引言
无网格方法已被引入作为克服有限元法（FEM）局限性的有效方法 [1,2]。这些方法的主要优势是表示计算模型的复杂几何形状而不依赖于网格。从 Monaghan 提出的光滑粒子流体动力学（SPH）方法 [3] 开始，多年来提出了各种其他无网格方法，包括无单元伽辽金法（EFGM）[4]、再生核粒子法（RKPM）[5,6] 和物质点法（MPM）[7]。在各项研究中，提出了一种称为有限球法（MFS）的无网格方法，用于使用一组球体离散化模型几何形状 [[8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20]]。在 MFS 中，通过在广义 d 维球面上采用径向函数来实现离散化，其中球体的相对取向和重叠区域由其半径和中心坐标确定。然而，由于 MFS 利用基于伽辽金弱形式的系统代数方程并采用高阶径向函数（如谢泼德单位分解函数），需要大量的积分点来数值评估系统矩阵；因此，MFS 中矩阵积分的计算效率相对较低。
基于伽辽金弱形式的无网格方案的计算效率对数值积分构成了重大挑战。因此，进行了广泛的研究以分析和改进各种伽辽金无网格方法中的数值求积 [[21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32]]。近期发展引入了针对无网格计算中出现的困难被积函数定制的专用积分技术。梯度多项式平滑积分通过将多项式平滑的梯度与显式求积相结合，提高了伽辽金无网格方法的一致性和收敛性 [33]。一种混合高斯 - 勒让德技术使得能够准确有效地评估无单元边界积分方程方法中的奇异积分 [34]。此外，在 MFS 的情况下，最初开发了一种增强的高斯求积法则 [8]，并提出了一套用于圆盘、扇形和透镜形圆盘重叠区域的积分规则 [35]。随后，制定了一种分段高斯求积法则 [36]，证明这种积分方案比以前的方法效率高三倍。然而，这仅部分解决了 MFS 中数值积分的计算低效问题。
改进高级数值方案中的数值求积通常具有挑战性，因为方案特定的积分程序和复杂的被积函数使得过程严重依赖专家知识；机器学习是揭示这些问题潜在模式的有前景的替代方案。例如，Cheng 等人 [37] 使用神经网络分类器预测边界元方法中高斯点的最小数量，而 Chinchkar 等人 [38] 应用深度学习根据单元几何形状和材料属性估算最优高斯点。Teijeiro 等人 [39] 采用具有自适应梯度下降的动态规划来优化等几何分析中的求积。超越基于单元的方法，Ying 等人 [40] 提出了一种基于机器学习的无网格积分方法，其中模型通过变分一致性条件学习近边界求积权重，显著提高了精度和效率。
这些进展可能受到 Oishi 和 Yagawa [41] 开创性工作的启发，他们引入了一种基于深度学习的框架来增强 FEM 中的高斯求积。他们提出了两个神经网络模型：(1) 一个分类模型，估算获得畸变三维单元准确单元刚度矩阵所需的高斯点最小数量；以及 (2) 一个两阶段确定模型，通过减少所需的积分点数量来估算积分点的最优权重，以高效计算刚度矩阵。基于这一想法，作者首先开发了一种基于监督学习的学习型高斯求积（L-GQ），用于增强型实体有限元 [42]。在该方法中，局部系统矩阵积分被表示为单层网络的前向传播，其中高斯权重的校正因子被视为可训练参数。所得的 L-GQ 在增强型有限元分析中用更少的积分点提高了矩阵积分精度。随后，L-GQ 被扩展到基于连续力学的具有截面翘曲的梁有限元 [43]。在该框架中，校正因子在局部截面坐标系中学习，并通过坐标变换重用于具有相同截面的单元，提高了涉及翘曲的梁分析的鲁棒性和效率。尽管如此，将 L-GQ 扩展到具有任意几何适用性的无网格方法仍然具有挑战性，因为无网格近似涉及非多项式形状函数、重叠支撑域和方案特定的积分域。
在本研究中，我们提出了一种用于 MFS 系统矩阵积分的元启发式优化高斯求积（MO-GQ）。数值求积的校正因子首先由待优化的设计变量表示。在优化过程中，多个候选设计变量集被应用于选定测试问题的系统矩阵积分。每个候选集通过定义的目标函数从产生的解决方案中进行评估。然后将最优校正因子嵌入原始求积规则中获得 MO-GQ。校正因子可以重用于使用 MFS 离散化、一阶多项式覆盖、优化期间采用的球体布局和分段求积进行的分析。数值算例涵盖了平面应力和平面应变条件下的二维静力学问题、非均匀介质中的二维平面应变动态波传播问题，以及具有复杂几何形状的三维静力学问题；在这些情况下，MO-GQ 始终在相同的积分点数下提高了相比标准高斯求积（S-GQ）的精度。
在接下来的章节中，我们将简要回顾 MFS 的公式化。第 3 节介绍了 MO-GQ 的概念，并详细说明了用于确定其最优权重的优化程序。第 4 节调查了所得 MO-GQ 的基准问题的数值性能。第 5 节展示了说明性数值算例——包括二维和三维的静力学和动力学情况——以证明 MO-GQ 的鲁棒性、实际有效性和计算效率。最后，结论在最后部分总结。
