热力学正则化循环神经网络框架用于耦合弹塑性损伤：基于不变量的公式化与有限元实现

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：A thermodynamics-regularized recurrent neural network framework for coupled elastoplastic damage: Invariant-based formulation and finite element implementation

　　

• TRNN框架将材料点学习连接到隐式有限元分析。
• 混合策略将自由能应力恢复与热力学正则化连接起来。
• 不变循环状态考虑了压力敏感性和历史依赖性。
• 训练后的TRNN以Fortran实现，并作为Abaqus的UMAT部署。
• 材料点和隧道测试评估了外推能力和有限元鲁棒性。

**引言**

在复杂应力路径作用下，准脆性地层材料表现出显著的历史依赖性和强耦合的变形机制，包括摩擦非弹性变形、硬化-软化转变、不可逆体积和偏应变累积、刚度退化以及微裂纹引起的损伤演化 [1], [2]。在统一的本构框架内描述这些过程，一直是岩土力学和计算力学中的一项长期挑战。传统的唯象模型通常通过预定的屈服函数、塑性势、硬化律和损伤演化方程来表示材料行为，其相关参数根据实验观测进行标定。这些模型提供了清晰的力学结构和物理解释，但随着内变量和耦合塑性-损伤机制的引入，其构建和参数识别变得日益复杂。此外，其预测能力仍然依赖于先验假设的本构形式，当实际材料响应超出这些假设所代表的范围时，其预测能力可能下降 [3], [4], [5]。

弹塑性损伤理论为描述准脆性材料中的不可逆变形和微裂纹引起的退化提供了经典框架 [6], [7]。现有的损伤演化律要么基于可测量指标（如波速、声发射和累积塑性应变）的经验方法开发 [8], [9], [10], [11], [12]，要么源自不可逆热力学、统计理论和断裂力学 [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]。自由能表述、强度准则和裂纹演化的细观力学描述进一步推动了准脆性岩石的本构建模 [21], [22], [23]。然而，对耦合塑性、损伤和多尺度机制的日益精细的描述通常需要更多的内变量、演化关系和材料参数 [24], [25]。对于难以通过显式解析形式便捷表示的材料响应，数据驱动的本构建模提供了一条补充途径，直接从实验或数值信息中学习复杂的非线性关系。

因此，机器学习已成为本构建模的活跃方法 [26]。神经网络可以近似非线性应力-应变映射，并已应用于金属、橡胶、混凝土、岩石和其他材料体系 [27], [28], [29], [30], [31], [32]。对于路径相关材料，循环架构尤其具有吸引力，因为当前响应不仅取决于当前状态，还取决于先前的加载历史和演化的内部状态 [33]。例如，Shi等人 [34] 使用三轴压缩序列训练了LSTM模型，并将其应用于岩石的有限元模拟。然而，纯数据驱动的神经本构模型仍然对训练数据覆盖度敏感，物理解释性有限，并且在超出标定域进行外推时经常失去鲁棒性 [35]。这些局限性在有限元分析中变得尤为关键，因为局部本构误差会直接进入增量应力更新和整体平衡迭代。

纳入基本力学原理，特别是连续体力学，为在数据驱动学习中引入本构结构提供了自然手段 [36]。在内变量热力学中，亥姆霍兹自由能表征材料能量的可恢复部分，而机械耗散率则考虑塑性变形和损伤演化等不可逆过程 [37]。这种结构允许从学习的自由能函数导数中恢复应力，而不是将其作为独立的网络输出处理。随后可以通过结构化方式或通过训练目标将能量耗散关系和克劳修斯-杜亥姆不等式纳入，以限制学习的本构响应 [38], [39]。

最近的热力学引导神经本构模型大致遵循两种互补策略。一类采用架构设计、本构势和数学限制，通过构造方式满足选定的物理关系。Masi等人 [40] 提出的基于热力学的人工神经网络（TANN）在此方向上建立了有影响力的范式。物理增强神经网络（PANN）[41] 和本构人工神经网络（CANN）[42], [43] 进一步探索了客观性、材料对称性、凸性和热力学一致性的结构化强制实施，并扩展到屈服和硬化表示 [44]、大应变粘弹性 [45] 以及基于Abaqus的本构部署 [46]。在不可逆演化通过凸耗散势或广义标准材料结构构造的公式中，可以获得强有力的先验热力学保证，但相应的非弹性演化可接受形式会受到事先引入的理论结构的限制。

