采用等几何比例拓扑优化（IGA-PTO）与基于能量的均质化方法的复合蜂窝材料先进设计

《Computers & Structures》：Advanced designs of composite cellular materials using isogeometric proportional topology optimization (IGA-PTO) and energy-based homogenization method

　　

# 摘要

复合蜂窝材料因其轻质特性和优异的力学性能而在工程领域中备受重视。本文提出了一种稳健且高效的框架，用于设计这些材料，该框架将等几何比例拓扑优化（IGA-PTO）与基于能量的均匀化方法相结合。由于这些材料由大量以周期性方式排列的单元胞构成，优化是在单个单元胞上进行的，以确定优化后的力学性能，如体积模量或剪切模量。该框架利用有理B样条基函数来描述几何形状、由单元测试应变场引起的位移场以及组成相的密度分布。为了便于具有多种组成相的设计，交替活跃相算法被整合到优化过程中。通过多个二维和三维示例展示了所提框架的性能，证实了其可靠性、稳健性和快速收敛性。所提方法的一个主要优势是优化设计在组成相之间具有清晰的界面和平滑的边界，这确保了与3D打印技术的高度兼容性。物理原型的成功制造证明该框架是复合蜂窝材料高级设计的可行且实用的范式。

# 引言

超材料是人造工程材料，具有难以在天然材料中观察到的非常规性能。如果超材料被设计为单元结构模式的周期性排列，则通常称为蜂窝材料。研究发现，蜂窝材料的整体响应主要受单元结构模式的建筑细节影响，而非构成材料的底层成分[1]。此外，蜂窝材料通常在恶劣环境中工作，涉及多种物理场的相互作用，例如机械-热-电多场耦合。在这种场景下，蜂窝材料需要通过组合不同的组成相进行设计，以满足多样化功能的极端需求[2]、[3]、[4]。这些蜂窝材料进一步被称为复合蜂窝材料。

最早设计蜂窝材料的努力致力于调整单元结构模式的几何细节，包括尺寸和形状[5]、[6]、[7]。遗憾的是，这种方法需要耗时费力的实验任务。这些任务容易受人类直觉和洞察力的影响，因此极端的性能很少能够实现[8]。因此，提出了更多系统化的方法来解决这一问题，拓扑优化是一个优选方案。从概念上讲，拓扑优化是一个数学过程，它将给定的材料量迭代地分配到固定域中，以寻找最佳布局，使得目标函数在满足某些约束的条件下得到优化[9]。

自从开创性工作[10]将蜂窝材料的设计作为逆均匀化问题提出以来，众多拓扑优化方法已被设计出来，例如固体各向同性惩罚法（SIMP）[11]、[12]、[13]、[14]，双向演化结构优化（BESO）[15]、[16]、[17]，以及水平集方法[1]、[18]。这些方法可以分为两大类，即基于密度的方法和基于几何的方法。SIMP方法可能是前者中最流行的方法。在基于密度的方法中，设计域被离散化为多个被赋予密度的点，而材料在某点的存在由关联密度的值决定。然后，被材料占据的点勾勒出结构边界。相比之下，基于几何的方法如水平集将结构边界作为高维函数的等值线或等值面来跟踪其演化。

上述所有方法都已被扩展用于在设计蜂窝材料时考虑更多不同的组成相，例如，SIMP方法用于极端热膨胀[19]和体积模量[20]，BESO方法用于最大化热膨胀[21]和力学性能[22]，而水平集方法[2]、[23]用于最大化体积模量和剪切模量。

尽管基于几何的方法提供平滑的几何边界和不同组成相之间清晰的界面，但优化解严重依赖于初始设计和正则化技术[24]。另一方面，基于密度的方法对初始设计的敏感性较低，但通常产生具有锯齿边界的优化拓扑。这需要对优化后的拓扑进行重构以适应制造要求。然而，重构后的拓扑与优化后的拓扑可能不同，导致实际设计最优性的损失。

等几何分析（IGA）[25]被引入作为一种有吸引力的范式，以提高传统有限元方法的计算效率。IGA的优雅概念是利用计算机辅助设计基函数来近似几何和结构运动学。因此，IGA具有构建平滑边界几何的丰富能力，从逻辑上讲，IGA已被与基于密度的优化方法结合，以解决锯齿边界的固有问题[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。

最近，等几何分析的拓扑优化通过比例拓扑优化算法进一步得到了改进。该方法称为等几何比例拓扑优化（IGA-PTO）[32]、[33]，属于基于密度方法的范畴。关注点的密度与其对目标函数的贡献成正比来确定[34]、[35]、[36]、[37]、[38]。IGA-PTO的优越性能在多个方面得到了充分证明，即更高的计算效率、快速收敛，以及具有组成相之间清晰界面的优秀几何描述。

