《Scientific Reports》：Finite element analysis of a layered shoe sole under biomechanical plantar pressure loading
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摘要
本研究提出了一种基于生理学动机的双峰高斯足底压力加载模型（dual-peak Gaussian plantar pressure loading），该模型经过正常行走地面反作用力（ground reaction force，GRF，约1倍体重）校准，
摘要
本研究提出了一种基于生理学动机的双峰高斯足底压力加载模型（dual-peak Gaussian plantar pressure loading），该模型经过正常行走地面反作用力（ground reaction force，GRF，约1倍体重）校准，并作用于多层运动鞋鞋底的二维有限元分析（finite element analysis，FEA）模型中。该模型的几何结构仅包含一层硬质橡胶外底（杨氏模量E=50 MPa，泊松比ν=0.47），粘合于一层柔性乙烯-醋酸乙烯酯（Ethylene-Vinyl Acetate，EVA）泡沫中底（E=5 MPa，ν=0.40）之上，共划分672个常应变三角形（Constant Strain Triangle，CST）单元，具有798个自由度。所施加的载荷为双峰高斯压力分布，主峰位于足跟区域（x=33.6 mm），次峰位于跖骨区域（x=210 mm），并针对70 kg受试者（686.7 N）进行校准，以模拟足跟着地阶段。全局刚度矩阵采用逐层组装方式构建，并通过LU分解（LU factorisation）直接求解。结果表明，足跟处峰值冯·米塞斯应力（Von Mises stress）为141.25 kPa，最大垂直压缩量为0.3662 mm（位于足跟，x≈33 mm），总吸收应变能为76.41 mJ，其中94%被较软的中底吸收。外底的冯·米塞斯应力约为中底的1.19倍，这一模式与该单一构型模型中外底所承担的载荷再分配作用一致。上述结果为鞋类设计中的应力局部化、层间载荷传递及能量吸收效率提供了洞见。该框架旨在作为材料和结构参数探索的初步计算筛选工具，而非经过验证的体内足底载荷或损伤风险预测工具。
**分层鞋底有限元模型的生物力学足底压力响应与能量吸收特性解读**
**1 研究背景与现存问题**
鞋类设计涉及结构力学、材料科学与人体生物力学的交叉领域。鞋底需要满足相互矛盾的设计要求：在更大的足底表面积上重新分配地面反作用力、耗散冲击能量，以及最小化足跟脂肪垫和足底筋膜等敏感解剖部位的压力峰值。临床压力板研究显示，足跟着地期间足底压力分布极不均匀，跟骨处峰值压力可达200–450 kPa，而足弓区域仅为10–50 kPa。足跟慢性过载与足底筋膜炎、应力性骨折以及跟骨滑囊炎之间存在密切关联。有限元建模（finite element modelling）为量化鞋类结构内部应力与应变场提供了一种非侵入性手段，能够在无需昂贵物理原型测试的情况下进行参数优化。
然而，现有鞋类有限元研究大多依赖商业求解器包，其网格划分和组装流程为专有且部分未公开。一项系统综述发现，2004年至2024年间发表的14项跑鞋有限元研究中，实施细节差异显著，且几乎所有研究都采用相似的EVA基材料假设，缺乏一个可共同复现、公开透明的基线平台以供研究者便捷地变更这些假设。这为建立一种完全透明、依赖度低的计算流程留下了空白——这种流程应从第一性原理出发构建，而非依赖商业求解器，使其他研究人员能够在无需专门许可的情况下检查、修改和重新运行，并在投入高计算成本和数据成本的3D、患者特异性或优化驱动模型之前，作为经济有效的切入点。