互补策略在数据驱动内部状态演化方面保留更大灵活性，同时通过可微本构关系和基于损失的正则化纳入热力学信息。Vlassis和Sun [47] 通过Sobolev训练将热力学信息引入弹塑性本构学习，而He和Chen [48] 采用循环架构编码历史依赖内部状态，同时纳入热力学关系。随后，相关方法已针对颗粒、多尺度和其他历史相关非弹性材料开发 [49], [50], [51], [52], [53]。与不可逆演化通过耗散势或显式演化结构规定的构造性公式相比，这些方法允许从数据中更直接地推断内部表示。相应的权衡是，除非引入更强的结构限制，否则热力学可接受性通过正则化而非构造方式得到保证。因此，在解释神经本构模型的物理保证时，区分结构约束与基于损失的正则化至关重要。

本研究开发的热力学正则化循环神经网络（TRNN）结合了这两个层次的本构结构。无应力-自由能共轭性通过构造方式施加，即通过亥姆霍兹自由能对应变的导数恢复应力，而局部能量耗散关系和非负耗散条件作为软热力学正则化器引入。历史依赖内部状态演化通过门控循环单元（GRU）从加载序列中学习，而不是通过经典流动法则、损伤演化律或耗散势规定。因此，TRNN既不同于无约束的循环应力预测器，也不同于施加完整不可逆演化结构的构造性公式。其方法论贡献不在于基于自由能的应力恢复、循环历史编码或热力学正则化中的任何一个单独要素，而在于将这些要素与压力敏感不变量表示集成为统一的准脆性地层材料耦合弹塑性损伤行为的历史相关本构框架。

然而，仅凭准确的材料点预测不足以确立神经本构模型作为隐式有限元分析的实用材料律。神经本构模型越来越多地与有限元求解器耦合 [54], [55], [56], [57], [58]，但具有热力学结构的循环模型引入了额外的数值要求。张量型有限元状态必须映射到神经网络使用的本构表示，并在神经更新后一致重建。历史依赖变量必须在增量计算过程中进行管理，且Abaqus/Standard要求UMAT通过DDSDDE返回材料雅可比矩阵，该矩阵能够充分表征演化的局部响应，以支持整体牛顿-拉夫森迭代。这些问题直接决定了学习的材料律从均匀训练路径转移到空间非均匀应力状态和许多积分点处的演化历史时，是否能保持鲁棒性。

鉴于此背景，本研究解决两个紧密相关的问题。第一个问题涉及如何将数据驱动的历史依赖内部状态演化与选定的热力学结构相结合，以表征耦合弹塑性损伤响应，而不规定完整的塑性损伤演化方程组。第二个问题涉及如何将这种循环本构表示转化为适合隐式有限元分析的增量材料更新，以及如何在材料点训练域之外评估其预测性、热力学特性和数值行为。压力敏感的准脆性地层材料为考察这些问题提供了严苛的环境，因为摩擦塑性、损伤演化和加载历史之间相互强烈作用。

为此，本研究开发了一个TRNN框架以及从材料点学习到隐式有限元分析的计算工作流程。对于本文考虑的各向同性压力敏感材料，本构响应在应力-应变不变量空间中进行表述。GRU编码有限加载历史并表征内部状态演化，而两个多层感知机近似亥姆霍兹自由能和机械耗散率。应力从学习的自由能中恢复，热力学正则化通过局部能量耗散关系和非负耗散条件引入。训练后，循环和自由能网络以及应力恢复过程以Fortran重建，并通过UMAT在Abaqus/Standard中实现。张量空间和不变量空间之间的正向和反向映射提供应力更新接口，而基于摄动的数值雅可比矩阵近似通过DDSDDE所需的材料雅可比矩阵。该框架使用来自两个弹塑性损伤参考模型的合成数据集和实验室三轴压缩数据进行评估，并以纯数据驱动的RNN作为基线。合成数据集能够直接评估内变量和热力学量，而实验数据集代表这些量保持隐性的不完全观测设置。进一步使用单元模拟和代表性隧道开挖边界值问题来考察增量敏感性、热力学行为、有限元收敛性、网格依赖性和计算效率。结果表明，与数据驱动基线相比，外推鲁棒性和总体耗散行为得到改善，同时稳定转移到隐式有限元分析。在最精细的隧道网格上，Mises应力、竖向位移和微观损伤的路径相对误差均低于0.1%。综合而言，这些结果展示了一条将热力学正则化本构学习从材料点数据转移到隐式有限元边界值分析的计算路径。

