化时间例如二维自然对流需要 12 天 [9]，三维光子学需要"数天" [10]。因此，对快速高效的求解器算法存在需求。

各种方法已被应用于加速拓扑优化 [11]，尽管主要应用于稳态问题。其中包括多重网格方法，如几何多重网格 (GMG) [12], [13] 和代数多重网格 (AMG) 方法 [14], [15]。这些多重网格方法已被用作外层求解器算法的预条件器，如共轭梯度法 [16] 和 GMRES [17]。这些方法的优点是具有良好的可扩展性和可并行性。然而，如果被考虑的问题包含小特征和高系数对比度，多重网格方法的性能通常会下降 [12]，而这在进行拓扑优化时往往是这样。尽管如此，多重网格方法已被用于解决各种大规模拓扑优化问题 [18], [19], [20], [21], [22], [23], [24]。一些工作也致力于开发拓扑优化的对比度无关多层预条件器 [25], [26], [27], [28]。

拓扑优化方法的并行化工作主要集中于对空间进行并行计算，其中每个处理器处理空间域的一个片段。尽管该方法适用于瞬态问题 [29]，但这种并行计算方法提供的加速量是有限的，因为时间步进方法仍然是顺序的。为了解决这个问题，可以使用时间并行方法。

已经研究和开发了多种时间并行方法，如 Gander [30] 和 Ong 和 Schroder [31] 的综述论文所述。一些例子包括 Parareal [32]、时间上的多重网格归约 [33]、并行时间步进方法 [34]，以及 PFASST [35]。其中一些方法已被应用于优化问题，如尺寸优化 [36] 和最优控制问题 [37], [38], [39]。然而，据作者所知，文献中只有两种时间并行方法被应用于拓扑优化。首先，并行局部时间方法 [40] 具有当使用过多处理器时变得不可靠的缺点。其次，一次完成的 Parareal 拓扑优化方法 [41] 具有可扩展性差的缺点。为了解决这些问题，本文重点关注时空多重网格 (STMG) 方法 [42]，因为这些方法据报告是时间并行方法中最快的之一 [43]。这些方法的工作方式类似于空间多重网格方法，即定义一系列粗网格，然后使用平滑方案和粗网格校正来求解被考虑的问题。然而，STMG 方法应用于时空域，其中时间轴被视为域的另一个维度，而不是纯粹的空间域。

时空域本质上是各向异性的，因为时间维度在定性上不同于空间维度。这意味着 STMG 方法面临着各向异性问题的空间多重网格方法中出现的那些挑战。例如，如果使用标准粗化（即问题的所有维度同时粗化）和逐点光滑子，则可能导致非常慢的收敛率 [44]。这可以通过使用在最强耦合方向上的半粗化 [44] 或根据最强耦合方向选择不同的光滑子 [45] 来避免。在扩散问题的 STMG 方法背景下，最强耦合方向由参数 λ 决定，λ 定义为 λ=DΔt/Δx2，其中 D 是扩散系数，Δt 是时间步长，Δx 是空间步长。如果 λ 较小，则时间方向上的耦合最强，而如果 λ 较大，则空间方向上的耦合最强。参数 λ 在本文中被称为"各向异性参数"，但它也被称为"离散各向异性" [44] 和"离散化参数" [46]。

对于涉及热导体和绝缘体的实际热传导问题，扩散率变得不均匀，扩散率的对比度可以轻松达到 103 的量级，这意味着 λ 的对比度也可以达到 103 的量级。因此，域中不同部分的最强耦合方向不同。因此，如何为这些不均匀问题定义良好的半粗化策略或平滑方案尚不清楚。

作者只了解到六篇考虑了 STMG 方法应用于不均匀问题的文献。Li 和 Wheeler [47] 将 STMG 方法应用于多孔介质中高对比度、非线性、两相流。为此，使用了时空网格的自适应细化而不是自适应粗化。Margenberg 和 Munch [48] 将 STMG 方法应用于传播速度随空间变化的波动传播问题。使用了逐点光滑子和半粗化策略，但粗化策略与材料参数无关。D?rfler 等 [49] 将 STMG 应用于具有不均匀输运速度的对流问题。为此，使用了块雅可比和块高斯-塞德尔光滑子以及半粗化，但半粗化与速度无关。Schafelner [50] 为不均匀扩散问题建立了时空有限元方法，并使用代数多重网格方法作为预条件器。Schwalsberger [51] 和 Neumüller 和 Schwalsberger [52] 将 STMG 方法应用于高对比度涡流问题，这是扩散问题。为此，使用了粗化策略，其中粗化类型根据类似于 λ 最小值的量来决定。

