用于高维动态过程监控的拓扑数据分析

《Computers & Chemical Engineering》：Topological data analysis for high-dimensional dynamic process monitoring

　　

•对比了基于重构和基于轨迹的事件检测方法，用于在线过程监测。
•开发了一种用于高维动态过程监测的拓扑数据分析框架。
•将多变量时间序列数据表示为流形，并使用拓扑描述符进行汇总。
•神经常微分方程模型学习拓扑动力学以检测工业数据中的主要事件和次要事件。

1. 引言

化学过程会产生复杂的多变量时间序列数据，包含数百甚至数千个变量的传感器测量值。这些数据编码了关于过程动态状态的丰富信息，是过程监测、故障检测、安全分析和决策制定的核心。然而，从这些高维数据集中检测正常/异常事件具有挑战性；这通常归因于化学过程的高度耦合性、非线性和多时间尺度特性，以及高测量噪声的存在（Venkatasubramanian等，2003c, Venkatasubramanian等，2003a, Venkatasubramanian等，2003b）。事件是指系统偏离正常或标称行为的运行状态。因此，仍然需要可扩展、可解释且能够检测不同类型事件（如主要事件和次要事件）的过程监测框架（Ge等，2013, Park等，2020, Nor等，2020）。

稳健的故障检测和诊断工具的开发已在多种工业应用中受到广泛关注。广义上，这些方法可根据事件特征是通过静态重构失配推断还是通过系统特征的时间演化推断，分为基于重构的方法或基于轨迹的方法。

已有多种统计和数据驱动的事件检测方法用于过程监测和故障检测（Russell等，2012），包括主成分分析（Venkatasubramanian等，2003c）（PCA）、卷积神经网络（Wu和Zhao，2018, González等，2025）（CNN）、支持向量机（Venkatasubramanian等，2003b, Chiang等，2004）、典型变量分析（Russell等，2000, Jiang等，2015）（CVA）、Fisher判别分析（Chiang等，2004, Jiang等，2015）（FDA）和自编码器（Qian等，2022, Hinton和Salakhutdinov，2006, Bourlard和Kamp，1988）（AE）。在这些方法中，PCA和AE是基于重构方法的代表性方法，它们将高维数据压缩到低维潜在空间中，并通过相对于标称运行的重构误差来检测故障/事件。类似地，CVA和FDA提供了统计潜在变量框架：CVA通过识别过去和未来测量块之间的相关性来捕获序列依赖性（Russell等，2000, Jiang等，2015），而FDA识别增强不同运行类别之间分离的判别方向（Chiang等，2004, Jiang等，2015）。尽管这些方法通常能有效识别主要或持续性扰动，但在检测嵌入在嘈杂多变量过程数据中的细微、次要或动态演化的不稳定性方面可能存在困难（Nor等，2020, Russell等，2012）。

基于轨迹的监测方法明确利用多变量过程数据的时间结构。例如，Koopman自编码器（KAE）学习非线性变换，在此变换下底层潜在空间动力学呈线性演化（Wang等，2025, Lusch等，2018, Otto和Rowley，2019）。由此产生的潜在空间演化提供了有用的基准，用于比较多变量过程监测和事件检测的动态数据表示（Park等，2026）。鉴于过程监测范式范围庞大且不断扩展，将分析扩展到任何单一额外方法并不能提供穷尽性的比较，也不是本研究的目标。基准方法的选取旨在代表互补的监测范式：PCA和AE分别提供线性和非线性基于重构的比较，而KAE提供基于轨迹的比较，显式建模潜在空间动力学。因此，PCA、AE和KAE构成本研究中考虑的具有代表性的基准方法集。

基于事件检测方法的一个基本问题是数据表示。例如，多变量时间序列数据通常表示为向量和矩阵，以满足统计、线性代数和机器学习（ML）工具的需求。然而，现代的机器学习工具和数据分析方法也可以处理表示为图像、流形、点云、图或网络的数据集（Smith等，2021, Jiang和Zavala，2021, Jiang等，2024）。所使用的数据表示会影响信息提取所用的技术以及所提取信息的类型。例如，可以将时间序列过程变量堆叠在矩阵中，其中每一行对应一个变量索引，每一列对应一个时间索引。在将过程变量归一化后，每个矩阵元素可以解释为变量-时间网格上对应位置处的强度值。这产生了一个二维流形表示，即热力图，其中水平和垂直方向分别代表时间和变量索引，而强度代表每个过程变量的归一化值。相同的强度表示随后可以沿第三个垂直轴投影，生成三维流形或曲面。这种三维表示在不改变底层过程数据的情况下，使峰值、谷值和连通区域等几何特征更加直观可见。图1说明了同一多变量时间序列数据集的这些等效表示。

拓扑数据分析（TDA），特别是持续同调（Smith等，2021），提供了一个自然的框架来利用此类结构化数据表示。近年来，TDA在神经科学、材料科学和网络分析等应用中取得了成功（Caputi等，2021, Guo和Banerjee，2017, Zheng等，2023）。通过将数据表示为图、网络、单纯复形或流形，TDA通过计算拓扑描述符（如持续图、Betti数和Euler特征数（EC））来实现降维到信息性低维空间，这些描述符旨在量化数据的形状/结构（Smith和Zavala，2021, Smith等，2021, Laky和Zavala，2024）。TDA还提供了有用的数学特性，如对噪声的稳健性，以及在缩放、旋转和变形等某些扰动类别下的不变性（Smith等，2023）。此外，与CNN等机器学习技术相比，TDA计算更具可扩展性，这是因为TDA不需要训练过程（Laky和Zavala，2024）。这些特性使TDA成为过程监测的一个有前景的方法（Ravishanker和Chen，2019, Zheng等，2024, El-Yaagoubi等，2023）。

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图1. 多变量时间序列数据的不同表示。（a）过程变量$v_i$的原始时间序列轨迹。（b）同一数据的矩阵表示，其中行对应变量索引，列对应时间步。（c）矩阵的热力图可视化，形成二维流形，其像素强度反映归一化后的过程变量。（d）通过将强度投影到第三个（垂直）轴得到的三维曲面/场，突出了数据中的几何结构（形状）。

