液压轮腿式双足机器人惯性参数辨识：一种在线增量方法

《Control Engineering Practice》：Inertia parameter identification for a hydraulic wheel legged bipedal robot: An online incremental approach

　　

**摘要**

准确的惯性参数对于基于模型的机器人控制至关重要。然而，现有的在线辨识方法通常难以在数据规模增长和在线数据噪声的条件下保证计算效率。本文提出了一种新颖的增量算法，该算法通过求解具有线性矩阵不等式约束的半定规划问题，确保所辨识的惯性参数具有物理一致性。通过利用递归QR分解和基于能量的模型，我们的方法以在线方式运行，具有固定计算复杂度，独立于接触力测量值，并表现出较高的抗噪声能力。在轮腿双足机器人上进行的广泛仿真和硬件实验证实，与常规方法相比，我们的方法实现了更快的收敛速度和更可靠的估计，预测的均方根误差降低了超过80%。所提出的框架标志着机器人向在不确定和动态环境中实现长期自主运行迈出了重要一步。

**引言**

近年来，Park等人（2007）；Sentis等人（2010）提出的全身控制（WBC），以及Romualdi等人（2022）；Yu等人（2023）提出的模型预测控制（MPC），使基于模型的优化成为腿式机器人的主流范式。现代实现通常采用质心动力学解耦与二次规划（QP）公式来计算最优力矩曲线，以协调多肢体交互并保持动态稳定性。Hutter等人（2014）；Khazoom等人（2024）；Koenemann等人（2015）在多种机器人平台上的实验验证确认了这些力矩优化方法的有效性。然而，其性能仍然严重依赖于底层动力学模型的准确性。

人们提出了多种参数辨识方法，可大致分为两类：离线辨识和在线辨识。在离线辨识中，所有输入-输出数据均在分析之前采集完成，对计算时间没有严格要求。相比之下，在线辨识要求在机器人运行过程中实时更新参数。

目前，估计机器人动力学参数的离线方法主要分为三类：物理实验、基于计算机辅助设计（CAD）的计算和参数辨识。

最直接的方法是物理实验，即将机器人拆解以隔离各个连杆，从而直接测量惯性参数。例如，可以用天平直接测量质量；通过确定连杆的平衡点来获得质心坐标；Armstrong等人（1986）声称惯性张量的对角元素可通过摆实验获得。Fregolent等人（1992）提出了基于频率响应函数的方法，通过分析连杆的振动响应来辨识惯性参数。Hu（1994）使用测量的时域振动数据和振动模态分析来获取惯性参数。物理实验方法依赖于专用测量设备，并且通常忽略关节特性。其辨识精度高度依赖于测量仪器的精度。此外，实验过程繁琐，通常由制造商在机器人组装前完成。

其次，可以利用计算机辅助设计（CAD）根据连杆的几何形状和材料特性计算所需的动力学参数。主流机器人CAD软件提供了从三维模型自动计算惯性参数的功能，便于获取独立的参数值。在设计阶段，这些估计参数可用于评估动力学性能和基于模型的控制效果，从而实现结构优化。然而，基于CAD的估计精度直接取决于模型的几何保真度。制造公差不可避免地会导致实际零部件与CAD模型之间存在偏差，从而导致参数估计偏差。此外，摩擦参数通常既不由制造商提供，也无法从CAD输出中获得。

最后，考虑参数辨识方法。该方法通过最小化实际系统输出与数学模型输出之间的差异，根据机器人在特定规划轨迹下的输入/输出行为来估计参数值。由于其实验装置简单且估计精度较高，该方法被广泛采用，如Khalil和Dombre（2004）所示，被认为是三种方法中的最佳选择。惯性参数辨识的理论基础可追溯到Atkeson等人（1986）的开创性工作，他们提出了基于逆动力学的辨识模型与普通最小二乘估计方法的结合。这种方法通常被称为IDIM-OLS（Gautier, 1997a；Siciliano等人, 2008），其特点是效率高且易于实现。然而，Janot等人（2014）和Janot等人（2013）证明了IDIM-OLS方法对噪声缺乏鲁棒性，其性能高度依赖于激励轨迹的条件数。此外，由于测量噪声、不当的数据过滤或激励不足，IDIM-OLS估计的参数可能存在严重偏差，甚至失去物理一致性。这可能表现为负质量、负摩擦系数或非正定惯性矩阵。在过去二十年中，大量研究工作致力于解决这些问题，产生了各种有前景的方法。这些方法可大致分为两类：一类旨在提高参数估计的统计一致性，由此自然推导出物理一致性；另一类则通过专门的约束优化技术显式施加物理约束。

