超冷原子三体碰撞中散射超体积的耦合道方法

《Physical Review A》：Coupled-channel method for the scattering hypervolume in ultracold atomic three-body collisions

　　

我们提出了一种耦合道方法，用于处理全同玻色性碱金属原子体系的弹性三体散射。该方法依赖于数值精确的双体非能量壳跃迁矩阵，该矩阵由支持大量束缚态的真实多道分子相互作用势构建而成。通过严格考虑这种非壳结构，该方法无需借助模型赝势，即可同时捕获碱金属势所特有的短程物理及多道耦合。核心输出为复数三体散射超体积——即双体散射长度的三体类比量——我们以可控且可验证的数值精度获得该量。作为现实基准，我们将该框架应用于自旋极化的钾-39，执行完整的耦合道三体散射计算，并在实验相关条件下提取超体积。该方法具有普适性，可推广至其他具有深分子势（含任意大量束缚态）的原子种类及相互作用模型。

## I. 引言

超冷原子气体为探索相互作用量子物质提供了极具可调性的平台。一种关键工具是利用磁Feshbach共振，在极宽范围内控制s波散射长度 $a$——即弹性原子碰撞中有效双体相互作用的低能度量——包括改变其符号和大小 [1–4]。这种可调性使实验能够进入弱耦合和强耦合区域，并奠定了超冷气体作为量子模拟器的应用基础，所涵盖的现象从凝聚态物理到核物理不等 [5]；例如，与常规超导体相关的Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) 配对，以及中子星壳层中的超流中子物质 [6,7]。

稀薄量子气体的平衡和动力学性质由少体散射过程主导。这使得可以从自下而上的角度研究多体物理：先表征微观相互作用，再构建多粒子系统的涌现性质 [8,9]。在最低阶，气体由双体物理描述，其参数为s波散射长度。仅在这一层次，平均场理论便已能捕捉丰富的量子相和交叉行为，包括玻色气体中的玻色-爱因斯坦凝聚 (BEC)，以及强相互作用费米气体中的BEC-BCS交叉 [9,10]。

有效三体相互作用是超越双体物理的下一层复杂度。在低能展开中，三体效应由三体散射超体积 $\mathcal{v}$ 参数化。其实部 $\mathrm{Re}(\mathcal{v})$ 量化有效弹性三体相互作用强度，与双体散射中的 $a$ 直接类比，可修正量子气体的状态方程和稳定性。特别是，理论研究已证明，排斥性三体相互作用可以稳定单组分玻色体系免受塌缩，并支持形成均匀量子液滴 [11–14]，这与二组分混合物中自束缚液滴的性质不同 [15]。弹性三体项还被预言会影响吸引性BEC的塌缩动力学 [16,17]，尽管其定量影响通常处于次要地位且难以实验探测。当相互作用增强时，三体散射会产生非微扰少体现象，最突出的是Efimov物理 [18–21]。虚部 $\mathrm{Im}(\mathcal{v})$ 描述非弹性三体过程，与三体复合总速率直接相关 [22–24]，即三个原子碰撞形成一个分子和一个自由原子，释放的动能足以使两者逃离囚禁势。该过程是超冷气体和BEC寿命的主要限制因素 [25–29]。

自下而上的方法在弱相互作用BEC基态能量密度 $E$ 的低密度展开中体现得尤为明显。设密度为 $n$，该展开给出如下形式 [30,31]

$$\frac{E}{n} = \frac{2\pi\hbar^2 a}{m} n + \frac{128}{45\sqrt{3}}\left(\frac{a}{\lambda_T}\right)^{3/2} \frac{2\pi\hbar^2 a}{m} n + \dots \tag{1}$$

其中省略号对应于以稀薄参数 $\lambda_T\sqrt{n}$ 为展开参数的高阶修正，$R$ 为有效范围参数。$a^3$ 修正是Lee-Huang-Yang (LHY) 双体修正 [32]。在下一阶，出现对数型的 $a^5 \ln a$ 修正，由Wu计算 [33]。该修正源于短程相互作用物理与长程集体模式之间的耦合，标志着多体关联的开始 [33,34]。第一个完全解耦于双体散射、因而独立于 $a$ 的贡献量，表征了真正的短程三体相互作用 [30]，其参数为三体散射超体积 $\mathcal{v}$。