多变量时间序列数据中故障或事件发生的一个关键指标是动态方向性的变化（即系统底层动力学结构的变化）。在缺乏高保真机理模型的情况下，机器学习模型提供了一种强有力的方法，可以直接从数据中捕获此类复杂的动力学特征（Narendra和Parthasarathy，1990, Venkatasubramanian，2019, Bhat和McAvoy，1990, Mukherjee和Zavala，2026）。例如，化学工程中传统的神经网络（NN）研究通过带有内部限制层的自关联网络建立了非线性降维（Kramer，1991），通过循环架构实现了非线性动态过程建模和长时域预测（Su等，1992）。近期的RNN建模范式将这种方法扩展到工业过程中的异常检测、故障预测和故障检测（Arunthavanathan等，2021, Wang等，2022, Liu等，2023, Song等，2024），而神经常微分方程（NODE）公式也被用于高效的过程监测、故障检测和诊断（Enciso-Salas等，2021, Enciso-Salas等，2022, Peng和Chen，2023, Long等，2025）。尽管RNN和NODE都能学习化学过程系统中的非线性瞬态过程，但本研究选择NODE作为学习低维拓扑描述符时间演化的代表性微分机器学习模型，因为它直接参数化了其连续时间的变化率。这启发了这样一个想法：与其直接学习原始高维系统的演化，不如学习一个捕获过程演化的低维潜在表示的演化。Koopman算子和AE提供了一种这样的潜在空间公式（Wang等，2025）。TDA也提供了系统的紧凑潜在表示，捕获其拓扑结构；因此，可以设想开发系统拓扑结构的机器学习动力学模型。与AE方法的关键区别在于潜在空间的解释以及此类空间中所包含信息的类型。

在本研究中，我们提出了一个用于多变量时间序列过程监测的计算框架，该框架结合了TDA和NODE。我们将所提出的框架与常见的基于重构和基于轨迹的事件检测方法（PCA、AE和KAE）进行基准比较。所提出的框架将多变量时间序列数据表示为流形，通过滤过操作提取拓扑描述符，并使用NODE模型学习这些描述符如何随时间演化。通过这种方法，我们证明了拓扑描述符时间导数的显著偏差对应于过程中不同事件或不稳定运行区域的发生。通过在实际工业数据集上与其他监测方法进行对比，我们展示了所提出的框架为检测主要事件和微妙的次要事件提供了可解释、稳健且可扩展的特征。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了本研究中考虑的基于重构和基于轨迹的监测方法，并提出了TDA-NODE框架。第3节描述了工业数据集和用于基准测试的代表性事件。第4节比较了不同监测方法的性能。第5节总结了主要发现并讨论了未来工作的方向。

2. 过程监测方法

我们介绍了多变量时间序列数据中事件检测的方法。我们将方法论围绕两大类方法进行组织：基于重构的方法，通过相对于标称运行的重构误差偏差来检测事件；以及基于轨迹的方法，通过潜在空间时间演化的变化来检测事件。我们将PCA和AE视为基于重构的方法，将KAE和所提出的TDA框架视为基于轨迹的方法。在构建监测方法的输入之前，缺失的测量值通过前向填充相应过程变量最近可用值来插补。然后将每个过程变量独立地进行最小-最大归一化到区间[0,1]。所得的归一化测量值用于构建本工作中考虑的所有监测方法的输入。未进行任何额外的平滑或去噪处理。此外，对于TDA方法，我们讨论了将多变量时间序列数据表示为流形、以拓扑描述符的形式提取信息，以及使用微分机器学习模型进行时间演化建模。总而言之，下文讨论的PCA、AE和KAE公式在本工作中作为已建立的基准方法，不作为新颖算法呈现。当前工作的关键方法贡献在于将窗口特定的拓扑描述符与微分机器学习模型集成，以学习其时间演化并提取不同事件的独特拓扑特征。

我们首先考虑从具有$n\in\mathbb{Z}_+$个测量变量的过程中收集的多变量时间序列数据集，监测时域为$[0,T]$，其中$T\in\mathbb{R}_+$。设

(2.1) $\mathbf{x}(t)\in\mathbb{R}^n, \quad t\in[0,T]$

表示时间$t$处的过程测量向量。在实践中，测量值在离散时间点采集：

(2.2) $0\leq t_1 < t_2 < \cdots < t_M \leq T$

其中$M\in\mathbb{Z}_+$是时间样本总数。采样数据集由以下矩阵表示：

(2.3) $\mathbf{X}=\begin{bmatrix}\mathbf{x}(t_1)^\top\\ \mathbf{x}(t_2)^\top\\ \vdots\\ \mathbf{x}(t_M)^\top\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{M\times n}$

为了检测事件，我们使用滑动窗口方法处理数据。设$K\in\mathbb{Z}_+$表示窗口数量。第$k$个时间窗口为：

(2.4) $W_k=[\tau_{s_k},\tau_{e_k}]\subseteq[0,T], \quad k=1,\ldots,K$

其中$\tau_{s_k},\tau_{e_k}\in[0,T]$分别是窗口的起始时间和结束时间，因此$\tau_{s_k}<\tau_{e_k}$。此外，窗口的选取使得连续窗口之间存在重叠。对于每个窗口$W_k$，我们定义索引集合：

(2.5) $\mathcal{I}_k=\{m\in\{1,\ldots,M\}:t_m\in W_k\}$

设$M_k=|\mathcal{I}_k|$表示窗口中包含的样本数。窗口$W_k$内的采样数据由以下矩阵表示：

(2.6) $\mathbf{X}_k=\begin{bmatrix}\mathbf{x}(t_{m_1})^\top\\ \mathbf{x}(t_{m_2})^\top\\ \vdots\\ \mathbf{x}(t_{m_{M_k}})^\top\end{bmatrix}\in\mathbb{R}^{M_k\times n}, \quad \{m_1,\ldots,m_{M_k}\}=\mathcal{I}_k$

