基于大规模弹性体数据到工程仿真：一种用于超弹性本构建模的通用跳跃连接物理信息神经网络

《Engineering》：From Large-Scale Elastomer Data to Engineering Simulation: A Generalizable Skip-Connected Physics-Informed Neural Network for Hyperelastic Constitutive Modeling

　　

超弹性本构模型（Hyperelastic constitutive models, HCMs）对于准确描述弹性体的力学响应以及支撑工程橡胶产品的结构优化至关重要。然而，现有的经验参数化HCMs和神经网络HCMs常常面临拟合精度与材料稳定性之间的权衡。在此，研究人员开发了一种跳跃连接物理信息神经网络（skip-connected physics-informed neural network, SC-PINN），作为一种通用、准确且稳定的超弹性本构建模框架。应变能势由基于不变量的多凸能量神经网络表示，通过构造嵌入热力学一致性、材料客观性、各向同性和材料稳定性。引入双跳跃连接模块作为物理上可容许的补充组件。其输出跳跃路径可被解释为贡献一个可训练的类Mooney–Rivlin项，对应于Rivlin多项式展开的一阶项，而非线性主干网络提供类高阶修正。SC-PINN在25 249条实验单轴拉伸应力–应变曲线上进行了评估，并与六种代表性HCMs进行了基准比较：Neo-Hookean、Mooney–Rivlin、Ogden、Zhang–Li、无约束PINN和无跳跃PINN。该网络实现了0.9995的平均决定系数（R2），其中99.4%的曲线达到R2 ≥ 0.99，同时通过其多凸架构保持100%的材料稳定性。此外，训练后的SC-PINN通过自定义UHYPER材料子程序在Abaqus/Standard中实现。该实现从标准试件到工程构件（包括缩比非充气轮胎和重型卡车悬架轴承）的案例中得到了验证，静态刚度误差低于5.0%。SC-PINN结合了高拟合精度、架构强制的材料稳定性和大规模通用性。这种结合将超弹性本构建模从经验曲线拟合推进到物理基础、数据驱动的框架，弥合了材料表征与工程弹性体结构有限元仿真之间的鸿沟。

一、研究背景与问题

弹性体材料表现出独特的超弹性行为，在生物医学工程、柔性电子和智能机器人等前沿领域具有广阔的应用前景。对于工程弹性体产品的结构优化和可靠性评估，有限元分析（finite-element analysis, FEA）方法因其高效性、预测能力和成本效益而被广泛使用。准确、稳定且通用的超弹性本构模型（Hyperelastic constitutive models, HCMs）对于FEA中弹性体材料的可靠数值模拟和性能预测至关重要，尤其是在复杂几何和多物理场耦合条件下。

然而，弹性体材料的力学响应高度复杂，涉及显著的几何和材料非线性，这给HCMs的构建、标定和数值实现带来了巨大挑战。自20世纪40年代Mooney在有限弹性方面的开创性工作以来，HCMs的发展一直是活跃的研究课题。迄今已提出近百种经验参数化HCMs，但比较研究表明，这些模型再现实验应力–应变响应的能力强烈依赖于模型形式、材料类型和变形模式。更重要的是，经验参数化HCMs在不同弹性体间的稳定性和通用性仍不确定。材料不稳定性会导致物理上不可容许的本构响应，并损害FEA仿真的收敛性和可靠性。精度与稳定性往往难以同时实现：高度灵活的分析形式可能提高曲线拟合性能，但容易违反稳定性；而严格稳定的形式可能牺牲非线性拟合精度。此外，验证HCM的通用性需要大规模数据集，而由于测试周期长和实验成本高，这些数据集难以构建。即便确定了准确且稳定的HCM，将其实现为有限元用户子程序仍要求研究人员具备张量代数、连续介质力学、计算算法和软件架构方面的专业知识，工作量巨大。

受材料基因组计划和人工智能进展的推动，HCMs的发展正从传统经验驱动方法转向与物理原理相结合的数据驱动建模框架。然而，早期神经网络本构模型大多是黑箱方法，直接学习应力–应变映射而未明确纳入物理约束，外推能力差且可能违反基本力学或热力学定律。近年来，物理信息神经网络（physics-informed neural networks, PINNs）已成为计算力学中的强大框架，通过将控制方程、本构约束或其他物理原理嵌入学习过程，约束网络输出在物理上可容许，同时保留数据驱动建模的灵活性。尽管在超弹性、粘弹性、弹塑性等领域取得了实质性进展，仍存在几个关键瓶颈：第一，确保材料稳定性的物理约束模型往往非线性逼近能力有限；第二，许多研究严重依赖经验参数化模型生成的理想化合成数据，无法充分代表真实弹性体响应的多样性；第三，许多现有模型难以部署到商业FEA软件中解决实际工程问题。因此，同时确保高拟合精度、材料稳定性、通用性和实际有限元实现仍然是基于神经网络的HCMs面临的开放性挑战。