**方法**

提高统计一致性的方法侧重于改进辨识模型和辨识算法。在惯性参数辨识模型方面，Richalet和Fiani（1995）提出了输出误差（OE）方法，该方法假设实际系统和仿真系统共享相同的输入，通过最小化两者输出之间的二次误差来辨识参数。然而，在实际应用中，由于初始条件选择不当，该方法往往收敛到多个局部最优解，如Tohme等人（2007）所证明的。Gautier（1997a）引入了一种简洁的功率模型，消除了对加速度测量的需求，从而减轻测量噪声的影响。为了解决IDIM和OE方法需要对高频采样的关节位置信号进行带通滤波以估计关节速度和加速度的需求，Gautier等人（2012）提出了直接逆动力学辨识模型（DIDIM）。该方法仅依赖于关节力/力矩测量值，作为闭环输出误差方法运行。其创新之处在于用力/力矩替代传统的位移输出，从而显著降低了计算开销。

在辨识算法方面，为了解决在随机框架内考虑输入和输出随机扰动的轨迹优化和参数估计问题，Xi（1995）将全最小二乘（TLS）方法应用于机器人惯性参数辨识。然而，只有当回归矩阵元素的噪声协方差矩阵与单位矩阵成比例时，TLS估计才是一致的——由于回归矩阵的特定结构，这一条件在Xi（1995）的应用中并不成立。因此，应采用广义全最小二乘（GTLS），因为它允许回归矩阵元素的噪声之间存在相关性。然而，这种方法只有在所有误差必须是具有可计算协方差矩阵的随机变量时才有效。由于回归矩阵对关节角度测量值的非线性依赖关系，计算所需的协方差矩阵极其困难，甚至不可行。Swevers等人（1997）使用了最大似然（ML）估计器，即使模型在参数和测量值上呈非线性，该方法仍然是一致的，并对2-DOF和3-DOF机器人上的IDIM-WLS方法进行了比较分析。结果表明，当关节测量值存在噪声时，ML方法能有效减少参数估计偏差。代价是计算复杂度显著增加；Wu等人（2010）指出，只有当位置测量值和力矩测量值都受到噪声污染时，该方法才有意义。卡尔曼滤波器（KF）在自动控制领域更为普遍，Gautier和Poignet（2001）使用卡尔曼滤波器在2-DOF SCARA机器人上比较了IDIM-WLS和扩展卡尔曼滤波器（EKF）的性能，目的是同时估计关节加速度和惯性参数以减轻噪声影响。然而，结果显示EKF存在收敛问题，对初始条件和调参参数高度敏感，使得IDIM-OLS在离线参数辨识中更具优势。Ramdani和Poignet（2005）提出了集合成员不确定性（SMU）方法来处理辨识模型中的重大确定性结构建模误差，并在2-DOF SCARA机器人上与IDIM-OLS进行了比较，尽管结果并未显示出显著优势。Janot等人（2013）提出了一种基于逆动力学模型的 instrumental variable（IV，工具变量）方法，该方法对初始条件和数据过滤不敏感，并表现出快速收敛性。Alonso等人（2009）提出使用Hopfield神经网络（HNNs）替代OLS方法，其优点包括不需要对可能病态的回归矩阵求逆、不需要先验的初始参数估计以及具有理论收敛保证。然而，Urrea和Pascal（2017）的实验结果表明，该方法未能实现足够精确的估计。Urrea和Pascal（2018）提出了一种Adaline神经网络方法进行参数辨识，其实质是用神经网络的梯度下降替代IDIM中的OLS过程。因此，该方法与IDIM-OLS没有本质区别，实验结果也表明IDIM-OLS和AdaNN产生可比较的结果。

