一种面向具有多空间尺度的非均匀结构的高效非线性热力耦合仿真的阶梯三尺度计算方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A higher-order three-scale computational method for efficient nonlinear thermo-mechanical coupling simulation of heterogeneous structures with multiple spatial scales

　　

摘要

涉及两个空间尺度的经典多尺度方法在模拟具有复杂三尺度空间构型的非均质结构时面临重大挑战。本研究提出了一种创新的高阶三尺度（HOTS）计算方法，旨在准确且高效地求解具有多空间尺度和温度相关材料特性的非均质结构的瞬态非线性热-力耦合问题。首先，通过在宏观-介观与介观-微观尺度之间进行递归双尺度分析，建立了包含高阶修正项的详细宏观-介观-微观关联模型，从而能够对具有复杂三尺度构型的非均质结构的温度相关非线性热-力学行为进行高精度分析。局部误差分析在数学上阐明了HOTS计算模型的均衡性质，赋予其高计算精度。此外，提出了一种包含离线阶段和在线阶段的两阶段数值算法，以高效模拟具有三级空间尺度的非均质结构的非线性热-力学响应，并准确捕捉其在微观尺度的高度振荡信息。最后，通过代表性数值实验证明了所提出的高阶三尺度计算方法具有高计算效率、高数值精度和低计算成本。可以总结的是，这种可扩展且鲁棒的HOTS计算方法为实际应用中大规模非均质结构的非线性多物理场模拟提供了可靠的数值工具。

引言

由于相较于传统均质材料具有优越的物理和力学性能，具有分级构型的复合材料得到了广泛应用，涵盖航空、航天、机电工程和土木工程等多个领域 [1], [2], [3], [4]。同时，随着材料科学与技术取得重大进展，具有复杂多尺度特征的非均质结构被设计和制造出来，这些结构展现出复杂的多尺度构型 [5], [6], [7], [8], [9]，如图1所示。特别是在航天领域，非均质结构通常承受复杂的热-力耦合环境，其中这些复合材料的物理和力学性能随温度变化而显著改变，导致材料性能表现出显著的非线性 [1], [2], [3], [4]。此外，在超导领域，磁化过程中的显著温度变化会导致MgB?超导块体的比热容和热导率发生剧烈变化 [10]。在这种情况下，采用被研究对象不变的材料特性将在多尺度模拟中引入显著的不准确性。因此，开发有效的数值方法对具有复杂三尺度构型的复合材料结构进行非线性多尺度计算具有重要意义。

众所周知，准确分析和评估非均质结构中的热-力耦合行为需要求解由具有高度振荡和急剧不连续系数的偏微分方程（PDE）控制的初始-边值问题。然而，解决这些问题的传统数值方法面临两个基本挑战：（1）它们需要禁止性精细的网格来解析非均质结构在最小尺度上足够振荡的信息，导致计算需求过大。（2）具有复杂多尺度特征的复合材料结构的材料系数在不同尺度上往往显著变化，给经典数值方法的收敛性和稳定性带来严峻挑战。此外，一些数值技术，包括用于线性系统的Laplace变换，由于温度相关材料特性（非线性方程系数）的原因，不适用于非线性热-力耦合系统的理论分析和数值模拟。因此，建立一种高效的计算方法来模拟具有空间三尺度分级的复合材料结构的瞬态非线性热-力学问题具有巨大的工程价值和科学意义。

