一种用于曲面上对流主导扩散方程的单元中心二阶有限体积方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A cell-centered second-order finite volume method for convection-dominated diffusion equations on surfaces

　　

# 曲面上稳定且局部守恒的定常对流主导扩散方程离散化

## 摘要

曲面上定常对流主导扩散方程的稳定且局部守恒的离散化具有挑战性，因为小扩散系数和尖锐层可能导致未经稳定化的离散格式产生非物理振荡，而非共面的表面单元使得一致守恒的单元间通量构造变得困难。控制方程的守恒通量平衡结构自然地促使采用有限体积离散化方法，其中单元间通量表示控制体界面处的物理量交换。基于这一结构，本文发展了一种几何自适应的单元中心有限体积方法，其中单元平均未知量和边基数值通量直接执行局部守恒，并为迎风格通量评估、MUSCL型限制和保守扩散通量近似提供了便利的设置。顶点值在局部近似切平面上由邻近单元平均值重构，并使用受限的单元中心切向梯度进行MUSCL型对流通量近似。引入统一的定向边余法线来定义每个非共面单元界面处单一共享的数值通量，在相邻两个控制体的平衡中取相反符号。扩散通量通过表面菱形单元重构来近似边中心余法向导数。在网格正则性、限制性和强制等假设下，证明非线性离散问题具有离散解，且在依赖于网格的范数下具有渐近唯一性；此外，建立了一个条件性结果，表明在渐近正则性假设下，阻尼Picard迭代收敛于离散解集。在代表性曲面上的数值实验表明，对于光滑解，L2范数收敛阶数约为二阶，在对流主导情形下虚假振荡减少。在重心底控制体上的测试进一步证明了有限体积平衡原理在替代表面网格上的灵活性。

## 引言

曲面上的对流主导扩散方程（CDDEs）出现在广泛的科学与工程应用中，包括生物膜上的输运过程[1][2][3]、表面活性剂动力学和界面传热。与在平面域上求解偏微分方程相比，曲面上偏微分方程的数值计算和分析涉及额外的几何困难，包括曲面本身的近似、切空间和表面法向的变化，以及本质上切向微分算子的离散化。在对流主导情形中，小扩散系数和尖锐层进一步使标准的未经稳定化的离散化在层附近和梯度大的区域容易产生非物理振荡。因此，近年来，开发曲面上CDDEs的稳定、精确、局部守恒且几何一致的数值方法受到了越来越多的关注。

在现有的曲面偏微分方程数值方法中，曲面有限元方法（SFEM）已被广泛研究，并成功应用于拉普拉斯-贝尔特拉米及相关曲面椭圆问题。自Dziuk的开创性工作[4][5][6]以来，SFEM已成为曲面上PDE数值近似的标准框架之一。然而，对于对流主导的曲面问题，除非引入适当的稳定化机制，否则标准的Galerkin离散化可能会遭受非物理振荡。因此，稳定化有限元技术，如流线迎风/Petrov-Galerkin方法、间断Galerkin方法、局部投影稳定化方法和变分多尺度方法，已被开发或扩展至曲面对流-扩散-反应方程[7][8][9][10][11][12]。这些基于变分的方法具有坚实的数学基础和相当的几何灵活性，但适当稳定项的构造往往依赖于具体问题。此外，额外的基于残差、投影或亚网格尺度的稳定项可能会增加实现和矩阵组装的复杂性。如果稳定化太弱，虚假振荡可能持续存在；如果太强，尖锐层可能会被过度的数值耗散所平滑。

这些观察促使在对流主导的曲面问题中使用守恒的有限体积公式。与通常需要构造和调整额外的依赖于问题的稳定化参数的稳定化变分方法不同，有限体积方法直接通过迎风数值通量和MUSCL型非线性限制引入稳定化。这些基于通量技术提供了一种无参数稳定化策略，即不需要选择或校准额外的稳定化参数。由于CDDEs具有自然的通量平衡形式，有限体积框架还通过数值边通量直接执行局部守恒。因此，它提供了一种适合减少对流主导区域虚假振荡同时保持曲面问题局部平衡结构的方法。