几项研究强调了通过约束优化技术显式强制执行物理一致性，而不是仅依赖统计一致性的隐式保证。除了少数例外（Yoshida和Khalil, 2000a），经典的基于物理一致性的参数辨识方法通常将物理约束表述为线性矩阵不等式（LMI）。这将整个辨识过程转化为一个约束优化问题，然后使用半定规划（SDP）方法（Sousa和Cortesao, 2014）或流形上的优化技术（Traversaro等人, 2016a）进行求解。

随着人形机器人技术的发展，近期研究重点已转向浮动基系统。这些系统提出了独特的挑战：固有的不稳定性使激励轨迹设计变得复杂，难以获得最优条件数，且数据质量保证变得不平凡，传感器限制使得完整状态-力矩的可观测性受到限制。

部分传感条件下浮动基辨识的理论基础已在Mistry等人（2009）中建立。Ayusawa等人（2014）证明了浮动基动力学参数与完整人形运动方程之间的等价性，而Ayusawa等人（2011）证明了仅使用接触力和运动学即可实现惯性参数的可估计性。这些突破使传感器不足条件下的惯性辨识成为可能。当代方法强调通过约束优化来维持参数有效性。Sousa和Cortes?o（2014）中的基于LMI的物理一致性约束和Jovic等人（2016）中的几何连杆约束防止了在数据条件不佳情况下参数退化。Yoshida和Khalil（2000b）建立了质量矩阵正定条件，而Traversaro等人（2016b）通过非凸参数化引入了完整的物理一致性约束。Lee和Park（2018）提出黎曼流形公式化，通过坐标不变误差度量提高了估计鲁棒性。值得注意的是，Wensing等人（2017）开发了基于LMI的完整物理一致性条件，使惯性参数辨识的凸优化成为可能。

在线辨识是一个经典且研究充分的问题，旨在利用实时测量数据调整系统数学模型中的参数，从而使模型的预测动态响应与实际系统相匹配，如Serban和Freeman（2001）所示。主要方法包括以下几种：

**自适应控制算法：** 这些作为在线估计或调整控制器中使用的动力学参数的有效手段已被广泛研究。对于并联机器人，工作空间约束和动力学方程的复杂性使得不同参数难以独立激励；如果进一步考虑结构中被动关节的摩擦效应，参数空间将显著扩大。自适应控制算法在一定程度上可以缓解这些问题，因为与传统辨识方法相比，它们对持续激励的要求不那么严格。Burdet和Codourey（1998）基于雅可比矩阵，将每个运动部件的力和力矩投影到笛卡尔空间中，为动力学参数辨识中的非线性自适应控制算法奠定了基础。Honegger等人（1997）使用非线性自适应控制算法辨识了Hexaglide并联机构的基座动力学参数；然而，该算法不能保证参数收敛。

