一种针对具有未知幂次和复杂增长条件的随机时滞非线性系统的通用鲁棒跟踪控制方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A universal robust tracking control approach for stochastic time-delay nonlinear systems with unknown powers and complex growing conditions

　　

摘要

众多实际系统可以用非线性系统来描述。然而，这类系统经常受到随机环境扰动、时滞效应和未知幂次的影响，使得控制问题更具挑战性。本文针对涉及时变时滞、未知幂次和复杂非线性增长条件的随机非线性系统，研究其跟踪控制问题。通过构造合适的李雅普诺夫-克拉索夫斯基（L-K）泛函并提出一种通用鲁棒控制算法，我们通过递归设计过程构造了一个动态跟踪控制器。所设计的控制器保证了闭环系统具有唯一解，且所有信号在概率意义下有界。此外，跟踪误差可以保持在所需的精度范围内。数值和物理实例验证了所提方法的有效性。

引言

在实际工程应用中，非线性特性广泛存在于众多系统中，如化学反应系统、机器人系统和多智能体系统[1]、[2]、[3]。这给此类系统的控制带来了相当大的挑战。在过去几十年中，人们为非线性系统开发了许多重要的控制策略，如最优控制[4]、跟踪控制[5]和自适应控制[6]。近年来，研究人员考虑了一般随机非线性系统（SNSs），并开发了许多优秀的控制算法。特别是，文献[7]构造了一个无记忆输出反馈控制器，使得下三角系统稳定。文献[8]的作者提出了针对SNSs的指定时间稳定策略并实现了有限时间收敛。文献[9]提出了具有输出约束的SNSs的有限时间稳定方法。然而，对于SNSs仍有许多具有挑战性的问题有待解决。

在实际工程中，系统输出需要跟踪目标信号以实现期望的轨迹。因此，学者们考虑了跟踪控制问题并开发了许多出色的算法。文献[10]提出了一种输出反馈控制算法来解决非严格反馈SNSs的跟踪问题。文献[11]利用有限时间算法和间歇反馈控制方法解决了SNSs的跟踪问题。对于具有快时滞的非线性系统，文献[12]提出了一种直接模糊自适应技术来解决跟踪问题。此外，文献[13]提出了针对具有执行器故障的未知SNSs的基于强化学习的跟踪容错控制。然而，为具有不同结构和多种干扰因素的SNSs设计有效的跟踪控制方案仍然具有挑战性。

时滞现象是系统工程中常见的有害因素，可能导致大多数控制方法对SNSs失效。为解决这一问题，学者们开发了L-K和李雅普诺夫-拉祖米欣（L-R）方法，分别针对慢变时滞和快变时滞解决各种问题。对于具有时滞的随机非线性系统，文献[7]、[14]、[15]中适当地设计了L-K泛函和时滞无关控制器。文献[16]提出了一种改进的L-K泛函来补偿时滞项，并解决了具有奇有理幂次的SNSs的控制问题。对于具有未知输入磁滞的具有时滞的随机非线性系统（TDSNSs），文献[17]提出了一种事件触发预定时间控制方案以保证系统的预定时间稳定性。文献[18]利用Jensen不等式和Markov不等式，为具有脉冲的TDSNSs构造了一个稳定控制器。但对于具有复杂时滞非线性函数的TDSNSs，许多现有方法变得无效。因此，研究具有复杂时滞非线性函数的系统有利于系统控制。此外，TDSNSs的幂次项也是重要的影响因素。在锅炉系统、机电系统和液位系统等实际工程应用中，此类幂次项可以有效反映系统特性。对于具有低阶幂次的SNSs和具有高阶幂次的SNSs的控制已有很多成果，参见文献[14]、[19]、[20]、[21]。对于具有未知幂次的系统，也已报道了一些控制结果。具体而言，文献[22]通过采用未知幂次上界，构造了一个自适应神经控制器来解决具有互连子系统的系统的跟踪问题。文献[23]提出了一种分散状态反馈控制器，并解决了具有时变幂次的SNSs的最优稳定问题。文献[24]为具有时变幂次的非线性系统提出了一种基于动态增益的鲁棒自适应控制方法。然而，对于更一般的TDSNSs的控制仍缺乏有效的方法。因此，基于上述讨论，一个自然的问题油然而生：

对于受时变时滞、未知系统幂次和复杂非线性增长条件影响的随机非线性系统，我们能否为这类系统设计跟踪控制器？

本文的主要贡献如下。

1) 本文解决了一个更一般的TDSNSs的具有挑战性的跟踪控制问题。与文献[24]、[25]、[26]相比，所考虑的系统涉及时变时滞、未知幂次和更宽松的增长条件，这增加了系统的复杂度。此外，由于系统包含时滞漂移项和扩散项，在控制设计过程中会遇到多个耦合变量，这些变量难以用传统方法处理。这些因素使得所研究的问题更具挑战性。

