一种用于曲面上高阶偏微分方程的高效径向基函数-有限差分方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：An efficient radial basis function-finite difference method for high-order partial differential equations on surfaces

　　

摘要

在本文中，我们发展了径向基函数-有限差分（RBF-FD）方法，用于在曲面上求解高阶偏微分方程（PDEs）。通过RBF-FD方法结合多元多项式，近似了四阶和六阶Laplace–Beltrami算子。此外，所提出的方法还被应用于求解曲面上的双调和问题和三调和问题。作为一种局部无网格方法，所得到的Laplace–Beltrami算子的微分矩阵是稀疏的。因此，可以使用Krylov子空间迭代方法快速求解稀疏线性代数系统。我们分析了RBF-FD方法求解曲面上高阶偏微分方程的计算复杂度。数值结果表明，我们的方法实现了高精度和高收敛阶。在应用中，采用隐式时间离散化来模拟曲面上的高阶相场方程。

引言

在弯曲曲面上定义的高阶偏微分方程（PDEs）频繁出现在流体力学、电磁学和生物学等领域[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]。本文聚焦于定义在曲面上的四阶和六阶偏微分方程的数值处理和分析，包括双调和方程和Cahn–Hilliard（CH）方程（四阶）以及三调和方程和相场晶格（PFC）方程（六阶）。这些方程与材料科学、几何分析和凝聚态系统密切相关，描述了晶体生长、薄膜内相分离以及动物表皮上斑点和条纹的形成等现象[2]，[3]，[4]，[8]，[9]，[10]，[11]。

目前，大量研究者对曲面上四阶偏微分方程的数值处理进行了深入的研究。这些数值方法主要分为两类：基于网格的方法和基于无网格的方法。具体而言，基于网格的方法包括有限元方法[6]，[9]，[12]，[13]，[14]，[15]，[16]、有限体积方法[17]和有限差分方法[18]，[19]，由于其处理复杂弯曲几何体的可靠性而被广泛应用。同时，各种无网格方法由于其高阶性和高精度，作为克服基于网格技术特定场景局限性的有效替代方案也得到了发展[20]，[21]，[22]。相比之下，关于闭合曲面上六阶偏微分方程数值模拟的研究相对较少，仅文献[1]，[2]，[23]报告了曲面上三调和方程和相场晶格方程的相关数值结果。近年来，几位学者采用了等几何框架来求解定义在曲面上的高阶偏微分方程[1]，[24]。

最初，Shankar等人在文献[25]中利用迭代微分技术开发了径向基函数-有限差分（RBF-FD）方法，用于求解曲面上的反应-扩散方程。随后，许多研究者将RBF-FD方法应用于求解定义在弯曲曲面上的各种偏微分方程[22]，[26]，[27]，[28]，[29]，[30]，[31]，[32]，[33]。最近，文献[26]中提出了一种直接的RBF-FD方法来离散曲面上的Laplace–Beltrami算子。该方法可以直接在基于点云的曲面上实施，而不需要使用迭代微分技术。由于投影算子的影响，曲面上高阶微分算子的数学公式极其复杂。这些研究大多局限于二阶反应-扩散方程，例如曲面上的图灵模型[34]，[35]，[36]、FitzHugh–Nagumo模型[25]，[37]、Brusselator模型[22]，[38]、Gray-Scott模型[39]和Schnakenberg模型[27]，[40]，[41]。

为克服这一困难，我们将RBF-FD方法与高阶偏微分方程的分裂公式相结合，用于求解弯曲曲面上的高阶偏微分方程。具体而言，选择多项调和样条作为一种常用的径向基函数，该函数在数值PDEs中具有强适应性和高近似精度。该函数具有在计算过程中无需调整形状参数的显著优点，并能在数值结果中实现高阶精度。此外，为表征曲面上的相分离现象和图案形成，我们将所提出的方法与后向欧拉时间离散化方案相结合，用于求解曲面上的高阶相场方程和晶格方程，从而实现对相应物理过程的可靠数值模拟。此外，我们还分析了所提出方法的计算复杂度。

本文的结构安排如下。在第2节中，我们介绍了曲面上微分算子的定义以及其上定义的高阶偏微分方程。第3节回顾了RBF-FD方法，用于近似Laplace–Beltrami算子。在第4节中，我们提出了求解曲面上高阶偏微分方程的全离散方案。第5节分析了所提出方法的计算复杂度。第6节通过一系列数值实验验证了所提出方法的有效性。最后，第7节给出了一些结论和未来展望。

第二节 曲面上的高阶偏微分方程

首先，我们介绍一系列定义在光滑曲面Γ上的微分算子，它可以表示为水平集函数的形式为：Γ?{x=(x,y,z)∈Γ | φ(x)=0}，其中|?φ(x)|≠0。设n(x)=?φ(x)/|?φ(x)|表示任意点x∈Γ（即曲面Γ上的任意点x）处的单位法向量，投影张量P满足：对于x∈Γ，P(x)=I?n(x)?n(x)，其中I∈R3是恒等算子。假设存在一个函数u从曲面Γ映射到实数集（u:Γ→R）。

第三节 曲面上增强多元多项式的RBF-FD方法

本节简要回顾了增强多元多项式的径向基函数生成的有限差分（RBF-FD）方法，该方法用于近似Laplace–Beltrami算子。径向基函数定义为实值函数，其值仅由到欧几里得空间内固定点的欧几里得距离决定，可表示为φ(x)=φ(‖x?xc‖)。这里x表示任意点，xc表示……

第四节 曲面上高阶偏微分方程RBF-FD的矩阵形式

在本节中，我们应用增强多元多项式的RBF-FD方法来求解曲面上的稳态和非稳态高阶偏微分方程，并显式推导其相应的矩阵形式。

第五节 计算复杂度分析

对于本文提出的RBF-FD方法，高阶偏微分方程离散化的计算成本由以下三个主要部分组成：

• 为每个模板内的所有N个测试点收集局部索引所需的数据结构构建的计算成本。

• 假设模板大小为n。在RBF-FD方法中，N个局部线性系统被建立并求解。因此，通过RBF-FD方法求解所有局部线性系统的计算成本随阶数n3N变化。

第六节 数值结果

在本节中，我们通过一些数值实验验证了所提出方法求解曲面上高阶偏微分方程的精度和数值性能。我们选择的m、n、l遵循文献[26]的参数配置。我们在修改后的手稿中补充了点云生成的详细描述。对于通过水平集函数定义的曲面，准均匀散点由Distmesh包生成；对于其他弯曲曲面，点的分布……

第七节 结论

在本文中，我们提出了一种带有多项多项式的RBF-FD方法来求解曲面上的高阶偏微分方程。为验证所提出方法的高阶特性和高精度，我们在具有精确解的曲面上对双调和问题和三调和问题进行了数值模拟。此外，我们采用后向欧拉时间离散化方案推导了曲面上的Cahn–Hilliard方程和相场晶格方程。通过数值算例模拟了……

CRediT作者贡献声明

刘亚骏：写作——审阅与编辑，写作——原稿，可视化，软件，方法学，调查研究，资金获取，形式分析，概念化。吴龙远：写作——审阅与编辑，资金获取，概念化。张涛：写作——审阅与编辑，资金获取，概念化。

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的相互竞争的经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文所报告的工作。

刘亚骏 | 吴龙远 | 张涛