我们为每个窗口关联一个代表性时间$\tau_k\in W_k$，使用窗口的起始时间：

(2.7) $\tau_k=\tau_{s_k}, \quad k=1,\ldots,K$

滑动窗口构造用于将完整的监测时域表示为$K$个重叠数据窗口的序列。

因此，本研究中考虑的工艺监控方法不是应用于单个孤立的窗口，而是应用于跨越整个时间范围的完整序列 {????}????=1。在基于重建的方法中，重建误差以每个窗口为单位进行评估，从而在监控范围内产生一系列误差指标。在基于轨迹的方法中，每个窗口被映射到一个潜在变量 ????∈???，其中 ??∈?+ 是潜在空间的维数，事件特征是根据序列 {????}????=1 的时间演化推断出来的。这种滑动窗口实现为比较基于重建和基于轨迹的方法提供了共同的数学基础。实现本文讨论的基于重建和基于轨迹的工艺监控方法所需的所有代码以及一个代表性的测试案例数据集均可在以下网址获取：https://github.com/zavalab/ML/tree/master/TDA_Process_Monitoring。
2.1. 主成分分析（PCA）
PCA 是一种广泛使用的基于重建的方法，它将每个窗口数据矩阵 ????∈?????×?? 投影到维数为 ??≤?? 的低维潜在空间中。设 ??∈??? 表示从用于拟合 PCA 模型的标称数据中估计的逐变量均值向量。窗口 ?? 的中心化数据矩阵定义为：
(2.8)??????=????????
其中 ??? 的减法逐行应用于 ???? 中的所有测量值。设 ??∈???×?? 表示载荷矩阵，其列构成主分空间的正交归一基。窗口 ?? 的潜在得分由下式给出：
(2.9)????=?????????∈?????×??
相应的重建数据矩阵定义为：
(2.10)?????=????????+???∈?????×??
其中 ??? 的加法逐行应用。窗口 ?? 的重建误差由 Q 统计量表示：
(2.11)???=∥??????????∥
??? 的大值表明窗口 ?? 中的数据与标称 PCA 子空间存在显著偏离，因此被用作事件指示器（Lieftucht et al., 2006）。对于 ??=1,…,?? 的该方法实施在完整的监控范围内产生了重建误差序列 {???}????=1。
2.2. 自编码器（AE）
AE 起源于用于学习紧凑表示和非线性降维的自联想神经网络公式（Bourlard and Kamp, 1988, Kramer, 1991）。随后，深度 AE 架构将这种表示学习能力扩展到复杂的高维数据集（Hinton and Salakhutdinov, 2006）。众多参考文献综述了 AE 在工业过程故障检测与诊断中表示学习方面的额外应用（Qian et al., 2022, Liso et al., 2024）。在本研究中，AE 方法通过学习每个窗口数据矩阵 ????∈?????×?? 与维数为 ?? 的潜在空间之间的非线性映射，从而推广了 PCA。设 (2.12)????:?????×??→???,????:???→?????×?? 分别表示由可训练参数 ?? 和 ?? 参数化的编码器映射和解码器映射。对于每个窗口 ??，潜在空间变量和重建数据由下式给出：
(2.13a)????=?????(????)∈???
(2.13b)?????=?????(????)∈?????×??
在实现 AE 时，标称训练数据集中的每个工艺变量均被独立地最小-最大归一化到区间 [0,1] 内。随后，从标称训练数据中估计的逐变量最小值和最大值被用于在传送到已训练的 AE 之前变换输入监控测量值。因此，窗口 ?? 的重建误差定义为：
(2.14)???=∥??????????∥
与 PCA 类似，在整个时间范围内 ??? 的大值表明在监控期间学习到的非线性潜在表示对输入测量值的重建效果不佳，因此被解释为偏离（事件）标称运行的特征。
在本研究中，AE 被实现为一个确定性的欠完备网络，将高维测量空间投影到显著更低维的潜在表示中。这种受限的瓶颈限制了模型学习平凡恒等映射的能力，并要求其保留标称数据的紧凑表示。该模型使用 Adam 优化器最小化 ???，并采用基于验证的提前停止，恢复对应于最小验证损失的参数值。AE 不包含额外的权重惩罚或显式的潜在空间正则化项。
2.3. Koopman 自编码器（KAE）
KAE 通过学习一种非线性变换来扩展传统 AE，在这种变换下潜在变量的时间演化近似为线性的（Lusch et al., 2018, Otto and Rowley, 2019, Wang et al., 2025）。在本研究中，KAE 作为评估从潜在空间动力学中获得的事件特征的基于轨迹的基准。使用如 (2.13) 中的编码器和解码器结构，窗口 ?? 的潜在空间向量定义为：
(2.15)????=?????(????)∈???
重建为：
(2.16)?????=?????(????)∈?????×??
KAE 使用从逐变量最小-最大归一化测量值构建的连续工艺状态向量对进行训练。在这些归一化测量值提供给编码器之前，不施加额外的中心化或标准化处理。潜在变量的时间演化由下式建模：
(2.17)????+1≈???????,??∈???×??
其中 ?? 是一个学习的线性算子。相应的潜在动态增量定义为：
(2.18)???????=????+1?????≈(?????)?????
其中 ??∈???×?? 是单位矩阵。在基于 KAE 的监控中，事件特征是根据潜在空间向量时间变化的幅度推断出来的，该幅度由度量 ‖???????‖ 量化。其推论是，‖???????‖ 的急剧增加表明潜在动力学发生了突变，因此被解释为事件特征。
2.4. TDA 框架
所提出的 TDA 框架是一种基于轨迹的监控方法，包括三个主要组成部分：(a) 从多元时间序列数据构建流形表示，(b) 从该表示中提取拓扑描述符，(c) 使用 NODE 模型学习所得描述符序列的时间演化。
2.4.1. 流形数据表示
受流形类型数据表示的启发（Smith et al., 2021, Ravishanker and Chen, 2019, Jeong et al., 2024），采样的多元时间序列数据由矩阵 ??∈???×?? 表示，如 (2.3) 中定义的，其中 ?? 是采样时间实例的数量，?? 是工艺变量的数量，记为 ????, ??=1,…,??。我们将转置和归一化矩阵定义为：
(2.19)??=???(???)∈[0,1]??×??
转置排列了测量值，使得 ?? 的每一行包含一个工艺变量的时间轨迹，而每一列包含一个时间实例下所有工艺变量的测量值。算子 ???(?) 将每个工艺变量独立归一化到区间 [0,1] 内。矩阵 ?? 在离散网格上定义了一个 2D 流形表示：
(2.20)??={1,…,??}×{1,…,??}
每个网格点 (??,??) 对应于采样时间 ???? 下的工艺变量 ????，其强度 ????,?? 表示相应的归一化测量值 ??????(????)。因此，第一个网格坐标标识工艺变量，第二个坐标标识采样时间实例。