本文提出了适用于进行瞬态热传导拓扑优化的时空多重网格方法。具体而言，提出了适用于高对比度热传导问题的粗化策略，其中粗化策略取决于材料参数，这据作者所知在之前的工作中尚未涉及。此外，本文研究了在粗网格上定义离散化的不同方法，并展示了这些策略和方法的鲁棒性。

本文结构如下：第 2 节介绍所考虑的控制方程和离散化；第 3 节介绍用于求解离散方程的 STMG 方法，并解释各向异性参数 λ 的重要性；第 4 节提出一个"有效各向异性参数"，适用于为高对比度问题定义半粗化策略；第 5 节介绍不同的插值方法和 STMG 方法粗网格的重新离散化方法；第 6 节提出确保粗网格上空间分辨率的半粗化策略；第 7 节将 STMG 方法应用于类似于拓扑优化问题的优化问题；第 8 节给出结论。

## 2 控制方程

拓扑优化问题涉及热传导时通常考虑两个或三个空间维度。然而，为了简化，本工作考虑一维瞬态热传导，由以下偏微分方程 (PDE) 和边界条件控制：

c ?T/?t - ?/?x(k ?T/?x) = q，0≤x≤L，0≤t≤T

T=0，t=0 时

T=0，x=0 时

?T/?x=0，x=L 时

其中 T=T(x,t) 是温度场，c=c(x) 是体积热容，k=k(x) 是热导率，q=q(x,t) 是

## 3 时空多重网格方法

本工作使用 STMG 方法求解方程 (8)。本节描述在第 3 节"时空多重网格方法"和第 4 节"有效各向异性参数"中研究的 STMG 方法。在第 5 节中，将通过引入不同的插值方法和矩阵重新组装方法对其进行修改。

## 4 有效各向异性参数

通过反复试验发现，以下"有效各向异性参数"作为高对比度问题中何时使用 x-粗化或 t-粗化的指标效果很好：

λ_eff = min_e(λ_e) / max_e(λ_e)

定义 λ_eff 的等价方式如下：

λ_eff = D_eff Δt / Δx2

其中 D_eff 是"有效扩散率"，其定义为：

D_eff = min_e(D_e) / max_e(D_e)

这是最小和最大扩散率的几何平均值。该指标的启发式推导见附录 B。

## 5 不同的重新离散化方法

到目前为止，本文已经介绍了一种重新离散化时空多重网格方法粗层的方法。本节将介绍本工作中测试的其他重新离散化方法。

## 6 确保粗网格上空间分辨率的粗化策略

如第 3.3 节所述，热传导问题的拓扑优化通常会产生包含非常小特征的结构，如果应用过多的 x-粗化，这些特征在粗网格上将被不充分解析。因此，修改粗化策略使其在粗网格上的空间分辨率变得太差时执行 t-粗化可能是有利的。这样的修改在算法 8 中提出。该粗化策略与算法 4 相同，

## 7 时空多重网格方法应用于优化问题

为了研究 STMG 方法的鲁棒性，将其应用于在某些方面类似于实际拓扑优化问题的优化问题的背景下。

## 8 结论

本文旨在制定适用于进行瞬态热传导问题的基于密度的拓扑优化的时空多重网格 (STMG) 方法。这通过数值实验调查各种粗化策略、插值方法和矩阵重新组装方法在应用于具有小特征和高材料属性对比度问题时的性能来实现。这是在仅使用均匀笛卡尔

## CRediT 作者贡献声明

Magnus Appel：撰写-初稿、可视化、软件、方法论、调查、形式分析、概念化。
Joe Alexandersen：撰写-审阅与编辑、监督、软件、方法论、资金获取、概念化。

## 利益冲突声明

作者声明没有已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

## 致谢

本工作由丹麦独立研究基金 (DFF) 通过 Sapere Aude 研究领导者拨款 (3123-00020B) 资助，用于 COMFORT 项目 (COmputational Morphogenesis FOR Time-dependent problems)。DFF 除了提供资金外没有参与本工作。

本文中描述的时空多重网格方法的实现是对 Amir 等 [12] 发布的多重网格方法 MATLAB 代码的修改。感谢他们使该代码公开可用。

Magnus Appel | Joe Alexandersen