一种用于不同厚度板材形状感知的统一逆有限元方法

《Computers & Structures》：A unified inverse finite element approach for shape sensing of plates with different thicknesses

　　

**摘要**

本文提出了一种用于不同厚度比板结构位移重构的三角形反演有限元公式。所提出的公式建立在Reissner–Mindlin板理论框架内，纳入了横向位移的三次插值、旋转场的二次插值以及厚度依赖的弯剪耦合插值。这些插值关系被重新表述为以应变为驱动的加权最小二乘反演问题，从而能够从测量或数值提取的应变信息中重构节点自由度。涉及方板和圆板的数值基准测试用于评估不同厚度比、边界条件和网格离散方案下的重构性能。结果表明，该方法能够准确复现薄板和中等厚度板的参考位移场，同时在不同的反演单元布局下保持稳定性能。与传统iMIN3单元的对比进一步证明了高阶插值和厚度依赖的弯剪耦合所实现的更高重构精度。对不同厚度悬臂板的实验验证确认了该方法能够在实际应变测量条件下提供可靠的位移重构。总体而言，所提出的三角形反演单元为具有不同厚度特性的以弯曲和横向剪切为主的板结构提供了一种有效的基于应变的形状感知方法。

**引言**

在航空航天、海洋和土木工程领域，薄板和壳体结构因其重量轻、比刚度高和高效的承载能力而被广泛应用[1], [2], [3]，例如机翼蒙皮、机身结构和船体面板。然而，这些结构在服役期间通常承受复杂载荷和环境因素的影响，可能导致累积变形或局部损伤，从而影响结构的安全性和可靠性。因此，实时监测结构状态并及时识别潜在风险已成为结构工程中的关键研究重点。在此背景下，结构健康监测（SHM）技术逐渐成为确保复杂工程结构安全运行的关键途径[4], [5], [6]。

在SHM系统中，结构变形信息被视为评估结构性能和检测潜在损伤的关键指标。与激光扫描或数字图像相关[7], [8]等直接位移测量技术相比，基于应变的变形重构方法更适合工程结构的长期在线监测。因此，从有限数量的应变测量中重构结构的全场位移或变形已成为结构形状感知研究中的重要课题，并引起了广泛关注[9], [10], [11]。

在结构形状感知领域，研究人员提出了各种基于应变或响应信息的变形重构方法。其中，Ko位移理论[12], [13]是最早应用于工程实践的方法之一。该方法通过建立应变与位移之间的解析关系，并使用布置在结构关键位置的应变传感器来重构结构弯曲变形；最初主要用于监测机翼梁型结构的变形，并已在飞机结构形状感知研究中得到验证。然而，由于该方法通常基于Euler–Bernoulli梁理论假设，主要适用于梁型结构，在描述板和壳体结构的剪切变形、扭转耦合和复杂边界条件方面能力有限，从而限制了其在复杂结构中的应用[14]。

一些研究人员提出了基于模态分析的位移重构方法[15], [16]。该方法通过建立结构模态与应变之间的映射，利用有限数量的应变测量来重构结构位移场。由于模态方法可以利用结构的固有动力学特性，在振动监测和动态响应分析方面具有优势，因此在结构健康监测领域受到了广泛关注。然而，该方法依赖于准确的模态参数识别，通常仅使用有限数量的模态来重构场；当存在局部损伤或复杂变形模式时，重构精度可能会受到影响[17]。同时，随着机器学习的最新发展，基于神经网络或深度学习的形状重构方法逐渐被应用于结构响应预测和变形重构。这些方法在处理复杂非线性关系方面具有优势，但通常需要大量训练数据，其泛化能力仍然取决于训练数据集的质量和规模[18], [19]。