在有限体积方法家族中，单元中心公式特别适合具有守恒或通量平衡结构的输运和流动问题。在该公式中，自由度的量是控制体上的单元平均值，离散平衡直接通过控制体界面处的数值通量表达。这种结构自然地保持局部守恒，适用于结构化和非结构化网格，并为迎风格通量评估、MUSCL型重构以及尖锐流动特征附近的非线性限制提供了便利的框架[13][14]。它也与可压缩和不可压缩流动计算中的守恒有限体积求解器密切对齐，其中控制体平均值通过界面通量平衡更新。这些特征使得单元中心观点成为本文所考虑的对流主导曲面输运问题的自然候选，并为未来扩展到流动耦合的曲面模型提供了可能的基础[15]。

单元中心有限体积的选择还得到了欧几里得域中有限体积方法广泛发展的支持。对于非结构化网格上的对流-扩散问题已取得实质性进展[16][17]。特别是，Bertolazzi和Manzini的MUSCL型单元中心有限体积框架[18][19]结合了最小二乘重构、非线性梯度限制和菱形单元扩散通量近似。该框架在保持非结构化单纯形网格上抑制虚假数值振荡的同时，提供了二阶精确的单元平均值近似。此外，所得的非线性离散问题具有可解性分析和离散解集的渐近唯一性结果。在球面设置中，Ullrich等人[20]在非正交等角立方体球网格上为时变浅水方程开发了三四阶完全守恒的有限体积格式，使用了高阶MUSCL型重构和近似Riemann求解器。曲面上椭圆和抛物问题的有限体积方法也在[1][21][22][23][24]中进行了研究。尽管这些工作为曲面上的有限体积离散化提供了重要的先例，但它们涉及不同的方程类别和网格结构；因此，为一般三角化曲面上的定常对流主导扩散方程构造二阶单元中心MUSCL-菱形有限体积框架仍然是非平凡的。

将此类平面单元中心有限体积构造扩展到曲面上的主要困难在于局部切空间逐点变化。在平面情形中，所有控制体共面，法线方向统一，通量方向定义良好，守恒通过边通量的反对称性直接保证。然而在曲面上，相邻控制体通常非共面且具有不同的局部法线。因此，由分段几何定义的余法线不满足严格的反对称关系，因此直接应用平面通量构造将破坏数值通量的守恒性。此外，曲面上的微分算子本质上是切向的；因此单元级重构和通量评估必须在局部切平面上进行，而不是使用普通的欧几里得线性重构。这些几何因素使得在曲面上设计高分辨率有限体积方法从根本上比在平面设置中更具挑战性。

基于单元中心有限体积方法的优点和上述几何困难，本文为嵌入在?3中的曲面上CDDEs构造了单元中心MUSCL型有限体积框架的曲面扩展。从单元平均未知量出发，顶点值通过局部近似切平面上的最小二乘程序重构。这些重构的顶点值随后用于构造受限的单元中心切向梯度，用于对流通量的MUSCL近似[25][26][27]。对于每个表面边上的数值通量，引入统一的定向边余法线，使得相邻两个单元共享一个保守的边通量，符号相反。对于扩散部分，开发了一种表面菱形单元构造，通过组合相邻两个非共面三角形的局部几何来近似边中心余法向导数。这样，所提出的方法在保持局部有限体积平衡结构的同时，适应了离散曲面的几何。所得的公式在构造上局部守恒，几何上适应非共面相邻表面单元，并配备了MUSCL型非线性限制机制来抑制尖锐层附近的非物理振荡。作为数值扩展，相同的有限体积平衡原理也在从底层三角划分构造的重心底控制体上进行了考虑，展示了所提出框架的网格灵活性。

本文的主要贡献总结如下：

- 为曲面网格上的定常CDDEs开发了一种几何自适应的单元中心MUSCL-菱形有限体积框架的实现。与平面设置不同，重构和通量评估在局部近似切平面和沿表面余法线方向上构造，使得非共面表面控制体上的单元平均值可以在曲面有限体积平衡中一致地使用。

- 通过引入统一的定向边余法线和表面菱形单元余法向导数近似，构造了局部守恒的曲面有限体积格式。该构造使得两个相邻的非共面表面单元可以在它们的有限体积平衡中以相反符号共享一个边通量。

- 在适当的网格、限制和强制假设下分析了所得的非线性离散系统。分析包括离散解的存在性、离散解集在依赖于网格的范数下的O(h)直径估计，以及阻尼Picard迭代的条件性结果。

