用于相场内聚区模型的混合加速自适应径向点插值方法

《Engineering Analysis with Boundary Elements》：Hybrid-Accelerated Adaptive Radial Point Interpolation Method for Phase-Field Cohesive Zone Model

　　

本研究的主要贡献如下：
• 针对PF-CZM提出了HA-ARPIM方法。该方法将自适应节点细化与HAA方案相结合，在保持精度的同时提高了求解效率。
• 系统确定了最优参数组合（Anderson深度m = 1，松弛因子ω = 1.8），揭示了这些参数对收敛性能的影响，为类似自适应加速方法中的参数配置提供了定量指导。
• 涵盖2D和3D问题、单裂纹和多裂纹以及各种断裂模式的基准测试表明，该方法能够准确再现裂纹起始路径、峰值载荷和载荷-位移曲线。在不损失精度的情况下，计算成本降低了14%-20%，确立了HA-ARPIM作为工程尺度断裂模拟的高效可靠工具的地位。

引言
断裂是工程材料和结构在使用服务过程中不可避免的失效模式，对工程系统的安全性、稳定性和耐久性构成严重威胁[[1]，[2]，[3]]。因此，准确预测裂纹的萌生、扩展和汇合规律，以及理解材料的断裂机理，长期以来一直是固体力学、材料力学和工程设计领域的核心研究课题[4,5]。

为解决断裂问题，基于脆性断裂理论变分格式[4]及后续正则化模型[1]，建立了相场模型（PFM）[[6]，[7]，[8]]。其核心思想是通过引入扩散相场来正则化材料从完整状态到损伤状态的渐进过渡。该模型无需显式裂纹表面追踪和网格重建，可在统一的数值框架内模拟复杂的裂纹扩展路径[[9]，[10]，[11]，[12]]。PFM已成功应用于各种断裂问题，尤其是脆性和准脆性断裂，涵盖金属、陶瓷、混凝土和复合材料等广泛的工程材料[[13]，[14]，[15]，[16]，[17]，[18]，[19]]。本文选择相场断裂框架中的PF-CZM进行研究。该模型具有尺度无关性、强度与断裂韧性的双参数控制以及与任意软化律的兼容性等突出优势，因此在准脆性断裂模拟领域得到了广泛应用[[18]，[19]，[20]，[21]，[22]，[23]，[24]]。

为降低PFM因细网格和缓慢交错收敛带来的高计算成本[25]，自适应细化技术得到了广泛应用。这些技术包括岩石的自适应相场[26]、自适应等几何[27]和网格无关配点法[28]、自适应无单元Galerkin法[29]、带自适应细化的L-BFGS[30]，以及损伤驱动的自适应径向点插值方法（ARPIM）[31,32]。自适应方法偏好交错方案而非单体方案，因为其解耦的场方程在局部细化时无需重建完全耦合的切向刚度矩阵[27,[33]，[34]，[35]]。但交错方法的收敛速度仍然较慢，尤其是在裂纹扩展过程中[7,36,37]。为加速求解，已提出各种技术：并发时间均匀化[38]、带线搜索的改进牛顿法[39]，以及通用方法如Anderson加速和过松弛[40,41]。Anderson加速在弱非线性阶段效果良好，但在裂纹快速扩展过程中可能发散；过松弛可以加快扩展阶段的收敛，但在准静态步骤中可能效率不高。Storvik等人[40]将两者结合为HAA方案，根据残差演化动态切换。HAA尚未与自适应无网格方法集成。本工作通过将该HAA嵌入ARPIM框架填补了这一空白。自适应离散为加速提供了灵活的计算基础，而HAA方案为动态细化提供了高效的迭代支持。这种组合有望超越任何单一技术所能达到的计算效率。

本研究的主要贡献如下：
(1) 针对PF-CZM提出了HA-ARPIM方法。该方法将自适应节点细化与HAA方案相结合，在保持精度的同时提高了求解效率。
(2) 系统确定了最优参数组合（Anderson深度m = 1，松弛因子ω = 1.8），揭示了这些参数对收敛性能的影响，为类似自适应加速方法中的参数配置提供了定量指导。
(3) 涵盖2D和3D问题、单裂纹和多裂纹以及各种断裂模式的基准测试表明，该方法能够准确再现裂纹起始路径、峰值载荷和载荷-位移曲线。在不损失精度的情况下，计算成本降低了14%-20%，确立了HA-ARPIM作为工程尺度断裂模拟的高效可靠工具的地位。

本文的组织结构如下：第2节概述相场断裂模型和径向点插值方法（RPIM）的基本理论；第3节介绍ARPIM和加速技术HA-ARPIM；第4节详细阐述新方法HA-ARPIM的原理和实现过程；第5节将HA-ARPIM应用于2D和3D基准算例，验证所提方法的效率和精度；最后，第6节总结了本文的研究成果。

PF-CZM理论
考虑?d（d∈{1,2,3}）上线性弹性任意体Ω，具有外部边界?Ω和一组内部不连续边界Γ??d-1。边界?Ω分为Dirichlet部分?Ωu和力边界?Ωt，满足?Ω = ?Ωu∪?Ωt且?Ωu∩?Ωt = ?。位移场用u表示，在?Ωu上给定值?，在?Ωt上给定面力t?，如图1所示。

相场方法将尖锐裂纹表面Γ正则化为扩散局域化带Ωd，

自适应方法与加速技术
相场模型需要精细离散以分辨扩散损伤区域，但全局细化会导致过高的计算成本[25]。自适应细化通过集中在损伤区域来克服这一问题[[26]，[27]，[28]，[29]，[30]，[31]，[32]，[33]]。同时，标准交错求解方案虽然与自适应方法兼容[27,34,35]，但在裂纹扩展过程中收敛较慢[7,36,37]。本节描述ARPIM[31,32]及加速

混合加速自适应径向点插值方法
ARPIM动态调整节点密度以分辨裂纹附近的相场梯度[31]。然而，其交错求解过程仍存在收敛缓慢的问题，尤其是在裂纹扩展过程中。为解决这一问题，我们将HAA方案嵌入ARPIM框架，得到HA-ARPIM。

算法2

数值算例
为评估所提HA-ARPIM方法的性能，我们进行了一系列基准测试，涵盖2D和3D断裂问题。这些测试包括单裂纹和多裂纹扩展、不同断裂模式以及不同几何复杂度水平，从而系统地评估了方法的精度、鲁棒性和计算效率。

采用递归修正ARPIM方法[46]作为对比基准。为清晰起见，我们将此基准记为

结论
本文针对PF-CZM提出了HA-ARPIM方法，将自适应无网格细化与混合加速交替迭代方案相结合。该方法解决了相场断裂模拟中两个长期存在的挑战：精细离散的高计算成本和交错求解方案的慢收敛。

自适应细化策略根据相场演化，在高损伤梯度区域动态集中节点，实现了细化。

CRediT作者贡献声明
Jingru Ma：撰写——初稿、验证、软件、方法论、数据整理、概念化。
Yaozhun Wang：软件。
Yuqian Xu：调查。
Jing Yue：资金获取、形式分析。
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