一种用于非线性土-结构体系稳态响应不确定性量化的多尺度方法

《RELIABILITY ENGINEERING & SYSTEM SAFETY》：A multiscale approach for the uncertainty quantification in the steady-state response of nonlinear soil-structure systems

　　

# 摘要

本文通过多尺度随机方法研究了土壤颗粒空间分布对非线性土-结构相互作用系统稳态谐波响应的影响。首先采用离散元法（DEM），通过伪实验离心机准静态分析确定土-基础相互作用的振幅相关等效刚度和阻尼特性。在此方面，进行了一项蒙特卡罗研究，以根据预设颗粒分析曲线考虑由于粒径分布引起的天然土壤变异性。然后利用最大熵原理确定等效侧向和转动刚度和阻尼的振幅相关分布。集合平均稳态响应通过求解积分非线性方程组获得。期望稳态响应与集合平均蒙特卡罗结果的比较表明所提出方法的准确性。此外，所提出的多尺度方法被应用于新颖的岩土地震隔离方法，从概率意义上突出了橡胶-土壤混合物在地震防护方面的有效性。有趣的是，分析表明，橡胶颗粒的加入降低了整体结构响应的不确定性程度，对可靠性研究有明确影响。研究表明，所提出的多尺度随机方法具有普遍适用性，也为橡胶-土壤混合物的设计提供了稳健的框架。

---

## 分节摘要

### 符号列表

| 符号 | 含义 |
|------|------|
| A | 概率密度函数 $p_A$ 中随机变量的定义域或标识符 |
| $A_{L,i}(a_i)$ | 一次水平荷载循环中耗散的能量 |
| $A_{L,\theta}(a_\theta)$ | 一次摇摆荷载循环中耗散的能量 |
| $A_{T,i}(a_i)$ | 水平荷载下的最大储存弹性能 |
| $A_{T,\theta}(a_\theta)$ | 摇摆荷载下的最大储存弹性能 |
| $a_g$ | 峰值地面加速度 |
| $a_0$ | 基础水平位移振幅 |
| $a_\theta$ | 基础转动振幅 |
| $c$ | 上部结构粘性阻尼系数 |

---

### 问题建模

考虑图1所示的多自由度（M-DoF）系统。在提出的方法中，不失一般性，假设上部结构表现为线性，而基础被视为刚性并支撑在随机、非线性、有变形的土壤介质上。上部结构被建模为一个N层集中质量系统，其中每层的质量集中在其各自标高处。楼层隔板被假设为在其自身平面内具有无限刚度。

### 通过DEM处理土壤不确定性

土壤介质很可能是最难被建模的随机材料之一。其微观力学行为、颗粒分布、摩擦、孔隙率，以及由此导出的非局部力学参数如剪切模量和阻尼，均表现出显著的空间变异性及不确定性。因此，需要适当的随机场模型来考虑这些不确定性。另一方面，随机场的生成依赖于介观/宏观层次的假设。

### 集合平均稳态响应

采用谐波平衡法（例如文献[6,20,42,43,44]），可以确定等效线性振幅相关相互作用力 $f_h(t)$ 和 $f_\theta(t)$。即，假定基础位移和转动表现出伪谐波行为，即：

$$u_0(t) = a_0(t)\cos(\omega t + \phi(t))$$
$$\dot{u}_0(t) = -a_0(t)\omega\sin(\omega t + \phi(t))$$

$$\theta(t) = a_\theta(t)\cos(\omega t + \phi(t))$$
$$\dot{\theta}(t) = -a_\theta(t)\omega\sin(\omega t + \phi(t))$$

其中，振幅 $a_0(t)$ 和 $a_\theta(t)$ 以及相位 $\phi(t)$ 被假设为相对于时间缓慢变化的。根据此，土-基础相互作用的等效刚度和阻尼分布

### 土-基础相互作用等效刚度和阻尼分布

等效刚度和阻尼参数的评估及其相关分布是确定稳态响应的关键。从方程(5)和(6)的分析可以很容易看出，在缓慢变化的地面运动输入情况下，惯性项可以忽略，采用拟静力方法，得到两个解耦方程：

$$f_h(t) = c_{e,h}(a_0)\dot{u}_0 + k_{e,h}(a_0)u_0 \cong -m_t \ddot{u}_g(t) = F(t)$$

$$f_\theta(t) = c_{e,\theta}(a_\theta)\dot{\theta} + k_{e,\theta}(a_\theta)\theta \cong -L_0 r \ddot{u}_g(t) = M(t)$$

进一步支持了

### 数值结果

第4节考虑了图4所示的SSI系统在水平地面运动激励下作为基准模型。对于图4的3自由度（$u(t) = [u\ u_0\ \theta]^T$）非线性土-结构系统，M、C和K矩阵简化为：

$$M = \begin{bmatrix} m & 0 & 0 \\ 0 & m_h & m_h t_m \\ 0 & m_h t_m & I_0 + m_h h^2 \end{bmatrix}$$

$$K = \begin{bmatrix} k & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$C = \begin{bmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$

$$p_0 = -\begin{bmatrix} m \\ m_h \\ m_h t_m \end{bmatrix} a_g$$

其中，基础高度被认为是可以忽略的，即 $h_0 = 0$。作为基准的结构模型的力学和几何参数取自

### 基于橡胶百分比的有效RSM设计

GSI技术应用中的一个公开挑战是确定最优RSM设计，这在实验上是难以实现的。因此，在本节中，利用所提出的方法对RSM有效性进行了全面评估，重点研究混合物中橡胶含量的影响。评估既包括系统在稳态（稳态）振动下的行为，也包括其在地震事件期间的非稳态动态响应。

### 结论

在本研究中，开发了一种综合的随机多尺度方法，以研究土壤颗粒随机分布对非线性土-结构相互作用系统稳态谐波响应的影响。该方法集成了离散元法来确定振幅相关的刚度和阻尼随机分布。更具体地说，为了考虑土壤行为固有的变异性，利用DEM进行了一项蒙特卡罗分析来生成

### 数据和代码可用性

支持本研究发现的处理数据集和分析脚本公开可获取于：https://doi.org/10.5281/zenodo.21453515

### 未引用参考文献

### CRediT作者贡献声明

- **F. Maksimov**：可视化、验证、软件、方法论、调查、形式化分析、数据整理
- **A. Contento**：撰写—审阅与编辑、撰写—初稿、监督、项目管理、方法论、调查、资金获取
- **B. Briseghella**：撰写—审阅与编辑、撰写—初稿、监督、资源、项目管理、调查
- **P. Cacciola**：撰写—审阅与编辑、撰写—初稿、监督、方法论

F. Maksimov | A. Contento | B. Briseghella | P. Cacciola