本文其余部分组织如下：第2节介绍内变量热力学框架。第3节介绍TRNN架构和训练策略。第4节描述Fortran重建和Abaqus UMAT实现。第5节呈现材料点和有限元评估，随后讨论本构表示、数值性能和模型适用范围。

**第2节 内变量弹塑性损伤的热力学约束**

本节介绍用于正则化准脆性地层材料耦合弹塑性损伤神经本构模型的热力学正则化。该公式在内变量框架下，于等温、小变形和率无关条件下推导。在此设置中，克劳修斯-杜亥姆不等式简化为非负机械耗散的要求。亥姆霍兹自由能表示为总应变和

**第3节 热力学正则化循环神经网络架构**

本节介绍用于表征准脆性地层材料耦合弹塑性损伤的热力学正则化循环神经网络（TRNN）架构。该模型遵循第2节介绍的内变量热力学设置。循环神经网络编码历史依赖的内变量演化，而两个多层感知机近似亥姆霍兹自由能函数和机械耗散率。应力从

**第4节 训练后神经网络的有限元部署**

PyTorch提供自动微分和内置优化器，使其成为训练TRNN的便捷环境。当训练后的模型作为Abaqus中的本构更新部署时，会出现一个实际困难，因为UMAT接口以Fortran编写，无法直接重用Python计算图。因此，有限元部署需要在

**第5节 数值验证与有限元评估**

本节评估所提出的TRNN，从材料点本构学习到有限元部署。考虑三个数据集：两个来自已建立的弹塑性损伤模型的合成数据集，以及一个来自实验室三轴压缩试验的实验数据集。前两个数据集分别使用Chen等人 [75] 的宏观损伤模型和Zhu等人 [66] 的微观损伤模型生成。加载路径和边界

**第5节 预测精度与本构表示**

GRU作为历史依赖的内变量更新器。其门控机制中，重置门控制多少过去信息进入候选状态，更新门控制保留多少前一个隐藏状态，直接支持准脆性地层材料中塑性变形和损伤演化的路径依赖特性。当内变量、亥姆霍兹自由能和耗散率在5.1节和5.2节中均由合成数据监督时

**结论**

已开发了一个热力学正则化循环神经网络（TRNN）框架，用于准脆性地层材料的耦合弹塑性损伤行为，并将学习的本构模型从材料点预测扩展到Abaqus/Standard中的隐式有限元分析。该公式结合了基于不变量的表示、循环历史编码以及亥姆霍兹自由能和机械耗散的神经网络表示。应力从

**CRediT作者贡献声明**

Zhao Lunyang：写作—审查与编辑、监督、方法论、调查研究、资金获取、形式化分析、概念化。
Yin Nuo：写作—原稿、可视化、验证、软件、调查研究。
Lv Zhaomin：写作—原稿、可视化、验证、方法论、调查研究、形式化分析、概念化。

梁浩军：撰写—初稿，可视化，验证，软件，调查。

利益冲突声明

作者声明，他们不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争性财务利益或个人关系。

致谢

本研究得到广东省基础与应用基础研究基金（项目编号：2025A1515530009、2026A1515011231）、亚热带建筑与城市科学国家重点实验室（项目编号：2025ZB12）以及广东省科学技术协会青年科技人才支持计划（项目编号：SKXRC2026736）的资助。

赵伦扬 | 殷诺 | 吕兆敏 | 梁浩军