为了克服复合材料结构多尺度本质固有的挑战性问题，科学家和工程师提出了许多多尺度方法，以保持效率和精度之间的平衡。渐近均质化方法（AHM）[12]最初由Bensoussan和Oleinik等人基于严格的数学理论开发。AHM的核心思想是用具有均质（均匀）系数的方程在数学上替换具有振荡系数（特别是空间上的）的方程，同时在物理上建立周期非均质材料与相应均质材料之间的等效性，这可以有效简化复杂的多尺度问题并提供可靠的宏观模型。应该提到的是，复合材料的有效性能（均质系数）是基于均质化策略，通过对代表性体积元（RVE）或单元胞（UC）求解精细尺度问题来计算的。在上述AHM理论原理的基础上，研究人员开发了多种多尺度方法来对具有分级构型的复合材料的多尺度响应进行有效计算和评估，例如数值均质化方法（NHM）[13]、多尺度有限元方法（MsFEM）[14], [15], [16]、非均质多尺度方法（HMM）[17]、变分渐近多尺度方法（VAMM）[18]、局部正交分解方法（LOD）[19]、多尺度特征元方法（MEM）[20]、计算均质化方法（CHM）[21]、渐近守恒（AP）方案 [22]和多尺度降阶基方法（MRBM）[23]等。为了提高多尺度方法在工程应用中的计算精度，Cui等人建立了一系列二阶双尺度（SOTS）和高阶三尺度（HOTS）方法。通过应用高阶单元胞函数及相应修正项，这些方法能够精确捕捉组成材料内部的局部物理和力学行为，为非均质结构提供了可行的多尺度计算框架 [24], [25], [26], [27], [28]。据我们所知，多尺度方法在有限研究中用于解决复合材料结构的非线性多尺度问题。在参考文献 [29], [30] 中，Gaka和Chung等人研究了具有温度相关特性的周期复合材料结构的稳态热方程，并特别强调了评估具有温度相关行为的层状复合材料的有效热导率。Abdulle及其同事开发了一种创新的降阶基有限元非均质多尺度方法（RB-FE-HMM），用于一系列非线性均质化椭圆问题，该方法可以大幅降低参考文献 [31], [32] 中有限元非均质多尺度方法（FE-HMM）的计算需求。Sengupta等人提出了一种先进的双尺度公式，用于采用有限元方法在宏观和微观尺度上进行完全耦合的连续体力学热-力学分析，已成功用于处理参考文献 [33] 中的强耦合问题。在参考文献 [34] 中，研究人员提出了一种源自局部正交分解的强非线性单调方程的多尺度方法，所提出的新方法给出了直到线性化误差的最优先验误差估计。在参考文献 [35] 中，研究人员开发了一种双尺度热-力学耦合弹粘塑性本构模型，用于预测金属材料在单调和循环载荷下的单调变形、循环变形和温度场演化。在参考文献 [36] 中，研究人员建立了一种基于域分解的非线性多尺度问题的高效方法，该方法源自流形学习技术并利用切空间。在参考文献 [37] 中，提出了一种梯度增强的计算均质化过程，在一般非线性框架内允许对微观组织尺寸效应进行建模。

在参考文献 [38], [39], [40] 中，研究人员分别提出了一种用于经历微观力学损伤的纤维增强复合材料的三维均质化连续损伤力学（HCDM）模型、一种用于准确预测任意二维周期微观结构材料中失效的计算高效数据驱动多尺度策略，以及一种用于研究开裂行为的单元间断裂模型。此外，Dong等人提出了一种高阶双尺度计算模型及相关高效计算算法，用于复合材料结构的非线性问题，其计算精度高于均质化方法和低阶双尺度方法 [25], [41], [42]。但上述研究主要集中在具有双尺度空间构型的非均质结构中的非线性热-力学问题，而对于三尺度分级系统则不适用。双尺度方法的关键局限性表现在两个主要方面：首先，将传统双尺度方法直接扩展到具有三级空间构型的复合材料结构需要在介观尺度上求解辅助单元胞问题，这需要代价高昂的计算工作。其次，现有的双尺度方法无法充分解析具有三尺度空间构型的复合材料结构的微观尺度振荡信息。目前，在研究具有超过两个尺度空间构型的复合材料结构中的温度相关非线性热-力耦合问题方面仍存在显著的研究空白。