**基于神经网络的在线方法：** 神经网络在控制和辨识领域引起了广泛关注，并已被证明对于非线性系统的辨识非常有效，如Kumpati等人（1990）所述。在这些方法中，待辨识参数被视为网络权重，并通过训练使其接近真实值。

由于实时采样数据可以输入网络以输出实时参数估计，神经网络天然支持在线辨识。Jiang 等人 (2006) 提出了一种融合神经网络的辨识方法以补偿不确定动力学，其中神经网络的在线输出用于补偿辨识出的逆动力学模型与实际逆动力学模型之间的误差。He 等人 (2021) 采用了一种连续可微摩擦（CDF）模型，将物理先验信息引入学习过程。随后，利用径向基函数神经网络（RBFNN）来近似模型误差及其他未建模动力学，并借助神经网络的学习能力在线更新 CDF 模型参数，从而实现关节摩擦力的在线辨识。由于现有方法采用动力学方程作为回归模型，其对含噪声关节加速度的依赖（Gautier, 1997b, Gautier, Khalil, 1988）以及计算复杂度限制了在线实现。即便采用凸优化形式，由于样本量巨大（Sousa, Cortes?o, 2014, Wensing, Kim, Slotine, 2017），仍需长达数小时的计算。非凸方法则进一步加剧了计算需求（Jovic, Escande, Ayusawa, Yoshida, Kheddar, Venture, 2016, Lee, Park, 2018）。尽管本文提出的递归 QR 分解方法与 Manchester 和 Peck (2017) 的方法相似，但本工作系独立开展，且在以下方面存在差异：采用基于能量的回归模型、引入严格的物理一致性约束，以及提供了该方法的全面证明。本文提出了一种结合递归 QR 分解的、基于能量模型的增量半定规划（ISDP）方法，用于实时惯性参数辨识。主要贡献包括：
•提出了一种带有递归 QR 分解的增量 SDP 算法，用于迭代求解固定规模而非随时间增长的回归问题，从而使惯性参数实现在线求解。
•建立了一种面向浮空基座机器人的能量回归框架，消除对接触力传感器和加速度信号的依赖。
•通过轮足双足机器人 WLR-4P 的仿真与实验，对比了能量模型与动力学模型，并分析了其他参数对辨识的影响。

本文其余部分安排如下：第 2 节详述了基于 SDP 的物理一致性约束实施及能量模型基础。第 3 节提出了基于递归 QR 分解的增量 SDP 算法及浮空基座能量模型。第 4 节通过单体重仿真实验及轮足双足机器人 WLR-4P 实验验证该方法的有效性。第 5 节总结全文。

章节片段

预备知识

本节回顾了惯性参数辨识能量模型中涉及的数学预备知识以及惯性参数的物理一致性约束。全文中，标量以斜体表示（??, ??, ?），向量以粗体表示（??, ??, ?），矩阵以粗大写表示（??, ??, ?）。n × n 单位矩阵记为 In × n。空间惯性矩阵用花体字母 ?表示，传统惯性矩阵则标记为上划线形式 (·)。

关键成果

针对轮足液压双足机器人的在线增量惯性参数辨识

该框架建立了面向轮足双足机器人惯性参数的基于能量的辨识模型，并随后将其应用于源自完整物理一致性要求的 LMI 约束下的 SDP。为实现 SDP 的实时求解，我们实现了一种递归 QR 分解方案，该方法在连续的 SDP 优化过程中保持固定的矩阵维度。这种方法稳定了每个 SDP 求解步骤的计算复杂度。

仿真与实验结果

ISDP 惯性参数辨识框架通过仿真分析和实验验证进行了全面评估。获取物理机器人连杆的实际惯性参数存在重大实际挑战；因此，算法验证是使用从高保真仿真中获取的数据进行的。我们通过实验进一步验证了所提方法的实际应用性。这些实验是在我们的液压轮足机器人上进行的。

结论

本文提出的基于能量驱动辨识模型和 ISDP 的惯性参数估计方法，解决了现有方法的关键局限性——即对测量噪声的高敏感性以及缺乏面向浮空基座机器人的既定激励轨迹设计。通过采用能量模型作为辨识框架，噪声的影响得到了显著抑制。此外，离线辨识过程被转化为在线过程。

CRediT 作者贡献声明

马睿：撰写 – 初稿，软件，方法论，形式分析，概念化。
李旭：撰写 – 审查与编辑，可视化，资源，项目管理，资金获取。
冯海波：可视化，监督，调查。
付一立：监督，资源，项目管理。

利益冲突声明

作者声明他们不存在任何可能影响本文所报告工作的已知竞争财务利益或个人关系。

马睿 | 李旭 | 冯海波 | 付一立
哈尔滨工业大学机器人及系统国家重点实验室，中国黑龙江省哈尔滨市南岗区西大直街 92 号，邮编 150001。