具有奇异漂移和分数噪声的随机微分方程中随机θ方法的强收敛率

《Mathematics and Computers in Simulation》：Strong convergence rate of stochastic theta-method for SDEs with singular drift and fractional noise

　　

摘要

本文研究了由分数布朗运动（Hurst参数??∈(1/2,1)）驱动的奇异随机微分方程的随机θ方法的强收敛速率。通过运用Malliavin微积分和随机分析的工具，我们证明了随机θ方法可达到一阶强收敛。该方法可应用于CIR模型和CEV模型等金融模型。数值实验证实了理论收敛速率，并量化表明在所测试的CEV和CIR情形中，对称选择??=0.5在每步基本相同计算成本下，比后向Euler方法产生显著更小的误差。

引言

考虑一类由分数布朗运动（fBm）驱动的随机微分方程（SDEs）

d???? = ??(????)???? + ?? ????_????, ??? ≥ 0, ?? ∈ [0, ??],

其中??_????是具有Hurst参数??∈(1/2,1)的fBm。漂移项??(??)仅在(0,∞)上局部Lipschitz连续，且在0附近无界。

分数布朗运动由Mandelbrot和Van Ness于1968年引入[1]，通过引入区间(0,1)内的Hurst参数??来推广经典布朗运动。Hurst参数??在刻画fBm驱动系统的行为中起着关键作用。当??=1/2时，fBm退化为标准布朗运动；但当??偏离1/2时，fBm表现出长程依赖、自相似性和增量非独立性等独特性质[2],[3],[4],[5]。这些性质使fBm成为建模生物学、金融和工程等领域复杂系统的强大工具[6],[7],[8],[9],[10]。

因此，由fBm驱动的SDEs近年来引起了极大的研究兴趣，这得益于其能够建模具有长程依赖和非马尔可夫特性的系统。研究此类SDE解的性质，特别是其数值近似，对理论发展和实际应用都具有重要意义。对于具有全局Lipschitz漂移系数的SDEs，数值分析已取得显著进展，例如参见[11],[12],[13],[14]。如果漂移系数正则性较差，数值分析则变得显著更加困难。例如，[15]建立了由加性fBm驱动、具有??_??漂移的SDEs的Euler–Maruyama格式最优强收敛速率。在[16]中，后向Euler方法被应用于由fBm驱动、漂移系数满足单侧Lipschitz条件的SDEs。作者证明了该方法达到一阶最优收敛速率，并辅以渐近误差分布分析作为支撑。对于CIR模型，[17]引入了通过Lamperti变换导出的辅助方程的后向Euler格式。该辅助方程具有奇异漂移，且该格式被证明可达到一阶最优强收敛速率。[18]将此方法扩展到了更广泛的加性fBm驱动且具有在原点附近无界的局部Lipschitz漂移项的SDEs类。这些结果适用于关键的金融模型，包括CEV模型和A?t-Sahalia型模型。[19]在类似条件下确认了此类格式达到一阶最优收敛速率。

在上述研究基础上，我们关注具有Hurst参数??∈(1/2,1)的fBm驱动的奇异SDEs的随机θ方法的强收敛速率。由于fBm在此范围内具有非半鞅性质，传统的随机分析工具及基于鞅理论的方法无法直接应用。我们利用Malliavin微积分克服这一困难，并证明此类SDEs的随机θ方法的强收敛速率为一阶（定理3.1）。我们的结果将[17]中后向Euler方法的分析推广到了一个更一般的格式，从而允许调节隐式和显式漂移权重。特别地，??=0对应后向Euler方法，??=0.5对应对称梯形选择。我们在CIR和CEV模型上展示了理论分析，并使用公共fBm样本路径比较了??=0、0.3、0.5、0.8的选择。比较报告了强误差以及计算时间。

本文结构如下。第2节介绍fBm的性质及相关Malliavin微积分，以及下文使用的条件和引理。第3节介绍随机θ方法并给出主要收敛结果。第4节呈现数值实验及与后向Euler方法的比较。

预备知识

本节主要介绍fBm和Malliavin微积分，并呈现一系列条件和引理。这些结果将为后续各节中的主要定理和结论提供必要的理论基础。更多细节请参阅[20]和[5, 第5章]。本文中，我们用??表示一般常数，用??(?)表示其所依赖的参数。

概率空间(??, ?, ?)上的fBm {??_????: ?? ∈ [0,??]}是一个具有连续样本的中心高斯过程……

数值近似

在本节中，我们将随机θ方法应用于SDE (1.1)，假设漂移项??(?)满足假设2.1、2.4和2.5。

设??>0和??∈?使得时间步长?=??/?? < (?? ∨ ??)?1。记???=???和Δ??_??,???=??_??,????????_??,???。我们引入(1.1)的随机θ方法。定义???=???>0，并考虑

????? = ??? + ?[(1???)??(?????) + ????(???)] + ?? Δ??_??,???, ??=0,…,???1,

其中??∈[0,1)。注意在我们的参数化中，隐式漂移权重为1???。因此，??=0对应后向Euler方法，而??=0.5……

数值实验

本节呈现恒弹性方差（CEV）模型和Cox–Ingersoll–Ross（CIR）模型的实验。在(3.1)的参数化中，下面比较的四种方法为后向Euler（??=0）以及??=0.3、0.5、0.8的选择。给定设定中的四种近似均使用相同的fBm实现。

CRediT作者贡献声明

Lijun Miao：撰写——原稿撰写。Congqi Wang：形式化分析。Chuying Huang：撰写——审阅与编辑。

致谢

Lijun Miao的研究由国家自然科学基金（编号12001256）资助。Chuying Huang的研究由国家自然科学基金（编号12101127）支持。

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