二、研究内容与结论

为解决上述瓶颈，本研究提出了一种跳跃连接物理信息神经网络（SC-PINN）HCM，具有三个主要贡献。第一，SC-PINN模型将连续介质力学约束嵌入多凸神经网络中，并引入双跳跃连接模块作为受约束的、物理上可容许的补充通道。该模块的直接输入–输出路径恢复可训练的Mooney–Rivlin贡献，对应于Rivlin多项式展开的一阶项，而非线性主干网络提供类高阶修正。因此，SC-PINN可被解释为Rivlin展开结构的数据驱动实现，其中低阶和类高阶贡献在统一本构框架内联合学习。第二，该模型在25 249条实验单轴拉伸（uniaxial tension, UT）曲线的大规模数据集上进行了验证，而非合成数据。SC-PINN与代表性经验参数化HCMs（包括经典Ogden模型和研究人员先前提出的Zhang–Li模型）以及基于神经网络的基线模型（如无约束PINN（uPINN）和无跳跃多凸PINN）进行了基准比较。第三，训练后的SC-PINN通过用户定义的UHYPER材料子程序在Abaqus/Standard中实现，从标准试件到复杂构件（包括缩比非充气轮胎（non-pneumatic tire, NPT）和重型卡车悬架橡胶轴承）进行了工程验证。该实现提供了从物理约束本构建模到工程有限元应用的实用路径。

三、关键技术方法

研究人员采用了以下主要技术方法：基于不变量的多凸能量神经网络表示应变能势，通过构造嵌入热力学一致性、材料客观性、各向同性和材料稳定性；双跳跃连接模块作为物理可容许的补充组件，其输出跳跃路径贡献可训练的类Mooney–Rivlin项，非线性主干网络提供类高阶修正；利用自动微分实现应力响应计算；在25 249条实验单轴拉伸应力–应变曲线上进行大规模训练和评估；通过自定义UHYPER材料子程序将训练后的SC-PINN部署到Abaqus/Standard中，并在标准试件、缩比非充气轮胎和重型卡车悬架轴承等案例中进行工程验证。

四、研究结果

4.1 SC-PINN框架的连续介质力学基础

物理上可容许的HCM应满足四个物理要求：热力学一致性、材料客观性、各向同性和材料稳定性。前三个要求通过将变形梯度张量（F）构造为旋转不变变形度量，利用右Cauchy–Green张量（C）的主不变量作为网络输入来嵌入架构中。第一Piola–Kirchhoff应力张量（P）的（1,1）分量P₁₁与标准拉伸实验中记录的工程（名义）应力精确对应，因此被采用为整个SC-PINN训练、损失评估和实验数据比较中的统一应力度量。对于各向同性材料，ψ进一步简化为C的主不变量的函数。弹性体通常建模为不可压缩（J = 1），消除第三不变量（I₃ = 1），仅留下I₁和I₂作为ψ的独立输入。一旦标量应变能势ψ由神经网络表示，相应的应力响应直接通过对ψ关于F求导获得，这确保了热力学一致性，并消除了为每个候选ψ推导应力表达式的需要。

4.2 SC-PINN架构

SC-PINN架构由多凸能量神经网络主干和双跳跃连接模块组成。多凸性约束通过架构强制实现材料稳定性，而非作为损失函数中的软惩罚。双跳跃连接模块的直接输入–输出路径可被解释为贡献可训练的Mooney–Rivlin类项，而非线性主干网络提供类高阶修正。这种设计使SC-PINN可被视为Rivlin多项式展开结构的数据驱动实现，在统一本构框架内联合学习低阶和类高阶贡献。

4.3 大规模实验数据集上的性能评估

SC-PINN在25 249条实验UT曲线上进行了评估，并与六种代表性HCMs进行了基准比较：Neo-Hookean、Mooney–Rivlin、Ogden、Zhang–Li、无约束PINN（uPINN）和无跳跃PINN。该网络实现了0.9995的平均决定系数（R2），其中99.4%的曲线达到R2 ≥ 0.99，同时通过其多凸架构保持100%的材料稳定性。这表明SC-PINN在保持严格材料稳定性的同时，实现了高拟合精度和跨大规模多样化实验数据的通用性。

4.4 有限元实现与工程验证

训练后的SC-PINN通过自定义UHYPER材料子程序在Abaqus/Standard中实现。该实现从标准试件到工程构件（包括缩比非充气轮胎和重型卡车悬架轴承）的案例中得到了验证，静态刚度误差低于5.0%。这证明了SC-PINN从材料表征到工程弹性体结构有限元仿真的实用部署路径。

五、讨论与结论

SC-PINN结合了高拟合精度、架构强制的材料稳定性和大规模通用性。这种结合将超弹性本构建模从经验曲线拟合推进到物理基础、数据驱动的框架，弥合了材料表征与工程弹性体结构有限元仿真之间的鸿沟。该模型通过架构而非软惩罚确保材料稳定性，解决了精度–稳定性权衡问题；通过大规模真实实验数据验证了通用性，避免了合成数据偏差；通过UHYPER子程序实现了商业FEA软件中的实际部署，降低了HCMs在工程仿真中的技术壁垒和部署成本。