学习粗粒化：一种基于离散元模拟的连续场自适应多尺度图网络算子

《Powder Technology》：Learning to coarse-grain: An adaptive multiscale graph-network operator for continuum fields from discrete element simulations

　　

• 图神经网络学习DEM应力场的自适应粗粒化。
• 学习到的注意力权重取代了固定的粗粒化核函数。
• 无窗口收敛极限提供了无偏的基准真值场。
• 不存在最优的固定窗口；学习到的算子在每个区域均具有鲁棒性。
• 学习到的平均支撑域受局部固含量控制。

## 引言

搅拌介质磨因其兼具高能效与利用较小研磨介质即可产生强烈颗粒应力环境的能力，被广泛应用于细磨和超细磨。然而，这些磨机内部的颗粒动力学具有强非均匀性。局部应力由研磨介质的空间分布、叶轮诱导的运动、接触网络中的力传递以及料仓壁、轴和内部搅拌器表面的相互作用共同决定。因此，仅凭全局平均值无法充分表征研磨环境。需要空间分辨的描述来识别应力集中在何处、耗散集中在何处，以及力传递在磨机内如何变化。

自Cundall和Strack的开创性工作[1]以来，离散元法（DEM）已成为模拟研磨和矿物加工设备中密实颗粒流的成熟工具。DEM能够解析单个颗粒的轨迹及其接触历史和相互作用力，从而详细研究回转磨和搅拌介质磨等设备[2]、[3]、[4]、[5]。然而，许多最终决定磨机性能的物理量——包括压力、应力、颗粒耗散、颗粒破碎和能耗——最自然地以连续场来理解。同样，放大关系、本构定律和工艺设计模型通常以光滑空间场而非离散颗粒群来表述[3]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]、[11]。这一区别在搅拌介质磨中尤为重要，因为碰撞和持久接触传递的应力能量在空间中高度不均匀，且与研磨效率和产品细度直接相关[2]、[3]、[5]、[9]。因此，弥合颗粒尺度与连续描述之间需要一种粗粒化程序，将离散颗粒和接触信息映射到选定空间位置上的连续场。该映射的保真度决定了颗粒尺度力学向宏观描述传递的精确程度，因而是任何基于DEM的研磨磨机连续表征中的基本组成部分。

由Goldhirsch[12]形式化、并随后被扩展到考虑边界和复杂颗粒构型[13]、[14]、[15]、[16]的成熟粗粒化框架，通过核函数加权的颗粒和接触贡献之和来构建连续量。颗粒属性用于恢复密度、速度和动能应力等场量，而接触力链贡献则提供接触应力。这些量通过由粗粒化宽度w表征的核函数?进行平滑。该方法具有坚实的物理基础，可通过构造满足适当的守恒关系。然而，其主要实践困难在于w的选择。密实颗粒材料通常缺乏微观与宏观尺度之间的清晰分离，因此所得连续场依赖于所采用的平均宽度，且必须仔细选择适当的值[14]、[17]、[18]。

在搅拌介质磨这样强非均匀的设备中，这一平均尺度问题成为结构性限制。磨机同时包含旋转轴附近致密、高梯度的区域，靠近轴和外壁的边界层，以及自由面附近稀薄、间歇填充的区域。这些区域对平均尺度施加了相互竞争的要求。致密、采样充分的区域受益于相对较小的w，这保留了锐利的速度和应力梯度并最小化了不必要的空间平滑。相反，稀薄区域内的局部平均体积内包含的颗粒较少，因此需要更宽的支撑域以抑制颗粒尺度涨落并获得统计稳定的连续估计。因此，不能期望单一的全局粗粒化宽度在整个磨机范围内都表现最优。

该问题可从局部代表性体积的角度来理解。Goldenberg等人[17]、[18]表明，近似客观的连续应力场仅在粗粒化尺度的某个平台上存在，且该平台的范围由局部空间梯度控制，而非仅由整体系统尺寸决定。系综平均可以将可接受尺度范围向亚颗粒尺度延伸，但并不消除所需支撑域对局部状态的根本依赖。在非均匀磨机中，强加一个全局宽度因此迫人做出折中：适合稀薄区域的宽度可能过度平滑致密物料中的应力集中，而选择用于分辨致密区域梯度的宽度可能在自由面附近产生嘈杂甚至定义不良的估计。因此，根本问题不在于应选择哪个单一w值，而在于适当的平均支撑域本身是否应随局部颗粒环境空间变化。