**2 研究目的**
本研究针对上述空白，提出并实现了一个完整的CST有限元管道，用于双层鞋底分析；构建了经体重校准的、具有生物力学动机的双峰高斯载荷模型；系统性地后处理应力场、层间应力比、变形和应变能分布，为鞋类缓震设计提供参考依据。该框架定位于参数探索的初步计算筛选工具，而非经过验证的体内足底载荷或损伤风险预测工具。
**3 研究方法概述**
研究人员建立了一个二维矩形鞋底模型，长L=280 mm、高H=30 mm、面外厚度t=90 mm。鞋底分为两层：橡胶外底（厚度8 mm，E=50 MPa，ν=0.47）与EVA泡沫中底（厚度22 mm，E=5 MPa，ν=0.40）。采用结构化三角网格，将nx×ny=56×6个四边形单元各分割为两个CST单元，共生成672个三角形单元和399个节点（798个自由度）。通过单元质心y坐标进行层分配。足底压力分布采用双峰高斯模型：足跟主峰位于μ?=33.6 mm（A?=1.0，σ?=16.8 mm），前足次峰位于μ?=210 mm（A?=0.55，σ?=22.4 mm），总积分力归一化为686.7 N（70 kg体重），对应足跟峰值压力105.96 kPa，模拟正常行走足跟着地阶段。全局刚度矩阵采用逐层组装方式构建，边界条件采用罚函数法（K_pen=102? N/m）施加于所有底面节点，798×798线性系统通过scipy.linalg.solve（稠密LU分解）求解。单元应变、应力、冯·米塞斯应力及应变能分别通过相应公式在后处理中恢复。足跟与跖骨峰值位置（分别为内部鞋长的12%和75%）参照世界田联技术规则第5.3.4条引出，为参数选取提供了非任意的外部依据。
**4 研究结果**
**4.1 位移场**
最大垂直压缩量为0.3662 mm，位于足跟处（x≈33 mm），最大水平位移为0.1035 mm，位于足跟-足弓过渡区。压缩量仅为鞋底高度的1.2%，确认系统处于线弹性范围。放大25倍的变形图显示出围绕足弓的特征性弯曲。
**4.2 载荷-应力响应**
施加的压力曲线与恢复的中底顶部冯·米塞斯应力曲线均呈双峰形态，表明应力场与施加载荷成正比。足跟处主峰（x≈33 mm）在两条曲线中均占主导地位，前足足球处的次峰（x≈210 mm）在应力输出中同样得到良好呈现。应力幅值约为施加压力的40%，归因于层状系统的柔顺性。
**4.3 应力场分布**
完整应力场图中，冯·米塞斯应力图显示足跟和前足区域具有较高应力水平，而足弓区域接近零应力。垂直应力σ_yy主要为压应力，足跟处最大值为?160.88 kPa。最大剪切应力τ_xy出现在足跟-足弓过渡区，值为±39.32 kPa，由陡峭的压力梯度引起。三幅应力云图中均可在层边界处观察到清晰的对比边界，代表橡胶与EVA之间的材料不连续性。
**4.4 逐层应力比较**
外底和中间层的列平均冯·米塞斯应力对比表明，外底应力约为中底的1.19倍——远低于10∶1的模量比。这是因为粘合界面强制位移连续性，将层间应变耦合在一起，使应力比受层厚度和柔顺性控制，而非仅由材料刚度决定。这验证了外底在接触应力传递至脚部之前吸收和重新分配峰值接触应力的机械功能，以及中底在较低应力水平下吸收更多应力的缓震顺应性。
**4.5 变形形状**
放大25倍的变形形状叠加冯·米塞斯应力场显示，足跟处明显压缩，中底区域在峰值载荷下塌陷最为显著。前足区域也存在可测量的位移，对应于次高斯峰值。
**4.6 应变能分布**
吸收弹性应变能的空间分布显示，足跟区域集中了最高能量密度，x<60 mm区域的中底顶层行约占全部能量的69%，而该区域仅占鞋底长度的22%。总吸收能量为76.41 mJ，其中94%存储在中底中。Nourani等人的537次物理压缩试验证实足跟初始接触产生最小应变能，鞋底硬度和几何形状是能量吸收的主要决定因素，直接支持本研究的材料和几何选择。
