一种采用无元Galerkin（EFG）方法对基质酸压作业中热-水-化学现象进行模拟的新型双尺度连续介质方法

《Advances in Water Resources》：A novel two-scale continuum simulation of thermo-hydro-chemical phenomena of matrix acidizing operation using element free Galerkin (EFG) method

　　

• 基于HC（水-化学）和THC（热-水-化学）耦合，开发了一套完全耦合的EFG（无单元Galerkin）数值程序。
• 通过ECM方法研究了微裂纹对酸化作业的影响。
• 在HC和THC研究中，45°微裂纹使PVBT（突破孔隙体积）比无裂纹情况减少36.2%。
• 在HC研究中，90°微裂纹停止蚓孔生长，导致PVBT上升19.6%。
• 优势流路径的影响超过酸动力学变化的影响。

**引言**

经过数十年的研究和实践，储层工程师已经找到人工技术来提高非常规油气田（渗透率范围为0.001至0.1毫达西）的渗透率，或者去除常规油田中堵塞孔隙的物质，如钻井泥浆和沥青质。这些作业分为基质酸化、水力压裂和酸压裂技术（Economides and Nolte, 2000; Tulsa et al., 2012; Williams et al., 1979）。

酸刺激技术是石油行业人工增产方法的一个子集，通过向井筒中注入酸液来降低流体相的流动阻力。在酸刺激技术中，酸液在低于压裂压力下注入储层，通过形成蚓孔溶解基质（基质酸化），或溶解孔隙堵塞物质（洗井酸化）。根据目标油藏类型不同，有不同类型的酸，如碳酸盐岩储层使用盐酸（HCl），砂岩储层使用氢氟酸（HF）和HCl的混合物，称为泥浆酸。通常与主注入剂一起使用的添加剂包括缓蚀剂、延缓剂和表面活性剂。成功的基质酸化作业可以增大渗透率、降低井周压力损失、维持井筒与储层之间的连通性，并提高产液速率（Williams et al., 1979）。

基质酸化方法最早的实际应用可追溯到1895年，由位于俄亥俄州利马的标准炼油厂首席化学家赫尔曼·弗拉什（Herman Frasch）实施。人们观察到，在井筒中泵注酸液后，油气产量显著增加（Kalfayan, 2007）。

设计基质酸化作业的主要目标是找到最佳注酸速率和酸浓度，以最小的酸量实现最高的渗透率（Jia et al., 2025）。注入酸的量通过一个无量纲变量——突破孔隙体积（PVBT）来定义，即注入酸液总量与岩心初始孔隙体积之比。针对碳酸盐岩岩心的各项实验研究旨在确定方解石（Bazin, 2001; Fredd and Fogler, 1999; Zakaria et al., 2015）和白云石（Ali and Nasr-El-Din, 2019）中影响最佳注酸速率的有效参数。Fredd和Fogler（1999）对碳酸盐岩岩心（直径3.8厘米、长10.2厘米）进行HCl酸化的实验研究发现，碳酸盐岩岩心的酸溶解过程主要可以分为5种不同模式，如注入速率的函数，如图1a至1e所示。观察到的溶解模式包括面溶解（a-最低注酸速率）、锥形溶解（b）、主蚓孔（c）、分支蚓孔（d）和均匀溶解（e-最高注酸速率）。

尽管实验研究在理解基质酸化机理方面做出了巨大贡献，但维持实验室观察与实际油田应用之间的关联性仍然是一个持续的挑战。此外，每项实验研究都是耗时耗资的工作，且失败风险较高。

酸化的理论模型可分为经验模型、网络模型和连续介质模型。最简单但精度最低的是经验模型，其中提出了一些包含多个重要参数的关系式，并利用实验结果来调整这些参数（Akanni and Nasr-El-Din, 2015; Buijse and Glasbergen, 2005）。网络模型最初从毛细管模型发展而来，基于蚓孔为圆柱形管道的假设来模拟蚓孔及其传播。通过引入大量相互连接的毛细管来表示多孔介质，网络模型得以发展（Ma et al., 2018; Zhu et al., 2024; Zhu and Zhang, 2023）。最后一类是连续介质模型或双尺度模型，采用连续介质假说来求解酸液的传质、动量和能量传输方程。这也称为双尺度模型，因为控制微分方程在代表元体积（REV）内求解，因此避免了因区分孔隙结构而产生的巨大计算负担。另一方面，为了提高双尺度模型的精度，采用孔隙尺度关系（如Kozeny-Carman关系）来描述孔隙尺度的化学反应和传质过程，并在基质酸化模拟过程中更新孔隙相关参数（Cheng et al., 2020; Cohen et al., 2008; Dong et al., 2019; Guo et al., 2019; Jalalian and Bazargan, 2025; Kalia and Balakotaiah, 2009; Kalia and Glasbergen, 2010; Li et al., 2017; Liu et al., 2019; Nami et al., 2023; Panga et al., 2005）。连接孔隙尺度与达西尺度方程的最重要参数是孔隙率。