在工艺监控的背景下，流形表示被限制在每个滑动窗口 ???? 内，产生与矩阵 ????, ??=1,…,?? 相关联的一系列窗口特定流形。具体而言，所提出的方法将每个时间窗口内的归一化数据视为一个图像，其行代表工艺变量，列代表时间，强度代表相应的归一化测量值。TDA 通过根据其强度值逐渐显示网格单元（Smith et al., 2021）并跟踪连通区域和孔洞的出现或消失来总结该图像的形状。EC 将连通区域和孔洞的数量合并为一个紧凑的描述符，而 EC 曲线记录该描述符如何在完整的强度阈值范围内发生变化（Smith and Zavala, 2021）。因此，每个时间窗口都会产生一条 EC 曲线，用于总结其多元工艺轨迹的结构（Ravishanker and Chen, 2019）。图 2 说明了这一构建过程，用于一个具有 ??=56 个测量变量和约 90,000 分钟监控范围的代表性数据集。图 2a 显示了工艺变量的原始归一化时间序列轨迹，而图 2b 显示了相应的流形表示。流形表示以突显时空模式的形式捕获高维轨迹（Jeong et al., 2024），因此被用作提取下一小节中引入的拓扑描述符的基础。
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图 2. 多元时间序列数据集的不同表示。(a) 约 90,000 分钟监控范围内 ??=56 个变量的原始归一化轨迹。(b) 同一数据集的 2D 流形表示，其中行对应变量索引，列对应时间索引，灰度强度表示每个变量的归一化值。
2.4.2. 拓扑描述符
对于每个滑动窗口 ????，流形表示的相应限制产生一个定义在离散网格上的窗口特定矩阵 ????∈[0,1]??×????：
(2.21)????={1,…,??}×{1,…,????}
我们将 ???? 解释为由下式定义的标量场 ???:????→[0,1]：
(2.22)????(??,??)=(????)??,??,(??,??)∈????
使用此场，我们构建了一个由阈值 ?∈[0,1] 索引的下水平集滤过。对于每个 ?，相应的下水平集定义为：
(2.23)?????(?)={(??,??)∈????:????(??,??)≤?}
该下水平集可以表示为由阈值 ? 处的活跃网格点诱导的立方体复形（Smith and Zavala, 2021, Huber, 2021）。随着 ? 的增加，下水平集滤过从低到高依次激活网格单元。在每个阈值处，活跃单元及其邻接关系形成一个立方体复形，其拓扑通过计算连通分量和包围的孔洞数量来总结。对于每个阈值 ?，我们令：
(2.24)??(??)???(?)∈?+∪{0},??=0,1
表示与 ?????(?) 相关联的立方体复形的第 ?? 个 Betti 数。这里，??(??)0?(?) 表示连通分量的数量，??(??)1?(?) 表示一维孔洞的数量。因为流形表示是 2D 的，所以对应于窗口 ?? 和阈值 ? 的欧拉特征由下式定义：
(2.25)?????(?)=??(??)0?(?)???(??)1?(?),?????(?)∈?
此外，函数 ????:[0,1]→? 被称为与窗口 ?? 相关联的欧拉特征（EC）曲线。图 3 说明了两个代表性窗口的这种构建过程。
此外，所提出的框架直接从与每个窗口相关联的固定 2D 网格构建立方体复形，使拓扑描述符的提取在计算上高效。然而，值得一提的是，这种计算效率并不普遍适用于所有拓扑构建和数据表示。例如，基于点云的拓扑构建依赖于大量的成对距离评估，并且可能会生成组合数量巨大的单纯形，从而导致计算成本大幅增加。不同的窗口通常产生不同的标量场，从而产生不同的 EC 曲线。这一观察促使我们关注拓扑描述符的方向性，即 EC 曲线在工艺监控过程中如何跨连续窗口演化。序列 {????}????=1 提供了多元时间序列数据的时间分辨拓扑摘要，并构成了使用 NODE 模型进行动力学建模的基础，我们接下来讨论这一点。
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图 3. 从对应于两个不同时间窗口的数据矩阵中提取拓扑描述符。对于每个窗口，(a1,a2) 显示 2D 流形，(b1,b2) 显示通过将强度投影到垂直轴上获得的相应 3D 场，(c1,c2) 显示通过下水平集滤过获得的 EC 曲线。不同窗口间 EC 曲线的差异表明多元数据的拓扑结构随时间演化，这促使分析 EC 描述符的时间方向性以进行事件检测。
2.4.3. 学习拓扑动力学
在为每个滑动窗口提取拓扑描述符（EC 曲线）后，我们寻求对这些描述符如何跨窗口序列演化进行建模。这旨在捕捉动力学系统的结构如何随时间演化。文献中的几种方法侧重于识别拓扑签名中的偏差或转变，例如变点检测（Zheng et al., 2023）、用于比较持续图的 Wasserstein 距离和瓶颈距离（Brémond-Martin et al., 2022），以及其他基于 TDA 的不相似性度量（Schieber et al., 2017）。虽然这些技术对于量化单个快照之间的差异很有用，但它们并未显式地建模工艺拓扑状态的时间动力学和方向性。
为此，对于 TDA 框架，潜在变量由从每个滑动窗口中提取的拓扑描述符表示，例如 EC 曲线（更一般地说是 Betti 曲线）。相应地，设 ????∈??? 表示通过在 ??∈?+ 个规定滤过阈值处采样与窗口 ?? 相关联的 EC 曲线而获得的向量。为简单起见，我们使用 ???? 来表示与代表时间为 ???? 的第 ?? 个窗口相关联的 EC 曲线，即 ????≡???(????)。具体而言，
(2.26)????=[?????(?1)?????(?2)??????(???)]?∈???
其中 0≤?1< />(2.27)????(??)=?????(???(??)),??∈[0,??]
其中 ????(??)=??????(??)?????，并且 ????:???→??? 是由 ?? 参数化的前馈神经网络。在本研究中，???? 被实现为一个具有 64 个神经元的隐藏层和双曲正切激活函数的神经网络。在拟合 node 模型之前，ec 曲线使用等于最大绝对 ec 值的公共比例因子进行归一化。 ?? 的潜在拓扑状态被等同于 ec 曲线的有限维表示，即 ????≡???(????)。为了学习序列 {????}????=1 的时间演化，我们采用一种连续时间 node 模型（thompson et al., 2026）。具体而言，我们假设潜在拓扑状态 ???(??)∈??? 按以下规律演化： (2.27)????(??)=?????(???(??)),??∈[0,??] 其中 ????(??)=??????(??)?????，并且 ????:???→??? 是由 ?? 参数化的前馈神经网络。在本研究中，???? 被实现为一个具有 64 个神经元的隐藏层和双曲正切激活函数的神经网络。在拟合 node 模型之前，ec 曲线使用等于最大绝对 ec>(2.27)????(??)=?????(???(??)),??∈[0,??]
其中 ????(??)=??????(??)?????，并且 ????:???→??? 是由 ?? 参数化的前馈神经网络。在本研究中，???? 被实现为一个具有 64 个神经元的隐藏层和双曲正切激活函数的神经网络。在拟合 node 模型之前，ec 曲线使用等于最大绝对 ec 值的公共比例因子进行归一化。>