已有若干策略应对了该问题的某些方面。边界感知粗粒化方案[13]、旨在在非均匀颗粒流中获得客观连续描述的方法[14]，以及针对强多分散系统的扩展[6]，在特定条件下改进了连续场的保真度。然而，这些方法仍保留预先规定的平均规则：核函数形式及支撑域变化的方式由分析者指定，而非直接从颗粒数据中推断。另一种方法是尺度分离和统计收敛分析，通过细化支撑域直到粗粒化量对平均宽度的进一步变化足够不敏感[17]、[18]。这类程序提供了确定可接受平均尺度的原则性手段，但通常用作诊断分析而非可直接应用于新颗粒构型的自适应算子。

与此同时，机器学习方法越来越多地用于分析颗粒和DEM数据，应用于本构建模、代理预测、微观结构表征和接触网络分析。图神经网络（GNN）尤其适用于这些问题，因为DEM系统天然可表示为以颗粒为节点、以颗粒相互作用为边的图[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]。图网络模拟器以远低于直接数值模拟的计算成本重现了颗粒动力学[19]、[20]，而基于图的模型也已展示了学习不同堆积条件下力链和接触网络结构的能力[21]。这些进展表明，消息传递架构能够同时编码局部颗粒状态和力传递的相互作用拓扑结构。

尽管取得了这些进展，大多数现有机器学习研究针对的是颗粒动力学、本构响应或代理流场的预测，而非粗粒化操作本身。因此，它们并不直接解决核心的平均尺度问题。当前缺失的是一个同时满足以下条件的算子：（i）学习将颗粒和接触信息映射到连续量所用的空间权重，而非规定固定核函数；（ii）自适应调整其有效空间支撑域以适应非均匀局部条件，而不需要人工施加的宽度选择规则；（iii）提供可解释的支撑域场，能够与本身不假设某个任意全局粗粒化窗口的参考基准进行对比评估。

本研究通过将粗粒化重构为在直接从DEM快照构建的非均匀多尺度图上可学习的操作来填补这一空白。颗粒节点及其接触边构成颗粒尺度微观图，同时引入连续查询单元作为第二种节点类型。每个查询单元在多个空间半径上与周围颗粒相连。在颗粒接触图上进行消息传递首先编码局部相互作用信息，随后注意力加权的颗粒到单元聚合学习各颗粒贡献在每个查询位置应如何组合。在此意义上，学习到的颗粒到单元权重充当了传统粗粒化中所规定核函数的数据驱动类似物。逐单元多尺度门控随后组合在不同连接半径处获得的信息，使有效支撑域能够空间自适应地适应局部材料状态。

因此，本研究的主要贡献有四方面。第一，粗粒化被公式化为可学习的颗粒到连续算子，而非使用全局规定核宽度的平滑操作。第二，引入了一种多尺度图架构，在单一算子内结合了颗粒状态信息、接触网络相互作用和自适应颗粒到单元聚合。第三，构建了基于收敛的空间支撑域参考基准，同时提供连续场目标和局部支撑域图，以便定量评估网络学习到的支撑域。第四，采用匹配容量消融实验和固含量自适应基线，确定哪些架构组件是实际必需的。结果表明，对于相对光滑的标量和运动学场，局部固含量提供了强大的自适应基线，而各向异性接触应力张量的鲁棒重构则需要显式的接触图信息。这一区别表明，基于图的粗粒化的优势并非仅仅来自灵活的空间插值，还在于其纳入了连续应力背后的离散力传递结构。

因此，所建立的框架解决两个相关问题。第一，是否一个学习到的算子可以取代全局固定的平均窗口，同时在搅拌介质磨的强非均匀区域中保持精确。第二，该算子学习到的空间支撑域是否与局部颗粒状态存在物理可解释的关系。通过回答这些问题，本研究不仅寻求改进DEM导出连续场的数值重构，还致力于建立适用于非均匀颗粒系统的自适应且可解释的颗粒到连续映射。