2) 提出了一种新的控制策略来为所研究的系统构造动态跟踪控制器。本文采用动态增益并开发了一种基于动态增益的递归控制设计方法。基于该方法，成功设计了一个动态控制器以实现跟踪目标。

3) 成功构造了一种新颖的L-K泛函用于控制和稳定性分析。与传统研究不同，本文构造了一种基于动态增益的L-K泛函。通过这种方式，巧妙地解决了时滞和未知幂次带来的困难，从而可以进行控制设计和稳定性分析。

小节摘要

预备结果

考虑以下系统

dζi = (gi(ζ?i, ζ?i(t?τ(t)))?ζi+1?qi + fi(ζ?i, ζ?i(t?τ(t))))dt + hiT(ζ?i, ζ?i(t?τ(t)))dω, i=1,2,…,n?1,

dζn = (gn(ζ, ζ(t?τ(t)))?u?qn + fn(ζ, ζ(t?τ(t))))dt + hnT(ζ, ζ(t?τ(t)))dω,

y = ζ1,

其中ζ?j = [ζ1,…,ζj]T ∈ R^j；ζ?j(t?τ(t)) = [ζ1(t?τ(t)),…,ζj(t?τ(t))]T ∈ R^j, j=1,…,n?1；ζ = ζ?n = [ζ1,…,ζn]T ∈ R^n。ζi ∈ R和u ∈ R分别是系统状态和控制输入。?ζi+1?qi = sign(ζi+1)|ζi+1|^qi, ?u?qn = sign(u)|u|^qn，其中sign(·)是符号函数。ω是标准的r维维纳过程。

主要结果

主要结果总结为以下定理。

定理1

当假设1–2对系统(1)成立时，存在一个动态跟踪控制器

u = ?γ1/q?n?1(34νn1Υ?n)^(1/q?)ηn,

z?j = γj?1 max{?z2j + zj?j, 0}, zj(0) ≥ 1, j=1,…,n?1,

其中γn?1 = z1…zn?1；ηn定义于(5)；Υ?n和?j是待指定的光滑函数。控制器(8)保证系统(1)在[?τM, +∞)上具有唯一解，且闭环系统的所有信号在概率意义下有界。此外，跟踪控制误差满足

定理2

对于系统(1)，假设假设2成立，则存在一个稳定控制器使得闭环系统在概率意义下半全局稳定。

证明：类似于定理1的证明，引入变换η1 = ζ1 ? ζ*1, ζ*1 = 0, ηj = ζj ? ζ*j, ζ*2 = ?δ0β1(η1)η1, ζ*j+1 = ?δ1/q?j?1(r?j?1)βj(r?j?1, ηj)ηj，其中β1,…,βn是光滑函数；δ0 ? 1, δj(r?j) ? r1r2?rj。对于1≤j≤n?1，rj定义为动态增益 ?j = δj?1(r?j?1) max{?r2j + rjr?j(r?j?1, η?j), 0}，其中rj(0) ≥ 1为

仿真实例

实例1

考虑如图1所示的液位系统[31]，其中H1和H2分别是水箱1和水箱2的液位；Q、Q1和Q2是流量。系统描述为

dζ1 = K1/c?ζ2?^(1/2)dt + (1/5)|ζ1(t?τ(t))|^(3/4)dω

dζ2 = (?u?^(1/2) + f(ζ?2, ζ?2(t?τ(t))))dt + (1/5)|ζ2(t?τ(t))|^(3/4)dω.

其中ζ1和ζ2是系统状态，u是系统输入。f(ζ?2, ζ?2(t?τ(t))) = ?2K1/c?ζ2?^(1/2) ? K2/c(ζ1(t?τ(t)) + ζ2(t?τ(t)) + √H) + K2/c√(H/2)。

在本例中，选择系统参数q1 = q2 = 1/2, K1 = K2 = c = 1, √H = 0, yd = 0.3, τ = 0.5, q = 37/21, q? =

结论

本文研究了TDSNSs的跟踪问题。对于涉及复杂控制系数、时滞非线性项和未知幂次的系统，施加了更一般的非线性增长条件。基于L-K泛函理论和所提出的动态增益控制方法，递归设计了一个新的鲁棒跟踪控制器。它保证了所需的跟踪性能并确保系统具有唯一解。此外，所有系统信号在概率意义下有界。

作者贡献声明

刘振国：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，方法论，概念化。崔仲奥：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿，软件。徐灵榕：撰写—审阅与编辑，撰写—初稿。孙宗尧：撰写—审阅与编辑，调查研究，形式分析。朱广宇：撰写—审阅与编辑，调查研究，资金获取，形式分析。

利益冲突声明

作者声明他们没有任何已知的可能影响本文工作的经济利益冲突或个人关系。

刘振国 | 崔仲奥 | 徐灵榕 | 孙宗尧 | 朱广宇

山西大学自动化与软件工程学院，太原，030006，中国