无标度网络上带缓解措施的易感-感染-易感模型：一种异质平均场方法

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Susceptible-infected-susceptible model with mitigation on scale-free networks: A heterogeneous mean-field approach

　　

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  尺度无关网络中SIS模型的基于度的平均场理论。
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  缓解因子削弱了涉及感染个体的相互作用。
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  标准模型与修正模型在解析和随机模拟两个层面进行了比较。
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  尽管传播动力学发生变化，地方性流行病患病率仍保持单调性。
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  非平衡统计物理学在复杂网络流行病建模中的应用。

引言

历史上，传染病一直是全球主要的死亡原因之一[1]，[2]，其数学建模因理论丰富性及其与社会的相关性而引起了科学界多个领域的关注。经典的流行病建模方法通常基于分区描述，即将个体按照其疾病状态划分为不同类别，动力学过程由个体在各分区之间的流动所支配。在其标准形式[3]中，这些模型依赖于均匀混合假设，即假设所有个体均匀相互作用，从而可以用平均相互作用速率来描述传染过程[4]。

尽管这种近似方法产生了重要结果，但它忽略了真实接触模式中观察到的复杂性方面。在许多情况下，个体之间的相互作用并非均匀随机的，也不是在整个种群中同样可能的[5]。这种异质性已被证明在塑造流行病动力学方面起着重要作用，特别是在具有宽泛度分布的网络中[5]。

引入这种异质性的自然方法是异质平均场（HMF）方法，也称为基于度的平均场（MF）近似。在该方法中，节点根据其度被归入不同的分区，具有相同联系数量的节点被视为统计上等效的[6]。因此，动力学量如感染个体的密度分别对每个度类别进行定义。该方法可以在保持某些模型解析可处理性的同时，捕捉复杂网络结构的关键特征。

在本工作中，我们考虑易感-感染-易感（SIS）模型。在尺度无关（SF）网络中，度分布的异质性导致其在热力学极限下的二阶矩发散。在HMF模型中，这意味着流行病阈值消失。

为提高模型的真实感，我们纳入了流行病中观察到的一种常见现象：一定比例的感染个体倾向于减少其相互作用，无论是自愿的还是通过强制隔离实现的。这意味着系统成员之间的相互作用模式发生了改变，这种变化可以通过多种方法纳入模型。已提出饱和机制来建模高度连接个体有效传播的降低，即使在SF网络中也能恢复有限的流行病阈值[7]。或者，可以引入一个可调参数来控制动力学过程中个体之间连接的可能性[8]。最后，可以基于以下假设纳入缓解机制：随着感染人群的增加，遇到感染个体的概率应该降低[9]；后一种方法将在下文讨论。

根据某些模型，人口增长呈指数增长且不受任何限制，假设资源或条件无限丰富以支持这种增长[10]。为防止这种不受控制的增长，引入了承载容量[11]的概念，为系统设定了最大人口上限。这一概念也在增长网络的背景下进行了研究[12]。虽然看似简单明了，但这种饱和机制的引入深刻地改变了系统的行为，将指数增长转化为逻辑函数。在流行病建模的语境中，这一饱和项通过降低涉及感染节点的相互作用强度来有效改变传播动力学。

这种饱和机制被应用于Barabási–Albert（BA）网络[13]，并被证明对量$\Theta$产生了非平凡的影响。在原HMF模型[14]中，$\Theta$代表随机选择的一条链路指向感染个体的概率。在未缓解模型中，$\Theta \left(\lambda \right)$随传播率$\lambda$单调增加；而在缓解机制下，它被证明在$\lambda$的某个有限值处达到最大值[9]。有趣的是，尽管发生了这种变化，总体患病率仍然是传播率的单调递增函数，在两个模型中均如此。

然而，这一结果是针对BA网络建立的，BA网络是幂律度分布特征网络的更大类别中的一个特例。在本工作中，我们将缓解机制推广到一般的SF网络，并推导不同度指数的渐近结果。此外，由于经验观测和计算生成的网络都是有限的，了解流行病变量如何依赖于系统规模是一个基本问题。为解决这一问题，我们使用Gillespie算法[15]进行模拟，该算法精确地重现了底层的连续时间随机动力学。

本文的结构如下。在第2节中，我们回顾了非关联SF网络上的HMF模型。在第3节中，我们引入带有缓解因子的模型，称为修正异质平均场模型（mHMF），其中涉及感染节点的链路被系统性地削弱。我们将所有先前获得的解析结果推广到更一般的SF拓扑。在第4节中，我们通过计算机模拟研究系统的稳定状态，在第5节中我们提出结论性意见。

章节摘要

异质平均场

我们考虑易感-感染-易感（SIS）流行病模型，其中个体要么处于易感状态，要么处于感染状态。感染通过接触发生，而感染个体以给定速率自发康复，回到易感状态而不具备免疫力。在引入HMF公式之前，有必要简要回顾均匀平均场模型。在均匀混合假设下，时间$t$时感染个体密度$\rho \left(t\right)$的时间演化，

修正异质平均场

在本节中，我们在传播过程中引入一个唯象饱和项，从而引入HMF模型的修正版本。其动机在于考虑随着患病率增加而降低感染个体对疾病传播有效贡献的实际影响因素。这一命题并非从任何单一过程的机理模型推导而来；相反，它构成了一种经过选择的、易于处理的形式，旨在定性重现这种自限制行为，

流行病模拟

在本节中，我们使用Gillespie算法[15]对非关联退火SF网络上的常规和缓解后的SIS模型实施个体级随机模拟。这些随机模拟提供了与前一节推导的解析HMF结果的直接比较，同时明确考虑了有限尺寸效应。

当种群表现出异质性时，度更高的节点更有可能遇到感染个体，因此，

结论

在本文中，我们研究了具有尺度无关度分布特征的异质接触结构上的SIS流行病模型。我们引入了一种修正公式，其中包含一种缓解机制，该机制对涉及感染节点的链路上的传播概率施加了饱和效应，灵感来源于Malthus–Verhulst模型。该方法旨在捕捉行为反应和其他削弱涉及感染个体的接触的外部因素。本

CRediT作者贡献声明

J.G.S. Delboni：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，软件，方法学，调查，形式分析。M.O. Hase：写作——审阅与编辑，监督，项目管理，方法学，调查，形式分析，概念构思。

未引用参考文献

表2，表4

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

J.G.S. Delboni|M.O. Hase