论文其余部分组织如下。第2节描述搅拌磨DEM系统及其数据。第3节介绍经典粗粒化参考基准和无窗口收敛极限真值。第4节开发图表示和学习到的多尺度算子。第5节详述训练和评估方法论。第6节报告场级精度、与固定窗口的区域和最差区域对比、学习支撑域与收敛支撑域图对比以及流变学解释。第7节讨论局限性及推广方向，第8节为结论。

## 方法

本节描述用于从搅拌介质磨离散元法（DEM）数据学习连续粗粒化算子的完整方法论。本节中，向量用粗体小写字母表示，二阶张量用大写符号表示。下标p和q索引颗粒，cij索引颗粒i与j之间的接触，k索引粗粒化或查询单元。希腊下标α,β∈{x,y,z}表示笛卡尔分量。

### 图构建

对于稳态运行点，所有Nt个快照在共同固定网格上使用递减的粗粒化宽度阶梯进行粗粒化：w1>w2>?>wW。本研究中，宽度阶梯为{w1,w2,w3,w4}={6,4.5,3,2.25}mm。对于每个宽度wk和每个查询单元，参考标量的系综均值和标准误差跨快照累积。所选取的参考标量为应力弗罗贝尼乌斯范数‖σ‖F。每个宽度和单元的平均颗粒计数也被记录。收敛分析

### 分阶段课程学习

训练按输出复杂度递增的阶段进行，以便在引入更难的目标之前使共享主干充分条件化。

- **阶段I：不变量。** 模型预测四个标量不变量。这是一个稳定的预热阶段，教会共享主干产生物理上合理的量值。
- **阶段II：张量。** 模型预测完整的对称应力张量。该阶段从阶段I的主干热启动，复制除最终解码器外的所有权重。训练

### 场级精度

预测值反演为物理单位，逐通道与参考基准使用决定系数R2、均方根误差（RMSE）和平均绝对误差（MAE）进行评分。对于应力热点区域，在预测的高应力单元和前十分之一与参考基准之间计算二元交并比（IoU）。该指标量化了学习到的算子是否正确地定位了与破碎相关的区域。与分析粗粒化方案不同，学习到的

## 结果与讨论

本节报告学习到的多尺度粗粒化算子在搅拌磨数据集上的性能。所有物理量均与方法论章节中的无窗口收敛极限参考基准进行评估，使得"真值"不含固定窗口偏差。除另有说明外，结果为在收敛极限标签上训练的16通道多场模型，在n=3.59×10?个查询单元上评估。

### 局限性

若干局限性界定了解释本研究所得出结论的范围。

首先，本研究仅评估单一磨机配置和运行条件。因此，所证明的鲁棒性涉及该运行点内的空间非均匀性，而非跨速度、填充水平、粒径分布或磨机几何形状的泛化能力。

尽管算子作用于局部邻域信息而非绝对坐标，但其迁移到未见结论中……本研究将离散元数据的粗粒化重新表述为一种学习式的多尺度操作。与在整个域内预设单一核宽度不同，所提出的图神经网络学习了粒子和接触信息应如何聚合，并将其有效空间支撑自适应地调整到局部颗粒环境中。该算子通过与基于统计收敛连续介质估计值构建的收敛基准进行了评估，评估场景为一个圆柱形搅拌器。CRediT作者贡献声明：Ayuk Corlbert Ayuk：写作——审阅与编辑、原创草稿撰写、方法学、调查研究、形式化分析、概念化。Olumide Ogunmodimu：写作——审阅与编辑、监督、资源提供。利益冲突声明：作者声明不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。致谢：作者感谢宾夕法尼亚州立大学约翰·威利·莱昂家族能源与矿物工程系的支持，感谢计算与数据科学研究所（ICDS）以及宾夕法尼亚州立大学地球与矿物科学学院——能源研究所的支持。Ayuk Corlbert Ayuk | Olumide Ogunmodimu