- 在几个曲面上进行了数值实验，展示了观察到的L2收敛行为和f对流主导测试中虚假振荡的减少。在重心底控制体上的计算进一步说明了有限体积平衡原理相对于替代表面控制体结构的灵活性。

本文余下部分组织如下。第2节介绍曲面模型问题、三角化曲面的几何设置以及曲面单元中心有限体积公式中使用的基本符号。第3节介绍基于最小二乘的顶点重构、受限的单元中心切向梯度重构和边中心菱形单元余法向导数重构。第4节推导MUSCL型对流通量、表面菱形单元扩散通量，并将所得有限体积格式改写为紧凑的矩阵向量形式。第5节分析非线性离散系统，包括强制性、离散解的存在性、渐近唯一性和阻尼Picard迭代的行为。第6节描述作为三角控制体公式数值扩展的重心底控制体网格的构造。第7节报告在几个曲面上的数值实验，并比较该方法在三角和重心底控制体网格上的性能。最后，第8节给出结论性评论。

## 符号和预备知识

本节介绍连续曲面CDDEs和全文中使用的基本切向微分算子。关于曲面微分算子的标准背景，我们参考[5][6]。

## 基于最小二乘的曲面上解和通量重构

二阶曲面单元中心有限体积离散化需要精确的边重构，包括对流通量所需的解值和扩散通量所需的余法向导数。对于光滑解，MUSCL重构提供了边中点处解值的O(h2)近似。扩散通量通过表面菱形单元余法向导数重构获得，给出了边平均余法线的

## 曲面有限体积方法的数值通量和向量公式

本节利用第3节引入的单元中心MUSCL重构和边中心菱形单元余法向导数重构，推导SCCFVM的数值通量。我们首先引入对流通量，然后构造扩散通量，最后将完整的有限体积格式改写为紧凑的矩阵向量形式。

## 曲面有限体积近似可解性

本节研究从曲面单元中心有限体积近似产生的非线性代数系统的可解性。在本节中，我们假设Γ是一个封闭的、连通的且有向的光滑曲面，Γ?是一个满足假设1的形状正则三角化曲面。

设??? = {Y? : Γ? → ? : Y?|K? = (Y?)?, K? ∈ ???}为曲面三角划分上的分段常值函数空间。空间???自然同构于?^N?，其中N? = card(???)。

## 重心底控制体

除三角表面控制体网格外，我们在数值实验中还考虑了重心底控制体网格[32][33][34][35][36][37]。

对偶网格由相同的表面三角剖分??构造，但控制体与原始顶点相关联，而不是与三角形元素相关联。设{Pα}为??的原始顶点集。对于每个三角形元素T=(Pα1, Pα2, Pα3)，我们定义一个对偶顶点为q_T = (Pα1 + Pα2 + Pα3)/3。因此每个

数值实验

在本节中，我们展示了所提出的表面有限体积法的数值实验。从光滑解的收敛行为以及对流主导问题中尖锐层的抑制振荡能力两方面检验了该方法的性能。除了三角形表面控制体网格外，在数值实验中我们还考虑了重心对偶控制体离散化。该对偶网格的构造在第6节中描述。

结论与未来工作

本文开发了一种用于曲面上稳态对流扩散方程的表面单元中心MUSCL型有限体积法，该方法结合了顶点值的最小二乘重构、对流通量的MUSCL型限制切向重构以及扩散通量的表面菱形单元近似。所得到的格式具有局部守恒性，并且在几何上适配三角剖分表面上非共面的相邻三角形。对于非线性离散系统，在适当的

基金信息

本工作得到了国家自然科学基金（编号：12361090）和中国新疆维吾尔自治区重点研发计划（编号：2025B03027-2）的支持。

利益声明和数据可用性声明

本稿件提交过程中不存在利益冲突，且所有作者均已批准该手稿的发表。未使用任何数据进行本研究。研究过程中生成的代码可向通讯作者索取。

CRediT作者贡献声明

郭昌明：撰写——原稿撰写、验证、软件、调查。
肖旭峰：撰写——审阅与编辑、软件、方法论、形式分析、概念化。
袁光伟：撰写——审阅与编辑。

竞争利益声明

尊敬的编辑：
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