为了解决双尺度方法的缺陷，已有一些三尺度计算方法被提出，以高效模拟具有三尺度空间构型的非均质结构的材料行为。在参考文献 [12], [43], [44], [45], [46] 中，提出了迭代均质化方法，分别用于评估具有三级空间非均质性的复合材料的热传递性能、具有随机分布夹杂物的早期龄混凝土、具有完美热接触和界面热阻的非均质材料，以及三尺度有序阵列。在参考文献 [47] 中，提出了一种多尺度湿-热-力学建模框架来处理混凝土中由干燥收缩引起的损伤。尽管这些三尺度方法能够预测具有三级空间尺度的非均质结构的宏观热导率参数，但由于其不恰当的假设（介观坐标 y=x/ε 和微观坐标 z=y/ε=x/ε2），它们无法完全解耦微观尺度和介观尺度之间的尺度耦合。因此，Cui及其团队开创了一种高阶三尺度（HOTS）计算框架，并基于创新假设（介观坐标 y=x/ε? 和微观坐标 z=ε?y/ε?=x/ε?）开发了相应的多尺度计算算法 [48]。在该新型三尺度计算框架的基础上，不同的高阶三尺度方法被开发用于力学问题 [49]、耦合导热-辐射问题 [50]、热-力学耦合问题 [51]、流-力耦合问题 [52] 和特征值问题 [53] 的高精度高效三尺度模拟。所得结果清楚表明，所提出的高阶三尺度方法能够准确获取非均质结构在最小尺度上的基本振荡行为，从而满足实际工程应用所需的高精度数值解要求。值得注意的是，现有的高阶三尺度方法表现出显著局限性：（1）所提出的计算模型未能考虑非均质结构非线性热-力耦合模拟中的温度相关材料特性。（2）高效算法对于三级空间尺度的大规模复合材料结构的高保真模拟是必需的。总之，尽管过去二十年来这些非线性多尺度问题因其深刻的理论意义和实际工程重要性而获得了越来越多的研究关注，但专门针对具有温度相关特性的三尺度非均质结构中非线性耦合热-力学行为的有效模拟和分析的研究仍然明显不足。

本文致力于开发一种高效高精度的三尺度计算方法，用于研究具有空间三级构型和温度相关特性的复合材料结构的时间相关热-力学问题。首先，通过采用宏观尺度和介观尺度之间的SOTS模型，精确获取具有三尺度空间构型的复合材料结构的宏观和介观非线性热-力学响应。接下来，进一步将所提出的SOTS模型应用于介观单元胞函数，以推导低阶和高阶微观单元胞函数及相应的微观修正项。通过自上而下的逐步SOTS建模，设计了一种创新的高阶宏观-介观-微观关联模型，用于非均质结构的非线性耦合热-力学计算。随后，为了评估新开发的HOTS模型的数值精度，从逐点意义上推导了局部误差分析。最后，提出了一种有效的两阶段数值算法来减少大量的计算资源，因为直接使用经典数值方法进行三尺度模拟需要极其精细的网格来捕捉微观尺度的振荡行为。在该两阶段算法中，介观单元胞函数和微观单元胞函数通过有限元方法（FEM）在离线阶段进行计算。然后在在线阶段，宏观尺度的均质化方程使用混合有限元-有限差分方法（FEM-FDM）和解耦方法进行计算，而高阶三尺度解则通过经典插值方法进行计算。

本文的轮廓介绍如下。第2节建立了具有温度相关特性的非均质结构中温度相关非线性热-力耦合问题的控制方程。接下来，我们通过逐步高阶双尺度分析系统建立了一种创新的三尺度渐近模型，该模型能够精确捕捉非线性多尺度复合材料中的微观振荡行为。此外，给出了逐点意义上的局部误差分析，在数学上阐明了HOTS计算模型的均衡性质。第3节开发了一种高效的两阶段数值算法，用于模拟三尺度非均质结构中的非线性温度相关热-力耦合问题。该算法包含介观和微观尺度的辅助单元胞函数的离线计算，以及宏观均质化问题和HOTS解的在线模拟。第4节通过若干数值实验验证了所提出的高阶三尺度模型和两阶段算法的精度和计算效率。