从理论角度看，定量可靠地计算碱金属原子的三体参数具有挑战性。其底层双体相互作用本质上具有多道特性，由含大量束缚态的深分子势支配。因此，精确处理需要来自真实势的非壳双体跃迁矩阵，而非模型赝势或单道近似。这种非壳结构控制着短程物理和道耦合，它们直接影响三体散射，进而影响 $\mathrm{Re}(\mathcal{v})$ 和 $\mathrm{Im}(\mathcal{v})$。这些因素促使我们发展满足以下两个要求的方法：(i) 在非壳层次纳入真实多道双体物理，(ii) 以可控数值精度给出三体散射超体积 $\mathrm{Re}(\mathcal{v})$。

迄今为止，超体积的确定大多局限于简化模型相互作用，包括硬球 [30]、高斯 [23]、方势阱 [31] 和浅范德瓦耳斯势 [35]。主要采取了两种策略。第一类是坐标空间方法，将超球面三体波函数与已知渐近解进行匹配 [23,30,36,37]。遗憾的是，这些方法无法纳入自旋内禀自由度，尽管其对三体可观测量有时具有显著影响 [27,28,38,39]。相比之下，动量空间方法通过Weinberg展开双体跃迁矩阵求解Alt-Grassberger-Sandhas (AGS) 方程（此处称为平面波方法）[40,41]，如文献[31,35]中的实现。然而，动量空间处理需要对三体散射振幅实部中的发散项进行精细扣除 [31,36,42,43]，这使得数值精度至关重要。虽然平面波方法对浅范德瓦耳斯相互作用可给出 $\mathrm{Re}(\mathcal{v})$ 的准确值，但其对势深增加的收敛速度过慢，无法应用于碱金属原子所特有的深分子势 [40]。

在本工作中，我们为全同玻色性碱金属原子的弹性三体碰撞提出一种耦合道方法，直接使用来自真实多道分子势的非壳双体跃迁矩阵。该框架在完整耦合基矢中严格处理自旋内禀结构，克服了平面波方法对深势的局限性。它以可验证的数值精度给出复数超体积 $\mathrm{Re}(\mathcal{v})$。在方法论上，我们的方案建立在近期开发的离散变量表示 (DVR) 方案基础之上，该方案已实现多道碱金属体系中三体复合的精确计算（称为DVR方法）[27–29,38,39,44]。在此，我们扩展该工具包，使其适用于弹性散射和真实碱金属条件下 $\mathrm{Re}(\mathcal{v})$ 的提取。由此，我们大幅拓展了超冷原子气体中定量三体建模的适用范围。

本文组织如下：在Sec. II A中，我们引入三相互作用碱金属原子的哈密顿量以及用于表述散射问题的三体基矢。在Sec. II B中，我们将问题以三体跃迁矩阵的AGS方程形式表述，并将其与散射超体积联系起来。Section II C描述了低能下非壳双体跃迁矩阵的高精度确定方法。Section II D给出数值实现并分析关于相关参数的收敛性。在Sec. II E中，我们将浅单道范德瓦耳斯势的结果与文献[35]中的平面波方法进行定量比较，以验证发散贡献的消去。Section III通过展示自旋极化 $^{39}$K 的结果并分析多道效应对普适预言的修正，展示我们方法的能力。在Sec. IV中，我们总结全文并对未来研究进行展望。

## II. 方法

### A. 三体哈密顿量与基矢

三体系统用Jacobi坐标描述，其中系统将划分为一对（构成二聚体子系统）和第三个粒子 [45]。这给出两个相对动量 $\mathbf{q}_i$ 和 $\mathbf{p}_i$，其中 $i$ 为对应第三粒子的索引。这一标记方式将贯穿全文。动量 $\mathbf{q}_i$ 为对的相对动量，$\mathbf{p}_i$ 为粒子 $i$ 相对于对质心的相对动量 [45]。原子间假设通过成对相互作用势 $V_{jl}$ 相互作用，该势纯粹作用于对上，从而留下粒子 $i$ 作为旁观者。