归一化后的 EC 曲线被用作供给 NODE 的潜在拓扑状态。给定与移动窗口相关联的序列 {(????,????)}????=1，NODE 被训练以近似拓扑描述符（此处为 EC 曲线）在连续窗口间的连续时间演化。如图 4 所示，NODE 以 ???(????) 为输入，并预测其瞬时变化率。值得注意的是，在此处 NODE 仅作为学习 EC 轨迹变化率的代表性机器学习模型，而非所提出框架的方法论创新。经典 RNN 提供了一种有效的替代方案，但它们通过循环隐藏状态更新来表示时间演化，而不是直接参数化 EC 曲线的时间导数。因此，选择 NODE 反映了其与本工作采用的微分公式的兼容性，并不意味着其相对于传统循环架构具有通用优越性。

这种表述使 NODE 能够学习拓扑空间中的平滑轨迹，同时检测其瞬态中的急剧偏差，这些偏差代表事件的开始。预测导数范数的较大值，‖????(????)‖，表明工艺拓扑结构的突然变化，因此在过程监控中被解释为事件特征。在全自动在线实现中，可以生成监控分数 ????=‖????(????)‖，随后通过与从无事件标称运行数据校准的阈值进行比较，将其转换为二元警报。例如，可以根据可接受的虚警概率选择标称分数分布的上经验分位数（Modarres et al., 2002）。然而，值得注意的是，本工作未应用二元阈值；相反，我们评估 ???? 的变化是否与独立识别的事件区域在时间上对齐。

下载：下载高分辨率图像 (271KB)下载：下载全尺寸图像图 4. 用于学习拓扑描述符时间演化的 NODE 架构。输入由与连续移动窗口相关联的 EC 曲线 ???(????) 组成，模型预测其相应的时间导数 ????(????)。随后使用学习到的 EC 曲线方向性在过程监控期间识别事件。

完全在线的实现可能还需要一个更新的监控机制，以确定学习到的拓扑动力学是否仍能代表当前运行状态。例如，可以使用最近窗口的 EC 曲线初始化短视域 rollout（Lin et al., 2026），并将预测的 EC 轨迹与根据后续传入测量计算得出的轨迹进行比较。持续存在的预测不匹配可能表明运行状态发生了变化，需要使用最近数据进行受保护的重校准。由于独立测试数据集是使用固定的预训练 NODE 进行评估的，没有重新训练或重校准，因此本工作未考虑此类重校准，从而可以直接评估学习到的拓扑动力学的泛化能力。

3. 案例研究：工业烯烃工厂

为了对第 1 节和第 2 节中介绍的监控方法进行基准测试，我们考虑了一个提供过程数据的真实世界工业烯烃工厂。图 5 展示了一个代表性工厂的示意图（Siemens Industry, Inc., 2018）；该工厂通过热裂解，随后进行多级分离和纯化（Amghizar et al., 2017），将碳氢化合物原料转化为轻烯烃，主要是乙烯和丙烯。通常，蒸汽裂解产生复杂的碳氢化合物和副产物混合物，该系统在淬灭系统中快速冷却以防止不需要的副反应。冷却后的物流随后通过压缩和一系列分离单元，包括脱甲烷塔、脱乙烷塔和分割塔，以回收富含氢和甲烷的气流，纯化烯烃产品，并分离较重的碳氢化合物馏分。

由于规模庞大、过程耦合强以及这些操作的互联性，烯烃工厂在在线运行期间通常会出现各种不稳定性事件。这些事件可大致分类为：

下载：下载高分辨率图像 (232KB)下载：下载全尺寸图像图 5. 工业烯烃工厂示意图。该工厂通过蒸汽裂解，随后进行下游分离和纯化，将碳氢化合物原料转化为乙烯和丙烯等轻烯烃。该过程涉及通过脱甲烷塔、脱乙烷塔和多个分割塔等单元进行淬灭、压缩和低温蒸馏，以分离富含氢和甲烷的物流。

•小型事件：这些事件指过程不稳定性，如操作压力波动、冷箱温度暂时变化、速率削减和爬坡速率的快速变化。此类扰动在在线运行期间无预警发生，可能由上游变异性、设备相互作用或微妙的热力和水力效应驱动。
•大型事件：这些事件通常表现为计划停机、导致非计划停机的重大不稳定性以及启动。此类过渡通常涉及人工操作员行动以及多个过程变量的大幅变化。

图 6 显示了大约 ??=63 天的整个监控期内所有测量过程变量（???）的归一化时间序列，测量记录间隔为每分钟一次。图 6 突出了工厂的显著动态变异性，包括不同变量间的突然转换、瞬态偏移、持续偏移和波动运行状态，从而代表了单独监控单个变量和仅通过直接检查做出实时决策的挑战。

虽然大型事件传统上很易理解且由人工发起，但小型事件对在线监控框架提出了更大挑战（Pouliezos and Stavrakakis, 2013），因为它们通常在短时间尺度上演化，没有提前记录，并且常常产生嵌入在噪声高维传感器数据中的微弱瞬态特征。实时检测此类小型不稳定区域至关重要，因为即使是短暂的偏差也可能传播到下游塔、压缩机或分离器，从而可能降低产品纯度、增加能源消耗并触发不必要的控制干预（Nor et al., 2020）。如果未能及早检测到小型事件并通过适当措施加以解决，它们演变为大型事件的情况也并不少见。鉴于过程的复杂性和大量的多变量时间序列传感器数据，该系统为评估不同监控范式检测大型和小型过程不稳定性问题的能力提供了一个严格的测试平台。