为模拟基质酸化，研究者提出了各种假设。一些研究者假设孔隙间为达西流动（Guo et al., 2023; Jahanbakhshi, 2024; Kalia and Balakotaiah, 2009; Maheshwari et al., 2013; Panga et al., 2005; Zhu and Zhang, 2023），而少数研究者考虑了更为现实的Brinkman-Stokes或Darcy-Brinkman-Forchheimer关系，以描述因酸溶解孔隙而在多孔介质中形成相对较大通道时的酸液流动（Akanni et al., 2017; Ali and Nasr-El-Din, 2019; Jalalian and Bazargan, 2025; Jia et al., 2021）。Akanni等（2017）利用Navier-Stokes方程开发了水-化学（HC）双尺度基质酸化模型。研究得出结论，由于尺度效应，岩心流实验结果不能直接应用于现场。

2019年，Ali和Nasr-El-Din对白云石岩心进行了实验研究，利用Navier-Stokes方程建立了HC模型，并使用实验数据进行校准。该模型成功预测了18英寸长岩心中酸化实验结果。2021年，Jia等人研究了二维HC酸化作业，使用Darcy-Brinkman-Stokes关系代替达西定律进行流体动量守恒，并考虑了固-液相之间的质量交换项。结果表明，忽略质量交换项会高估PVBT。Jalalian和Bazargan（2025）最近的研究中，利用Darcy-Brinkman-Stokes关系描述流体流动，并采用Whitaker模型模拟固-液表面的非均相反应，开发了一个HC模型。结果与先前的研究一致，且其模型所需输入参数更少。

虽然原始双尺度方程是耦合的水-化学（HC）关系，但通过增加能量守恒方程，该公式已被扩展，以解决反应放热效应和非等温酸反应对岩石酸溶解的影响（Kalia and Glasbergen, 2010; Ma et al., 2018; Maheshwari et al., 2013; Nami et al., 2023; Zhu and Zhang, 2023）。在Kalia和Glasbergen（2010）中，考虑了酸和温度对酸化过程的影响，进行了耦合的热-水-化学（THC）研究。结论是，考虑放热效应后，在线性流动条件下可以实现更低的PVBT，但对于径向流动，PVBT不受影响。在Ma等（2018）的另一项研究中，开发了THC模型，考虑了离散模拟的裂纹对基质溶解过程的影响。他们观察到，最佳注酸速率随基质温度升高而增加。此外，得出结论：裂缝网络的存在减少了注入酸液体积，但对最佳注酸速率或溶解模式没有影响。

虽然许多研究仅考虑一种流体（酸液）（Dong et al., 2019; Kalia and Balakotaiah, 2009; Maheshwari et al., 2013; Panga et al., 2005; Zhu and Zhang, 2023），但最近的研究考虑了两相不混溶流体（Cheng et al., 2020; Kou et al., 2025; Liu et al., 2019; Nami et al., 2023; You and Lee, 2021）。此外，大多数研究是在无裂缝多孔介质中进行的（Cohen et al., 2008; Jahanbakhshi, 2024; Kalia and Glasbergen, 2010; Maheshwari et al., 2013）；然而，一些研究者考虑了离散裂纹对流传和酸化过程的影响（Dong et al., 2019; Guo et al., 2023; Kalia and Balakotaiah, 2009; Zhu et al., 2024）。在Cohen等（2008）的研究中，在HC模型中研究了蚓孔传播的几何效应。观察到在主蚓孔模式下，增加注酸速率会增加蚓孔密度，而约束条件会高估最佳注酸速率。Dong等（2019）进行了裂缝性基质中酸化的HC数值模拟。结果表明，对于无裂缝介质，酸化过程的结果主要取决于注酸速率，而对于裂缝性岩石，结果主要取决于裂缝模式。Cheng等（2020）开发了一个考虑多相流体流动的HC双尺度模型，研究不同饱和度下储层岩石的酸化过程。在You和Lee（2021）的研究中，进行了考虑三相体系（CO?气体、固体颗粒和液态酸）的HC数值酸化研究，发现随着注酸速率的增加，CO?气泡的半径变化更大但数量更少。Su等（2022）开发了一个考虑方解石和白云石两种矿物组分的HC模型进行酸化模拟。结论是，随着白云石含量增加，最佳酸液流速降低。Nami等（2023）通过考虑传热和两相流动模拟了基质酸化作业。他们得出结论：虽然增加初始含水饱和度会导致PVBT上升，但对溶解模式的影

