基于Caputo分数阶框架的高阶多点迭代方法：收敛性分析、全局动力学与神经网络预测研究

《Fractal and Fractional》：A Function-Conditioned Neural Framework for High-Order Caputo Fractional King–Neta Root Estimator with Computational Analysis

　　摘要分数阶迭代方法为求解非线性方程的经典求根方法提供了一种灵活的扩展。这些方法还可以通过分数阶参数实现控制，并增强针对具有挑战性的非线性模型的收敛性与鲁棒性。在本研究中，在Caputo分数阶框架下提出了三个高阶多点迭代方案，将King和Neta的经典多点方案扩展至分数阶牛顿框架下的分数阶设置。所提出的方案分别为：两步Caputo分数阶King方法（CFKM2）、三步Caputo分数阶King方法（CFKM3）以及三步Caputo分数阶Neta方法（CFNM3）。通过基于广义Caputo Taylor展开的局部收敛性分析，证明了这些方法分别达到……、……和……的收敛阶。CFNM3的主要优势在于其最后一步校正步骤中无需额外评估Caputo导数，从而降低了计算成本。所提出的方案在不同的分数阶下从收敛行为、精度和计算效率方面进行了数值比较。除局部收敛性分析外，本研究还利用复吸引盆、多项式图（polynomiographs）和分数阶灵敏度图进一步探索了CFKM3的全局动力学特性。随后将盆数据输入至由BFGS拟牛顿优化程序训练的单一函数条件神经网络中，以估计吸引根的坐标。当……时，三个具有代表性的复数测试问题表明CFKM3仅在两次迭代内即可实现局部收敛，且全网格收敛率介于85.81%至90.24%之间。根据预测分析结果，基于Caputo导数的描述符被认为是影响网络性能最为重要的因素。