下载：下载高分辨率图像 (946KB)下载：下载全尺寸图像图 6. 大约 ??=63 天的整个监控期内测量过程变量（???）的归一化时间序列，测量记录间隔为每分钟一次。多变量数据集表现出广泛的瞬态行为，包括不同变量间的波动和持续运行状态变化。

基于工厂历史记录和我们工业合作伙伴的专家注释，在烯烃工厂数据集中识别出六种代表性不稳定性事件类型。这些事件对应于：(i) 冷箱温度较高的时期，(ii) 冷箱温度较低的时期，(iii) 工厂长期停机，(iv) 随后的启动过渡，(v) 生产速率削减，以及 (vi) 生产速率爬坡。表 1 总结了每个事件相应的时间区间及其持续时间。为了方便起见，我们在本文其余部分将这些事件称为事件 1 - 6。

停机、启动等大型事件通常是计划内的、由操作员驱动的过渡，因此在实践中其时间相对已知。相比之下，冷/冷箱行为、爬坡速率过渡和速率削减等小型不稳定性无预警发生，并且通常在工厂运行期间表现为嵌入在噪声多变量测量中的微妙瞬态偏差。因此，准确及时地检测这些小型事件对于实现主动决策、保持产品质量、确保过程安全以及在在线过程监控期间支持有效控制行动至关重要。因此，这些事件为评估所提出的 TDA 事件检测框架相对于传统基于重构和轨迹的过程监控方法的有效性提供了严格的基准。

表 1. 烯烃工厂在线运行期间检测到事件的总结。
事件 ID 事件描述 事件类型 时间线 (天/区间) 持续时间 (分钟)
事件 1 (E1) 冷箱温度较高 小型 第 6 天 – 第 8 天 2,064
(续) 冷箱温度较高 (小型) 第 15 天 800
事件 2 (E2) 冷箱温度较低 小型 第 21 天 40
事件 3 (E3) 停机 大型 第 28 天 – 第 42 天 19,570
事件 4 (E4) 启动 大型 第 42 天 – 第 53 天 16,499
事件 5 (E5) 速率削减 小型 第 61 天 358
事件 6 (E6) 爬坡速率 小型 第 54 天 235

4. 结果与讨论

我们在第 3 节描述的工业烯烃工厂上评估了第 2 节中介绍的监控方法。为了与本工作采用的方法论分类保持一致，我们首先讨论基于重构的方法（PCA 和 AE）的性能，随后是基于轨迹的方法。基于重构和基于轨迹的方法均在移动窗口基础上进行评估。对于本案例研究，每个窗口跨度为 1 天，连续窗口之间有 20% 的重叠。因此，结果以窗口基数量 ???、???? 或 ???? 的形式报告，而水平轴则映射回过程的相应物理时间尺度（例如分钟或天），以便解释并在所有监控方法之间保持一致。

4.1. 基于重构的方法

对于基于重构的监控，一般工作流程包括：i) 从标称运行期间获得的数据中学习系统的低维表示，ii) 将每个移动窗口关联的传入测量投影到学习到的潜在空间中，以及 (iii) 基于每个窗口计算重构误差以识别与事件相关的偏差。

4.1.1. 主成分分析 (PCA)

图 7a 显示了整个监控期内的归一化多变量过程轨迹，并突出显示了与表 1 中列出的不同事件相对应的时间区间。图 7b1-b2 展示了使用 PCA 获得的重构误差曲线。

PCA 监控结果表明，重构误差（???）中最突出的偏移发生在大型事件期间，即停机（事件 3）和随后的启动过渡（事件 4）。这些事件导致多变量过程轨迹出现持续且显著的偏差，这很容易反映在 PCA 潜在表示和相应的 Q 统计量中。相比之下，包括冷箱温度高/低偏移、速率削减和爬坡速率变化在内的小型事件，并没有在重构误差中产生清晰可辨的峰值。总体而言，PCA 在识别运行状态的重大转变方面是有效的，但它对嵌入在高维过程测量中的微妙和小型不稳定性表现出有限的敏感性。

4.1.2. 自编码器 (AE)

图 7c1-c2 展示了使用 AE 模型获得的重构误差曲线。与 PCA 类似，基于 AE 的监控方法对大型事件的响应最强，特别是停机和启动区间。由于这些事件对应于显著的全过程偏差，它们被编码器 - 解码器架构学习到的非线性潜在表示所捕获。

然而，尽管 AE 相对于 PCA 增加了表示灵活性，但重构误差（???）信号对小型不稳定性的敏感度仍然较低。事件 1、2、5 和 6 在 AE 误差曲线中产生微弱或没有孤立的特征，这使得仅通过重构不匹配难以可靠地检测它们。因此，尽管 AE 为 PCA 提供了一种非线性替代方案，但本案例研究中的检测性能仍然主要集中在大型运行过渡上。因此，基于重构的事件检测方法在识别微妙、小型和动态演化的不稳定性方面的局限性，促使我们使用基于轨迹的方法，这些方法显式地利用潜在空间中的时间演化，而不是仅依赖静态重构误差。

下载：下载高分辨率图像 (1MB)下载：下载全尺寸图像图 7. 基于重构的监控方法的性能。(a) 整个监控期内烯烃工厂的归一化多变量时间序列轨迹（???），通过叠加所有测量过程变量获得，并突出显示了与事件 1-6 关联的时间区间。(b1) PCA 重构误差随时间的变化。(b2) 将 PCA 重构误差与表 1 中描述的事件窗口叠加。(c1) AE 重构误差随时间的变化。(c2) 将 AE 重构误差与表 1 中描述的事件窗口叠加。两种基于重构的方法主要对大型事件做出响应，而对小型不稳定性的敏感性有限。

4.2. 基于轨迹的方法

对于基于轨迹的监控，一般工作流程包括：i) 将每个移动窗口关联的测量映射到潜在空间中，随后 (ii) 分析所得潜在变量的时间演化以识别与事件相关的偏差。

4.2.1. Koopman 自编码器 (KAE)

作为一种代表性的基于轨迹的监控方法，KAE 推断不稳定性特征，将其量化为通过离散潜在增量 ???????（如公式 (2.18) 所述）衡量的过程行为的突然变化。图 8 显示了 ‖???????‖ 在移动窗口序列中的变化。图 8 中的垂直虚线指示表 1 中描述的事件的起始时间。