在散射过程远早和远晚的时候，原子可以处于不同的所谓构型道中，决定三体态的渐近结构。在解离道中，所有粒子渐趋于非相互作用单粒子态，即所有粒子渐近自由。相反，在碎裂道中，两个粒子渐近束缚于二聚体态，而第三个粒子自由。我们用索引0标记解离道，用第三粒子索引 $i$ 标记三个碎裂道。

本工作中，我们采用与文献[28]相同的三体分波基矢：$|q, p, l, L\rangle$，其中 $l$ 为二聚体子系统的轨道角动量量子数，$L$ 为原子-二聚体角动量量子数。由于三体系统完全具有旋转对称性，将二聚体和原子-二聚体角动量耦合以产生总角动量 $J$ 及其投影 $M$ 十分有用。三体系的给定基态则写为 $|q, p, l, L, J, M\rangle$。今后，我们将三体基矢限制为 $J=0$ 的那些态，因为这些态在低能下对三体物理的贡献占主导 [46]。该限制强制要求 $L=l$，因此我们仅保留态 $|q, p, l, l, 0, 0\rangle$。

在对碱金属原子的自旋结构进行建模时，我们注意到这些原子仅有一个价电子，因此总电子自旋为 $s_e=1/2$。核自旋 $I$ 取决于核的类型（对于 $^{39}$K，核自旋为 $I=3/2$）[47]。核与价电子之间的自旋-自旋耦合由超精细相互作用表示：

$$H_\text{hfs} = A \mathbf{I} \cdot \mathbf{S}_e \tag{2}$$

其中超精细常数 $A$ 取决于原子种类，典型值为数百至数千MHz [47]。在外磁场 $\mathbf{B}$ 存在下，Zeeman相互作用进一步在自旋哈密顿量（$M_I$）中提供贡献：

$$H_\text{Zeeman} = \mu_B (g_I M_I + g_e M_e) B \tag{3}$$

其中 $g_I$ 和 $g_e$ 为核和电子的旋磁比 [47]。在施加磁场后，超精细态的简并（总自旋 $F$）被解除，使得量子数 $M_F$ 现在标记每个超精细流形中的唯一态。通常，每个单粒子本征态以其在 $B=0$ 时绝热连接的超精细态来标记 [38]。

当两个原子间的距离变小时，价电子发生重叠，将双体态投影到单态（总自旋 $S=0$）和三重态（$S=1$）分子投影上。在这些短距离下，相互作用势 $V(r)$ 相应地分解为单态和三重态分量：

$$V(r) = V_0(r) P_0 + V_1(r) P_1 \tag{4}$$

其中 $P_S$ 将原子对投影到自旋为 $S$ 的自旋态上。由于该投影不与超精细哈密顿量对易，该势在超精细态基底下非对角。这诱导自旋交换耦合，并需要对双体相互作用进行多道描述 [48,49]。要详细模拟特定的碱金属原子体系，单态和三重态分子相互作用势 $V_{0,1}$ 需从可用的经验数据中计算得出，如Feshbach共振位置的损失测量和分子束缚能的 spectroscopy 数据 [50–54]。这些势由非普适短程排斥和遵循 $\sim C_6/r^6$ 衰减的普适长程吸引组成：

$$V(r) \xrightarrow[r\to\infty]{} -\frac{C_6}{r^6} - \frac{C_8}{r^8} - \frac{C_{10}}{r^{10}} \tag{5}$$

其中 $C_6$、$C_8$ 和 $C_{10}$ 为各类相互作用的强度，通过拟合实验观测确定，如文献[53]中的做法。衰减最慢的贡献是众所周知的范德瓦耳斯相互作用，其中参数 $C_6$ 决定范德瓦耳斯范围 $r_\text{vdW} = (\hbar^2 C_6/m)^{1/4}$，设定了问题的特征长度尺度。这些势的深度（量级为THz）远大于超精细分裂，包含大量束缚态。