本文在第5节以讨论和总结性评述作为结尾。

**全文约定**

在整个研究中，采用爱因斯坦求和约定来简化具有重复指标的表达式。

**问题设置与控制方程**

受多尺度理论和热-力学耦合理论的启发，针对具有三级空间层级的非均匀结构，其非线性热-力学问题的控制方程描述如下，其中包含温度相关的材料系数[3]、[12]、[41]：

$\begin{cases} \rho^{\zeta_1\zeta_2}(\mathbf{x},\theta^{\zeta_1\zeta_2})\,c^{\zeta_1\zeta_2}(\mathbf{x},\theta^{\zeta_1\zeta_2})\,\dfrac{\partial\theta^{\zeta_1\zeta_2}(\mathbf{x},t)}{\partial t} - \dfrac{\partial}{\partial x_i}\left(k^{\zeta_1\zeta_2}_{ij}(\mathbf{x},\theta^{\zeta_1\zeta_2})\,\dfrac{\partial\theta^{\zeta_1\zeta_2}(\mathbf{x},t)}{\partial x_j}\right) + \varpi^{\zeta_1\zeta_2}_{ij}(\mathbf{x},\theta^{\zeta_1\zeta_2})\,\dfrac{\partial}{\partial t}\left(\dfrac{\partial u^{\zeta_1\zeta_2}_i(\mathbf{x},t)}{\partial x_j}\right) = h(\mathbf{x},t), & \text{在}\;\Omega\times(0,T) \\[6pt] \rho^{\zeta_1\zeta_2}(\mathbf{x},\theta^{\zeta_1\zeta_2})\,\dfrac{\partial^2 u^{\zeta_1\zeta_2}_i(\mathbf{x},t)}{\partial t^2} - \dfrac{\partial}{\partial x_j}\Big[C^{\zeta_1\zeta_2}_{ijkl}(\mathbf{x},\theta^{\zeta_1\zeta_2})\,\dfrac{\partial u^{\zeta_1\zeta_2}_k(\mathbf{x},t)}{\partial x_l} + \dots\Big] = \dots \end{cases}$

（注：由于原文中公式被截断，此处仅翻译可见部分。）

**两阶段数值算法**

本节提出了一种高效的两阶段数值算法，用于有效模拟三尺度非均匀结构中依赖于时间的非线性温度相关热-力学耦合行为。鉴于单元胞体函数依赖于温度，我们首先在离线阶段计算代表性温度点处的单元胞体函数和均匀化材料参数。随后，在在线阶段，宏观……（原文截断）。

**数值实验**

为验证HOTS方法的计算成本、计算效率和数值精度，本节给出了四个数值实验。所有数值算例均使用FreeFem++软件在配备16.0 GB内存和2.20 GHz Intel Core i7-8750处理器的HP台式工作站上完成。鉴于几乎不可能模拟非线性三尺度多物理问题(1)的精确解，因此在高度精细网格上计算精确有限元解……（原文截断）。

**结论与未来工作**

本文提出了一种创新的更高阶三尺度（HOTS）计算方法，用于有效模拟具有三级空间层级的非均匀结构的非线性热-力学耦合问题。本工作的主要贡献总结如下。首先，我们在介观-微观和宏观-介观尺度之间通过递归双尺度分析建立了高精度的HOTS计算模型。其次，对所提出的HOTS模型进行了局部误差分析……（原文截断）。

**CRediT作者贡献声明**

- 董浩：撰写–审阅与编辑、方法论、经费获取
- 王艳琪：撰写–初稿撰写、可视化
- 凌胡佳乐：可视化
- 马强：方法论
- 崔俊志：方法论
- 聂玉峰：方法论

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

董浩 | 王艳琪 | 凌胡佳乐 | 马强 | 崔俊志 | 聂玉峰

西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安 710071，中国