可以观察到，KAE（Koopman自编码器）的潜在轨迹在主要事件期间呈现出最清晰的偏离，尤其是在停机（事件3）附近以及随后的启动过渡（事件4）阶段。这些运行过渡在较长的时间区间内显著改变了全厂的行为，而这些变化反映在Koopman框架所学习的潜在线性动力学中。KAE方法对于本案例研究中考虑的次要事件的敏感性仍然有限。例如冷箱温度升高/降低的偏离、降速运行和变负荷速率等事件，并不能在 $\|\,(A-I)z_k\|$ 中产生足够尖锐或独立的特征信号，从而无法实现可靠的事件检测。因此，对于这个工业烯烃厂数据集而言，KAE提供了比基于重建的方法更具动态性的解释，但其实用检测能力仍主要局限于重大不稳定性。

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图8. KAE事件检测，展示了 $\|\,\Delta z_k\|$ 在所有时间窗口中的时间演化，并叠加了表1中所描述的各类事件的发生时间。尽管潜在空间动力学能够捕捉到停机和启动事件，但次要不稳定性并未产生可明确区分的特征信号。

KAE模型另一个实际挑战在于如何选择合适的潜在空间维度。如果潜在空间选择过小，重要的过程动力学信息可能会丢失；如果潜在空间过大，则所学到的线性演化可能更难进行正则化、解释和面向监控目的的调优。因此，这些模型通常需要精心校准，才能获得既具有动力学意义又对事件检测有效的潜在表示。因此，本案例研究的结果表明，本文所考虑的事件检测基准方法仍主要检测主要事件，而无法一致地识别次要不稳定性的发生。

4.2.2 TDA-NODE方法

接下来，我们将所提出的TDA-NODE框架应用于同一工业烯烃厂获得的多变量时间序列数据集。对于每个滑动窗口，我们使用第2.4.2节所述的子水平集过滤过程，计算与相应数据矩阵相关的EC曲线（Euler特征曲线）。这产生了一组拓扑描述符，紧凑地总结了多变量过程动力学随时间演变的形状。

一个重要的经验观察是，尽管TDA并不正式保证对变量重排的不变性，但在本应用中所获得的EC曲线和Betti曲线对行（变量）索引的排列表现出很强的鲁棒性。这一行为可以归因于这些描述符基于度量的粗略性质，它们主要编码流形的全局连通性统计信息。此外，多变量过程的拓扑演化似乎主要受时间轴驱动，而非受变量顺序的局部邻接性驱动。因此，重新排序传感器变量会扰动流形的几何结构，但不会导致所得拓扑摘要发生重大变化。

训练性能

图9a展示了为所有滑动窗口计算的归一化EC曲线（$\chi_k$）。每条曲线捕捉了拓扑结构随过滤阈值（$\ell$）演化的过程，从而提供了对应窗口数据的紧凑拓扑摘要。图9b展示了所有滑动窗口的EC曲线在第一、第二主成分上的PCA投影，标记点按照表1中定义的事件标签进行颜色编码。从EC曲线及其PCA投影中可以看出，与次要事件相关的描述符与正常运行区域大部分重叠。相比之下，与主要事件相关的描述符，即停机（事件3）和启动（事件4），与正常簇分离得更明显，并在拓扑潜在空间中描绘出更清晰的偏离轨迹。图9b中的灰色虚线箭头表示EC描述符在连续窗口之间的动态进展，展示了过程在停机期间如何偏离正常运行区域，随后在启动期间如何回归。

这些观察表明，仅凭EC曲线的静态聚类不足以可靠地将次要不稳定性与正常运行区分开来。然而，EC描述符在时间上的方向性包含了额外动力学信息，而这些信息在静态PCA嵌入中未被捕捉。为了利用这些信息，我们部署了第2.4.3节中介绍的NODE模型来学习EC曲线的时间演化。具体而言，NODE以每个滑动窗口的EC曲线作为输入，并预测其时间导数。与KAE框架类似，事件特征因此从潜在表示的时间演化中推断得出；但在TDA-NODE框架中，事件的拓扑特征是通过滑动窗口间的范数 $\|\dot{\chi}_k\|$ 来量化的。

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图9. 从烯烃厂数据的滑动窗口表示中获得的拓扑描述符。（a）为所有滑动窗口计算的归一化EC曲线，按表1中定义的正常运行和事件类别进行颜色编码。（b）EC曲线在第一、第二主成分上的PCA投影。次要事件大多与正常运行区域重叠，而主要事件在拓扑潜在空间中分离得更明显。连续PCA标记点之间的灰色虚线箭头表示TDA描述符（$\chi_k$）跨时间窗口的动态进展。

图10展示了 $\|\dot{\chi}_k\|$ 的时间演化以及表1中定义的不同事件的发生时间。与基于重建的方法（如PCA和AE）以及基于轨迹的KAE模型不同，所提出的TDA-NODE框架不仅在主要事件发生时表现出明显的偏离，也在次要事件周围显示出清晰的偏离。换言之，尽管次要事件在静态EC和PCA视图中大多与正常区域重叠，但它们的影响反映在拓扑描述符的方向性中，并被所预测的拓扑动力学所捕捉。因此， $\|\dot{\chi}_k\|$ 中的急剧变化为次要和主要不稳定性提供了可解释且具有动力学意义的特征信号。此外，对于本研究所考虑的数据集，拓扑描述符（即Euler特征和Betti数）的计算每个窗口大约需要0.13秒。由于过程测量每分钟记录一次，提取TDA描述符的计算时间远小于连续测量之间的间隔，因此与在线更新这些描述符兼容，只要过程监控中出现新的测量值即可。这些结果表明，将TDA表示与微分机器学习模型相结合，能够从高维多变量时间序列数据中高效且灵敏地检测次要以及主要过程不稳定性。

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图10. 基于TDA-NODE的事件检测，展示了 $\|\dot{\chi}_k\|$ 在所有滑动窗口中的时间演化。彩色垂直虚线表示表1中定义的事件1-6的发生时间。尽管次要事件在静态EC基于的潜在表示中与正常区域重叠，但其特征通过EC描述符的方向性得以揭示。所预测拓扑动力学中的峰值与次要和主要事件均吻合，表明TDA-NODE在统一的基于轨迹的监控框架中捕捉到了次要和主要过渡。