由于相互作用中的自旋交换，三体系统中唯一严格守恒的量是总磁自旋投影 $M_F$，它决定了可访问的超精细态，从而决定了耦合系统的数值复杂度。

完整自旋哈密顿量的本征态（即式(2)和(3)中单粒子哈密顿量之和）$H_\text{spin} = \sum_i H_\text{spin}^{(i)}$ 将称为道态，记为 $|c_1, c_2; c_3\rangle$，其中 $c_3$ 为第三自由粒子的自旋道，$c_1$ 和 $c_2$ 为二聚体子系统的自旋道，能量为 $E_c$。此外，二聚体基矢的总维度可以通过要求允许态在粒子交换下对称而减小，同时我们还需修正奇偶角动量量子数 $l$ 的空间宇称，从而得到：

$$\frac{1}{\sqrt{2}}(1 \pm P_{12})|c_1, c_2\rangle \tag{6}$$

其中 $P_{12}$ 表示交换两个配对粒子的置换算符，$\delta_{c_1 c_2}$ 在两个单粒子态相同时为1。利用道态，我们定义完整的三体基矢为 $|q, p, l, l, 0, 0; c_1, c_2; c_3\rangle$。我们的参考能量设定在 $E=0$ 处，即三体散射阈值，由最低道能量给出。

为了符号简便，在本文余下的部分中，我们将省略动量和量子数上的指标，因为适当的指标总是可以从周围的算符和方程中追溯回来。

B. 散射超体积

散射超体积是从断裂道弹性三体跃迁算符的低能极限中提取的 [30]。该跃迁算符可以从 Alt-Grassberger-Sandhas（AGS）方程计算得到 [55]：

(7)

其中，为简洁起见，能量自变量被省略。此处，是自由三体格林函数，是道中一对粒子的二体跃迁矩阵元。是从碎裂到断裂道的非弹性散射的跃迁元。

由于全同玻色子的对称性，以下变换将非常有用：，其中为将粒子指标顺时针（）或逆时针（）轮换的置换算符。该变换使我们能够将公式（7）改写为：

(8)

非弹性跃迁算符同样通过 AGS 方程计算：

(9)

类似于二体散射长度，三体散射超体积可以通过壳上三体跃迁矩阵元、对应于从初态零动量态散射到连续态的零动量和零能极限来计算。在处，该矩阵元的低原子-分子复合体动量展开为 [30,31]：

(10)

公式（10）包含在低原子-分子复合体动量下发散的项和不发散的项（趋于零或趋于常数）；这两类项分别收集在矩阵元和中。注意，因子使得发散贡献仅出现在入射道中。

关键的是，散射超体积——作为稀薄和弱相互作用极限下玻色-爱因斯坦凝聚基态的修正项出现 [参见公式（1）]——精确地就是三体跃迁算符的非发散部分 [23,30]。因此，利用公式（8）将转化为，并按照文献 [30] 中的形式定义，我们可以通过取极限得到散射超体积，即显式为：

(11)

为了计算三体跃迁矩阵，需要二体跃迁矩阵元。对其进行对角化以获得谱展开 [40,56]：

(12)

其中是形状因子，是特征值。此处，是我们在截断谱展开之前所考虑的可分离项数，从而将其转化为形式跃迁矩阵的可分离近似 [56]。可分离近似的形状因子和特征值的计算将在下一节中处理。

然后，为了计算跃迁矩阵的非发散部分，我们通过插入来变换公式（9），以隔离发散贡献，从而显式地得到：

(13)

通过在所有算符之间插入三体基态的完全集（如 II A 节中引入），并利用二体矩阵元的可分离展开，我们可以将该算符方程转化为关于原子-分子复合体动量的一维积分方程 [28]：

(14)

其中定义为：

(15)

由此我们将对分子复合体动量以及分子复合体自旋道的依赖分离开来。能量对应于分子复合体的无相互作用能量。

公式（14）中的非齐次项包含发散项，它们使我们能够直接计算的矩阵元：

(16)

其中

我们在发散道中将可分离展开限制为仅一项，标记为。如我们将在下一节所示，这对于我们在低动量区域对二体跃迁矩阵的展开将足够。

公式（14）中的核函数是，定义为：

(17)