响较小。

Zhu等（2024）提出了水-力-化学（HMC）公式来模拟酸化和酸压裂作业。通过将复杂的三维模型转化为一维模型，显著降低了计算负担。Jahanbakhshi（2024）提出了一个HC模型，通过偏微分方程的隐式耦合将其转化为显式常微分方程。观察到，求解显式方程保持了隐式方法之前结果的精度，同时通过显式求解控制方程，计算成本显著降低。Kou等（2025）提出了一个碳酸盐岩酸化的两相HC模型，其模型作为能量耗散定律遵循热力学第二定律。结果表明，考虑相界面毛细压力具有重要意义。

本研究开发并利用了一套基于连续介质双尺度方法的稳健EFG（无单元Galerkin）数值程序，对基质酸化作业中耦合的HC和THC现象进行了全新的建模。此外，还利用所开发的EFG程序研究了微裂纹及其方向对酸化过程的影响。下文首先简要介绍各种数值方法，包括无网格方法。然后描述所开发程序的数学基础。之后，使用EFG方法求解一系列HC和THC基准问题，并展示新开发的EFG程序模拟不同酸化情景的能力。随后将模拟岩石微裂纹及其方向对酸化过程的影响。最后给出一些结论。

"耦合过程"一词表示一个过程影响其他过程的开始和演化，反之亦然。换言之，仅通过分别考虑主导过程是无法全面研究一个地质系统的（Stephansson et al., 2004）。

在地质和环境地质问题中存在不同层次的耦合。最简单的是两过程或二元耦合，如饱和土/岩中的换热隧道中的热-水（TH）过程（Sheikhahmadi et al., 2025），或固结现象中的水-力（HM）过程。三重耦合问题如水力压裂中的热-水-力（THM）过程（Iranmanesh and Pak, 2023）或热-水-化学（THC）过程（Chen et al., 2018）具有更高的复杂性。

热-水-力-化学（THMC）问题是在增强型地热系统模拟（Zhang等，2023）或二氧化碳（CO?）捕集与封存建模（Ershadnia等，2022）中最复杂且要求最严格的研究课题。对于基质酸化过程的模拟，已有众多网格依赖方法被开发出来，以半耦合或全耦合方式求解控制偏微分方程。常用方法包括控制体积法（CVM）、有限差分法（FDM）和有限元法（FEM）。相反，存在一类无网格方法，它们消除了网格生成的需求，基于节点空间离散化求解方程，例如无单元Galerkin法（EFG）和光滑粒子流体动力学（SPH）。网格消除相比传统网格依赖方法具有若干优势；例如，没有网格就缓解了与大网格变形相关的零/负雅可比矩阵行列式问题。此外，像EFG这样的无网格方法可以通过使用任意多项式基函数提供更高阶的可微分性，这可以根据给定数值问题所需的完备性进行调整，而无需改变整个形函数。另外，由于移动最小二乘（MLS）近似的连续性和完备性阶次可调，离散分辨率与近似阶次之间的强耦合关系得到了放松，使得在EFG中的h加密和p加密比在FEM中更加独立且简单（Chen等，2017）。最后，对于地质材料中的裂纹模拟，裂纹路径传播不受沿单元边缘的限制。EFG的无网格特性便于处理裂纹扩展和间断，而无需频繁重新划分网格，这在FEM中往往是必需的（Iranmanesh和Pak，2018）。值得注意的是，某些无网格方法如EFG仍然需要背景网格来进行系统矩阵的数值积分。EFG方法的主要局限在于其无法满足与本质（Dirichlet）边界条件相关的Kronecker delta条件，因此需要采用罚函数法来满足该条件。图2概述了FEM与无网格方法流程之间的重要差异（Liu，2002）。

