基于扩展物理信息神经网络的未知参数区域偏微分方程求解方法

《Scientific Reports》：Extended physics-informed neural networks (Ex-PINNs): a machine-learning method for solving partial differential equations in domain with spatially heterogeneous parameters

　　

摘要

本文提出了一种基于机器学习的方法——扩展物理信息神经网络（Ex-PINNs），用于求解包含未知参数区域的偏微分方程。在现有的PINNs中，含有分布参数的偏微分方程通常通过设置若干个子域来求解，当需要指定许多界面和子域时，这种方法可能变得繁琐。为解决这一问题，我们在标准PINN架构中引入了一个额外的神经网络，用于表征和重构未知连续参数。Ex-PINNs的损失函数由残差部分和边界条件部分组成，不仅包含解的神经网络，还包含表征参数的神经网络。通过该方法，我们避免了标准PINNs需要引入大量界面和子域来近似解的问题。我们还展示了固体力学和热传导问题以验证所提出的Ex-PINN方法。数值实验表明，Ex-PINNs的结果与有限元法（FEM）吻合良好，相对误差小于3.0%。该方法为PINN在固体力学等潜在领域中的应用提供了扩展。