测试性能

为了评估所提出的TDA-NODE框架的泛化能力和鲁棒性，我们在从同一工业烯烃厂获得的独立测试数据集上部署了训练好的NODE模型。该数据集包含与训练数据集相同的过程变量，但对应于完全不同的运行时间线。测量同样每分钟记录一次，跨度约为62天（即88,562分钟）。图11展示了测试数据集的归一化时间序列轨迹（$\tilde{v}$）。与用于开发NODE模型的数据集相比，这些轨迹表现出显著不同的瞬态模式、波动和运行变异性，从而为检验所学习的拓扑动力学是否泛化到未见过的工厂行为提供了有意义的测试。

图12a展示了使用与训练案例相同的滑动窗口数据可视化策略构建的测试数据集的2D流形表示。图12b展示了为对应窗口计算的归一化EC曲线。尽管训练数据集和测试数据集的EC分布并不相同，但它们的定性差异反映了两个数据采集期间实际工厂行为的差异。图12c展示了测试数据集EC曲线的PCA投影，其中事件被突出显示。从EC曲线及其PCA投影中可以明显看出，事件与正常运行区域大部分重叠。因此，简单地可视化低维拓扑描述符不足以可靠地区分多变量时间序列数据中事件的发生。

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图11. 独立测试数据集中所测量过程变量（$\tilde{v}$）的归一化时间序列轨迹。该数据集包含与训练数据集相同的过程变量，但跨越约$t=62$天（88,562分钟）的不同运行时间线，测量每分钟记录一次。轨迹表现出与用于开发NODE模型的数据集相比显著不同的瞬态模式和动力学变异性。

为解决这一局限，我们部署了使用训练数据集开发的最优NODE模型。在实现过程中，NODE仅用测试数据集第一个滑动窗口对应的EC曲线进行初始化，然后在剩余窗口中进行多步外推滚动，无需重新训练或重新校准。图12d展示了测试数据集所预测的 $\|\dot{\chi}_k\|$ 值的时间演化。尽管静态EC表示未能将事件与正常运行明确区分，但预训练的NODE仍通过拓扑描述符（此处为EC曲线）时间导数中的显著峰值来识别这些事件。这表明所学习的拓扑动力学具有足够的鲁棒性，能够泛化到训练期之外，并在未见过的运行数据中检测不稳定性区域。

这些结果突出了所提出的TDA-NODE框架在在线过程监控中的实际应用价值。即使底层过程轨迹和拓扑摘要与训练期间所见到的差异显著，预训练模型仍可通过潜在拓扑状态的方向性来识别不稳定性区域。这提供了强有力的证据，表明该框架对于在先前未见的多变量过程数据中检测事件既具有鲁棒性又具有泛化能力。

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图12. 独立测试数据集的拓扑分析和基于NODE的监控结果。（a）使用与训练案例相同的滑动窗口策略构建的多变量时间序列数据2D流形表示。（b）为测试数据集所有滑动窗口计算的归一化EC曲线。尽管EC分布与训练数据集不同，但其定性变化反映了两个运行期间不同的工厂行为。（c）EC曲线的PCA投影，其中黄色/橙色标记点表示事件。事件与正常运行区域大部分重叠，表明仅靠拓扑描述符的静态可视化不足以实现可靠的事件检测。（d）基于NODE的测试数据集监控，展示了 $\|\dot{\chi}_k\|$ 的时间演化。所预测时间导数中的峰值与未见数据集中的不稳定性区域吻合，证明了预训练TDA-NODE框架的泛化能力。

5. 结论与未来工作

本文提出了一种结合拓扑数据分析（TDA）和神经常微分方程（NODE）工具的过程监控方法。从高维多变量工厂数据出发，我们使用滑动窗口流形表示过程，通过子水平集过滤提取拓扑描述符（Euler特征曲线），并使用NODE模型学习这些拓扑描述符的时间演化。这产生了对过程动力学的紧凑拓扑摘要，适用于在线事件检测。

结果揭示了候选监控范式之间的明显区别。基于重建的方法，如主成分分析和自编码器（AE），主要检测主要事件；而Koopman自编码器虽然是基于轨迹的方法，但本案例研究中仍主要对主要过渡敏感。相比之下，所提出的TDA-NODE框架通过利用拓扑描述符在时间上的方向性，能够捕捉主要和次要事件。尽管次要事件的静态Euler特征通常与默认运行区域重叠，但其时间演化在预测的拓扑动力学中产生了明显的峰值。

此外，预训练的 NODE 模型成功泛化到独立测试数据集，证明了所学到的拓扑动力学对未见过的运行条件具有鲁棒性。所提出框架的全自动化部署将需要使用标称运行统计量对自适应或依赖运行工况的报警阈值进行系统校准，同时需要配备保障准则，以便在持续预测偏差表明过程运行状态发生变化时更新所学到的动力学模型。未来的工作将研究这些在线实现策略，并评估由此产生的误报率、事件级检测率和检测延迟。在本研究中，NODE 训练构成一次性离线步骤，预训练模型在独立运行时间线评估期间保持不变，以便在不进行重新校准的情况下单独评估其泛化能力。未来的研究还将专注于将该框架扩展到额外的数据表示，例如基于图和相关的流形，并将拓扑事件特征与因果分析和诊断工具结合，以及改进数据驱动的过程监控工作流程。例如，本工作中考虑的自编码器（AE）基准采用传统的欠完备架构，并带有基于验证的早停机制，但并未对其潜在空间施加显式的几何约束。正则化变体，包括收缩式、变分和保形自编码器，可以改变潜在表示的结构以及由此产生的重构误差分布。对这类变体的系统评估，包括事件检测对潜在空间正则化形式和强度的敏感性，也是未来工作的一个重要方向。另一个方向是将基于拓扑的监控与控制优化框架集成，以实现工业过程系统中的实时数据驱动异常检测。CRediT 作者贡献声明：Angan Mukherjee：撰写–原稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，形式分析，数据整理，概念化。Tyler A. Soderstrom：撰写–审阅与编辑，资源，项目管理，资金获取。Michael J. Kurtz：撰写–审阅与编辑，资源，项目管理，资金获取。Victor M. Zavala：撰写–审阅与编辑，监督，项目管理，方法论，资金获取，概念化。Angan Mukherjee|Tyler A. Soderstrom|Michael J. Kurtz|Victor M. Zavala