针对EFG方法和移动最小二乘（MLS）近似所伴随的巨大计算成本，近年来提出了几种改进的公式化方案。其中，改进的无单元Galerkin法（IEFG）被开发出来以克服由MLS近似引起的病态矩阵问题，其在三维Helmholtz方程数值求解（Cheng和Peng，2021）以及弹性地基上板弯曲问题分析（Cheng等，2025）中的有效性已得到验证。为了进一步提高计算效率，基于复变量移动最小二乘（CVMLS）近似，提出了复变量无单元Galerkin法（CVEFG）。由于CVMLS中采用了向量形式近似，其试函数中的未知系数数量相比传统MLS近似有所减少（Peng等，2011）。随后，通过将多项式基函数的共轭项引入CVEFG框架，提出了改进的复变量无单元Galerkin法（ICVEFG），提供了比原始CVEFG方法更精确且更高效的计算过程（Cheng等，2026）。然而，CVEFG和ICVEFG仍局限于二维应用。为解决这一限制，维度分裂（DS）技术与ICVEFG方法相结合，形成了DS-ICVEFG公式，将这些方法的适用范围扩展到三维问题（Cheng等，2018）。

在本研究中，开发了一个基于无单元Galerkin（EFG）方法的稳健自编无网格程序，用于通过双尺度连续介质方法求解与基质酸化操作相关的化学（C）、水-化学（HC）和热-水-化学（THC）问题。通过回顾之前的研究，其中鲜有研究实际将能量守恒方程与导致系统趋向于耦合THC问题的水-化学过程相结合。在HCl与碳酸盐矿物化学反应过程中引入热相互作用，通过考虑化学反应产生的放热效应，增强了模拟结果的真实性。

此外，本研究首次通过等效连续介质法（ECM）即裂纹张量方法（Oda，1985）分析了微裂纹系统及其对质量传输的影响。虽然对微裂纹进行独立建模会显著增加计算量，但通过裂纹张量对其建模，可以适当地考虑微裂纹对水力场特别是渗透率张量的影响。裂纹张量方法基于连续介质力学原理进行裂纹建模，因此也被称为等效连续介质法（ECM）。本研究提出了一种新颖的混合EFG-ECM模型来研究微裂纹对基质酸化过程的影响。

最后，某些孔隙尺度关系，特别是Kozeny-Carman方程描述的渗透率和孔隙半径，存在一个局限性：当孔隙率趋近于1时，这些参数趋向于无穷大，从而失去其物理意义。本研究采用修正的Kozeny-Carman方程来解决这一问题，具体细节将在后续章节中提供。

章节摘要

数学模型

本研究的主要假设如下：
1. 系统为双相系统，由固相和液相组成。
2. 由于假设储层处于高压条件下，CO?溶解于水相（稀HCl）中。
3. 盐酸（HCl）与方解石（CaCO?）之间的动力学反应被假设为一级反应，如方程(1)所示：2HCl + CaCO? → CaCl? + CO? + H?O
4. 温度对流体密度和黏度的影响被认为是微乎其微的。
5. 1D热-串联-并联反应，一个化学（C）问题

该问题涉及通过所开发的EFG程序求解多组分质量传输问题，并将结果与解析解进行比较。多组分污染物传输是受污染地下水含水层中的常见现象。建模污染物传输对于更好地理解溶质在地质构造中的传输及其增长和/或消散至关重要（Chaudhary和Singh，2020）。考虑如图5a所示的反应网络，由五个组分组成

结论

在本研究中，开发了一个稳健的自编EFG程序，用于在双尺度连续介质方法的框架下求解基质酸化技术的化学（C）、水-化学（HC）和热-水-化学（THC）问题。在本研究中引入热相互作用，通过考虑放热反应热对酸动力学的影响，增强了模拟结果的不真实性。此外，一个微裂纹系统及其对质量传输和化学反应的影响也得到了……

术语表
av：孔隙界面面积 [m?1]
c：液相酸浓度 [mol m?3]
cs：液-固界面酸浓度 [mol m?3]
erfc：互补误差函数
k：渗透率张量 [m2]
kc：局部质量传输系数 [m s?1]
ks：动力学反应速率常数 [m s?1]
keq：等效裂隙介质渗透率 [m2]
li：裂纹长度 [m]
n：孔隙率
ni：裂纹法向量
pw：流体压力 [Pa]
q：达西速度向量 [m s?1]
rp：孔隙半径 [m]
t：时间 [s]
wi：裂纹宽度 [m]

资助来源声明

本研究未获得任何公共、商业或非营利机构的具体资助。

CRediT作者贡献声明

Seyed Raef Sheikhahmadi：撰写——初稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查、形式分析。Ali Pak：撰写——审阅与编辑、监督、软件、项目管理、概念构思。

Seyed Raef Sheikhahmadi | Ali Pak