在各种形状感知方法中，反演有限元法（iFEM）由于其强大的工程适用性，逐渐成为结构变形重构的核心技术之一。该方法最初由Tessler等人提出[20], [21]，其基本思想是在有限元框架内构造理论应变与测量应变之间的误差泛函，并使用加权最小二乘原理求解结构节点位移，从而重构结构的全场变形。与传统方法相比，iFEM在求解过程中不依赖外部载荷信息或材料本构关系；相反，它仅利用有限数量的应变测量来重构结构位移场，使其在复杂工况下的结构健康监测中具有高度的适用性和稳定性[22]。

自iFEM引入以来，围绕反演单元开发和重构模型适用性进行了广泛研究，逐渐形成了系统的反演有限元方法论。早期研究主要集中在基本反演单元的开发上，如三节点反演壳单元（iMIN3）[23]、四节点四边形反演壳单元（iQS4）[24]、曲面壳反演单元（iCS8）[25]和多边形反演单元[26]，为梁、板和壳体结构的形状感知提供了基本建模框架。随着研究的深入，iFEM逐渐扩展到更复杂的结构类型和应用场景，包括曲面结构[27]、复合材料结构[28], [29]和几何非线性问题[30]。除板和壳体结构外，梁型反演单元也受到了相当多的关注。Dong等人开发了一种基于梁单元的形状重构iFEM公式，用于机翼结构的形状重构[31]。Zhao等人将iFEM与等几何分析相结合，重构了变截面梁的变形[32]。Roy和Gherlone提出了具有通用截面的梁的形状感知方法论，将iFEM的适用范围扩展到非标准梁型结构[33]。最近，Zhao等人基于高阶剪切变形理论，为各向异性复合梁开发了一种几何非线性iFEM公式[34]。这些研究表明，iFEM已从经典的板/壳重构扩展到梁型和薄壁结构系统。

同时，一些研究将iFEM与等几何分析[35], [36]和无网格方法[37]等数值技术相结合，以提高复杂几何结构的变形重构精度。近年来，iFEM的应用范围逐渐从位移重构扩展到更广泛的结构健康监测任务，包括损伤识别、裂纹监测和数字孪生应用[38], [39], [40]。

随着这些方法的发展，实验验证和传感器部署策略也成为基于iFEM形状感知中的重要主题。Gherlone等人[41]综述了若干形状感知方法，并在翼形板上实验比较了它们的性能，证明了iFEM在实验室应变测量条件下的实际适用性。Oboe等人[42]将iFEM应用于复杂航空结构的形状感知，进一步展示了其在工程尺度航空航天部件中的可行性。Esposito等人[43]开发了一种混合壳-梁iFEM公式，并在复合材料加劲翼形面板上进行了实验验证，表明了iFEM用于加劲薄壁结构的潜力。除实验工作外，传感器配置也被认为是影响重构精度的重要因素。Roy等人[44]研究了板结构的有效应变传感器模式，并表明传感器的数量和布置可以显著影响重构位移场的质量。最近，Biscotti等人[45]为使用单侧应变传感器检测的薄壁结构提出了一种基于单传感器的iFEM公式，解决了在工程结构两面安装传感器的实际困难。这些研究表明，尽管iFEM已从反演单元公式、实验实现和传感器部署的角度得到了广泛验证和改进，但实际重构精度仍然受到可用应变分量、传感器可访问性以及反演单元中嵌入的力学假设的强烈影响。

尽管iFEM在反演单元开发[46]、实验验证和传感器部署策略方面取得了显著进展，但在不同厚度比板结构的重构方面仍需要进一步改进。值得注意的是，传统的Mindlin型反演单元在原则上适用于薄板和中等厚度板/壳结构。然而，对于低阶三角形反演单元，位移场和旋转场通常由线性或低阶插值函数表示，这可能会限制对弯曲曲率和横向剪切行为的准确描述，特别是在板厚度变化或仅有有限应变测量的情况下。因此，重构精度可能对单元公式、厚度比和反演网格离散变得敏感。