**4.7 与文献的比较**
峰值冯·米塞斯应力（141.25 kPa）和垂直压缩量（0.3662 mm）处于3D全足-鞋组装体有限元研究报告值的较低范围（中底峰值应力通常为50–150 kPa），这是因为本模型未包含足部几何、软组织顺应性和骨性突起集中效应。本研究中峰值σ_yy（160.88 kPa）超过3D足-鞋全模型报告值，原因是3D模型包含骨性结构、软组织和韧带，将载荷分配到大面积足底接触区，而本研究2D模型将压力直接施加于鞋底表面，无足部几何，垂直应力集中在载荷施加节点处。中底94%的能量占比与EVA中底吸收60–75%冲击能量的实验减震数据一致。上述比较建立了合理性而非验证准确性：结果未经受试者特异性足底压力或鞋内应力测量基准测试，应视为展示分层有限元框架的计算可行性，而非确认其对真实鞋类性能的预测精度。
**4.8 优化基方法的优势与局限**
与Taguchi参数优化或机器学习辅助晶格设计相比，本单一构型CST模型以设计空间覆盖换取计算透明度和速度：672单元求解在标准硬件上远低于1秒完成，而Taguchi阵列或机器学习代理模型通常需要数十至数百次有限元评估。这使得该方法非常适合快速、可解释地筛选少数候选材料或几何变更，但并非系统参数搜索的替代品，也未包含3D脚-鞋模型的足部几何、受试者特异性或步态动力学细节。两者互补而非竞争。
**5 设计启示**
足跟缓震优先级方面，约69%的吸收能量集中在仅占全长22%的足跟区域，局部增加EVA密度或插入聚氨酯（PU）凝胶可提高比能量吸收，但会增加质量并降低柔韧性。拉胀中底结构和3D打印仿生中底提供了更轻量化的替代方案。外底厚度权衡方面，足跟部增加外底厚度可增强载荷重新分配，但会增重并降低柔韧性，可通过有限元优化定义应力衰减与重量惩罚间的帕累托前沿。层间剪切方面，峰值层间剪切τ_xy=39.32 kPa出现在足跟-足弓过渡区，要求粘合强度大于此值并具备足够安全系数；循环载荷下建议采用纹理化或机械互锁界面以防止分层。关于足底筋膜炎风险，足跟应力峰在空间上与足底筋膜起点（跟骨结节）重合，该位置在临床文献中与足底筋膜炎风险相关；在本2D结构筛选模型的范围内，通过加宽足跟杯几何形状降低x=30–40 mm区域σ_yy是值得在该框架中进行计算测试的设计方向。
**6 局限性与未来工作**
模型假设包括：平面应力假设忽略面外变形；CST单元在弯曲中过于刚硬，采用线性应变三角形（LST）或八节点四边形（Q8）单元可提高足弓区域精度；线弹性模型未涵盖橡胶和EVA的超弹性与粘弹性行为，橡胶外底模量（10–100 MPa）为假设的有效线弹性值而非文献报告值；载荷模型为静态（仅足跟着地阶段），排除动态冲击尖峰；未包含足部几何和软组织顺应性。未来工作方向包括高阶单元公式、Mooney–Rivlin或Ogden超弹性材料模型、动态显式有限元冲击模拟、2D模型3D挤出、使用仪器化压力鞋垫在物理鞋底原型上进行实验验证、受试者特异性足部几何整合、向参数化或ML辅助优化扩展，以及以基于罚函数的摩擦接触公式替代完全固定的底面边界条件。
**7 研究结论**
研究者开发并演示了一个针对分层鞋底的二维平面应力CST有限元框架，该框架在经正常行走地面反作用力校准的双峰高斯足底压力加载条件下运行。该框架旨在作为鞋底设计中结构和材料参数探索的初步计算筛选工具，而非经过验证的体内足底载荷、组织应力或损伤风险预测工具。硬质橡胶外底承受的冯·米塞斯应力约为EVA中底的1.19倍，这一模式与外底的载荷再分配作用一致；但要因果性地确认该功能，需要跨多种材料和几何构型进行比较，留待未来参数研究。中底吸收了总冲击能量的94%，与双层缓震功能的设计意图一致。峰值应力和应变能集中在足跟部位，与施加载荷精确对应，层间剪切集中在足跟-足弓边界处。基于CST的2D有限元方法被证明是一种计算高效的初步筛选工具，适用于材料和结构参数探索，为后续计算成本更高的3D解剖模型或基于优化的模型提供前置评估与范围界定。