本文的主要创新集中在开发这样一个可靠且高效的框架，将IGA-PTO与基于能量的均匀化方法整合用于设计复合蜂窝材料。本文引入的具体创新和优势包括：

- 该框架利用有理B样条基函数一致地描述几何形状、由测试应变场引起的位移场以及组成相的密度分布。这种统一的方法利用了IGA-PTO构建具有平滑边界和组成相之间清晰界面的优化解的能力。

- 通过适应交替活跃相算法，所提框架允许实现具有复杂多组成相且具有极端力学性能的复合蜂窝材料。

- 传统的基于密度的方法通常产生锯齿边界，需要对优化解进行繁琐的重构以适合制造。相比之下，所提框架的优化解可以直接制造而无需重构。这显著消除了制造设计最优性的损失。

本文其余部分的安排如下。第2节简要讨论具有有理B样条基函数的等几何分析及其在线弹性问题中的应用。第3节专门介绍基于能量的均匀化方法的细节，作为确定蜂窝材料力学性能的手段。第4节讨论将IGA-PTO方法与基于能量的均匀化方法相结合，以获得复合蜂窝材料的优化力学性能。第5节展示了具有极端体积模量和剪切模量的二维和三维复合蜂窝材料的优化。在这一节中，对所提IGA-PTO的可靠性和准确性进行了审查。第6节以一些结论性评论结束了本研究。

# 章节片段

## 等几何分析

本节是对NURBS基函数和有理B样条基函数等几何分析的简要总结，仅包含与所提方法开发相关的信息。更多细节可以在[32]、[33]中找到。

## 基于能量的均匀化方法与等几何分析：用于蜂窝材料有效材料性能

图2展示了典型的二维蜂窝材料及相应的均匀化固体。在本研究中，假设蜂窝材料由单元胞在独立镶嵌方向上的周期性重复构成。单元胞与蜂窝材料尺寸之间的纵横比记为?。当蜂窝材料由足够数量的单元胞组装时，??1，在此情形下，均匀化方法是……

### 基于NURBS的密度场描述

复合蜂窝材料由不同的组成相构成，第??个组成相的分布由密度场??[??]表示，该密度场同样由有理B样条基函数描述：

$$\bar{\rho}^{[a]}(\boldsymbol{\xi}) = \sum_{\bar{A}=1}^{\bar{N}_B} \bar{R}_{\bar{A}}(\boldsymbol{\xi}) \bar{\rho}^{[a]}_{\bar{A}}$$

$$\rho^{[a]E}(\boldsymbol{\xi}) = \sum_{\bar{I}=1}^{\bar{N}_P} \bar{R}^E_{\bar{I}}(\boldsymbol{\xi}) \rho^{[a]E}_{\bar{I}}$$

这里，采用了[32]、[33]中的多分辨率方案，即有理B样条基函数$\bar{R}_{\bar{A}}(\boldsymbol{\xi})$通过升阶和结处理从几何域有理B样条基函数$R_{\bar{A}}(\boldsymbol{\xi})$中获得。

## 示例

本节展示了几个二维和三维示例，以展示等几何比例拓扑优化在复合蜂窝材料力学性能方面的性能。使用了四种不同的组成相，其组成性能及显示颜色详见表1。空腔被视为极软的组成相，并赋予其杨氏模量一个很小的值以防止数值……

## 结论

在本文中，通过将等几何比例拓扑优化（IGA-PTO）与基于能量的均匀化方法相结合，建立了一个可靠且高效的复合蜂窝材料设计框架。通过利用这些材料的周期性特性，在单个单元胞上施加适当的周期性边界条件进行优化过程，以实现极端的力学性能，特别是针对体积模量和剪切模量。技术上……

## CRediT作者贡献声明

Duy Vo：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，可视化，验证，软件，方法论，调查，概念化。Chanh Dinh Vuong：可视化，验证。Pana Suttakul：可视化，验证，软件，方法论。Du Dinh Nguyen：可视化，验证，概念化。Tinh Quoc Bui：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿，监督，方法论，资金获取，概念化。

## 利益冲突声明

作者声明不存在已知的 competing 财务利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

## 致谢

本研究由越南国家科学与技术发展基金会（NAFOSTED）资助，项目编号107.02-2023.100。感谢 Duy Tan 大学为本研究提供的时间和设施支持。

**Duy Vo | Chanh Dinh Vuong | Pana Suttakul | Du Dinh Nguyen | Tinh Quoc Bui**