为克服这些局限性，本研究致力于通过高阶插值框架和厚度依赖的弯剪耦合处理来增强三角形反演单元的运动学描述能力。通过引入横向位移场的三次插值、旋转场的二次插值以及在不同厚度范围下仍然有效的耦合弯剪公式，所提出的反演单元旨在提高应变到位移重构的保真度，同时保持三角形离散化的简便性和计算效率。因此，所提出的公式旨在在已建立的iFEM框架内为薄板和中等厚度板结构提供更准确和稳健的形状感知性能。

本文其余部分组织如下。第2节介绍了三角形反演单元的理论基础和建模过程；首先基于Mindlin板理论推导板结构的应变表达式，并建立位移场和旋转场的插值函数，从而得到单元的应变-位移关系；随后，在最小二乘框架内建立反演有限元求解模型，描述单元矩阵和全局重构方程的构建，以及用于评估重构精度的误差指标。第3节使用典型板结构的数值算例验证了所提出的方法，并分析了厚度比、边界条件和网格离散方案对重构结果的影响。第4节介绍了悬臂板实验，其中光纤应变测量与光学位移测量进行了比较，以进一步验证所提出方法在实际测量条件下的重构能力。最后，第5节总结了本研究的工作，并讨论了所提出方法在结构形状感知和结构健康监测中的潜在应用。

**理论推导**

本研究所提出的方法在反演有限元法框架内建立。本三角形反演单元采用的运动学插值基于Grbac和Ribari?[46]提出的三节点Mindlin板有限元，其中横向位移场由三次多项式表示，旋转场由二次多项式表示，而弯剪耦合通过基于平衡的方法构建。

**A. 最大误差（ME）和相对最大误差（rME）**

ME是评估重构精度的关键参数之一，主要反映最大局部误差。其定义为：

ME = max(u?_ref - u?_rec)
rME = ME / u_max_ref × 100%

rME将最大局部重构误差按最大参考位移进行归一化，因此提供了基于百分比的最大局部偏差度量。

**B. 均方根误差（RMSE）和相对均方根误差（rRMSE）**

RMSE用于评估整体全局重构误差，其定义为：

RMSE = √(Σ(i=1 to n)(u?_ref - u?_rec)2 / n)
rRMSE = RMSE / u_max_ref × 100%

rRMSE将全局重构误差按最大参考位移进行归一化，允许在不同变形幅度的情况下比较重构精度。

在公式(50)、(51)中，i表示节点索引，n表示节点总数。u?_ref表示参考位移，u_max_ref是最大参考...

**数值模拟**

在本节中，使用若干典型板结构系统地验证了所提出的三角形反演单元方法的性能。建立了方板和圆板的有限元模型，考虑了不同的板厚度、边界条件和载荷工况。提取相应的节点应变数据，并将其用作反演有限元算法的输入进行位移重构。

重建精度与稳定性 实验分析 在航空航天、土木工程和大型机械系统中，许多关键承力构件可近似为悬臂板，包括机翼蒙皮、风力涡轮机叶根以及桥梁中的悬臂梁。此类结构在服役过程中承受复杂载荷，其变形直接影响气动性能和承载能力，同时也反映了结构的健康状态。因此，准确捕捉悬臂板的变形 结论 本研究提出了一种面向不同厚薄比板体形状感知的三角形逆有限元公式。基于Reissner–Mindlin板理论，横向位移采用三次插值，转动场采用二次插值，并引入了一种与厚度相关的弯曲-剪切耦合插值。所得公式在统一的逆单元内实现了对薄板和中等厚度板的基于应变的重建 CRediT作者贡献声明 曹兴健：撰写——初稿，方法论。王新：形式分析。贾江波：调查研究。梓彬：监督指导。包鸿：撰写——审阅与编辑，资金获取。 利益冲突声明 作者声明不存在已知的竞争经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文所报告的工作。 致谢 作者对所参考文献中的前人研究工作深表感激。本项目得到国家自然科学基金（批准号：52275542）、中央高校基本科研业务费专项资金（批准号：YJSJ26002）以及西安电子科技大学研究生创新基金的资助。 曹兴健|王新|贾江波|梓彬|包鸿