其中是相关三体道的能量，矩阵元对应于自旋指标的顺时针轮换 [28,29]。我们利用定义和函数通过以下方式来表达角动量的耦合：

(18)

其中是阶勒让德多项式。

为了解公式（14），需要高水平的数值精度，以确保系统地抵消所有发散项并可靠地确定非发散剩余量。这正是后续各节的动机所在，我们将在其中分别从二体和三体层面介绍我们的方法。

C. 二体方法

高精度可分离展开的计算问题在平面波方法中通过利用自由空间中相互作用势的韦纳伯格展开得到了解决，从而精确模拟了嵌入少体系统的低能散射行为 [41]。该方法不适合我们的目的，因为韦纳伯格展开对于深分子势而言众所周知收敛非常慢 [40]。因此，我们将采用从相互作用二体哈密顿量本征函数直接构造二体跃迁矩阵的方法，利用映射的离散变量表示（DVR）计算 [44,57]。密切相关的基于 DVR 的技术此前已成功用于计算碱金属体系中的非弹性三体现象 [28,38,39]。不幸的是，由于 DVR 在较大的二体分离处施加了硬边界条件，它在低能或低动量下变得不准确，因为此时二体波函数对盒边界条件变得敏感。由于我们需要零动量极限，我们的方法通过采用一项可分离展开来解决 DVR 方法的这一局限性，该展开在该小动量区域变得非常精确，即 Ernst-Shakin-Thaler（EST）展开 [58]。

使用 EST 展开的主要优势在于其简单性和在选定参考能量附近的精确性的结合 [58,59]。在这些支撑点上，近似的可分离势被固定为给出与原势完全相同的本征函数，并得到薛定谔方程的相同解。选择支撑点为意味着我们可以用它进行二体跃迁矩阵的低能计算，因为单一项近似在附近将保持高度精确 [40]。

结合两种模型的优势，我们在处实施了两种数值方法之间的尖锐切换。对于能量，我们采用映射 DVR 方法，而对于较高能量（即更接近零）的入射道，我们使用 EST 单一项可分离近似，得到如下分段方程：

(19)

其中带横线标记的量表示 EST 形状因子和特征值，将在下一段中计算。

如先前工作 [40,44] 所指出的并经我们自己的数值分析所确认，一个好的过渡点只需要与能量（而非动量）相关联。由于我们预期当对应动量的波长达到 DVR 盒大小的量级时 DVR 方法会变得不准确，因此合适的过渡动量值与成反比。因此，启发式地选择让过渡动量等于：

(20)

其中是用于最优精度的数值参数。图 1 给出了一个示例，其中为单道范德瓦尔斯势 [40] 绘制了，展示了两种方法在过渡点附近的收敛性。图中的跃迁矩阵元是离壳的，并考虑负能量，因为三体系统中分子复合体的无相互作用能量是负的。

图 1. 单道范德瓦尔斯势 [公式（27）] 的二体矩阵元，具有一个束缚态和散射长度，用 DVR 方法（红色）和公式（19）描述的方法（蓝色）计算；用虚黑线标示。插图放大了小动量区域并突出了 DVR 方法和 EST 方法之间的差异。对于此示例，DVR 方法的盒大小为，对于过渡点，我们使用了，得到。

我们可以从 EST 势在支撑点处再现原势的条件来计算 EST 形状因子和特征值。该条件意味着入射（开放）道的势强度由给出。此外，形状因子的定义给出。结合支撑点在处，公式（19）中的形状因子可计算为：

(21)

其中是零能时道中的二体波矢径向波函数。然后我们归一化形状因子，使得开放或入射道的形状因子为。公式（19）中的单特征值可以利用 Lippmann-Schwinger 方程计算，给出 [40]：

(22)

其中是二体道能量。

为了评估两种方法之间过渡的质量，我们考虑在过渡点处使用 EST 和 DVR 方法计算的矩阵之间的相对差值，定义为：

(23)

根据文献 [44] 中对方势阱势的分析分析以及在类范德瓦尔斯势下的数值验证，观察到该相对误差大约与散射长度成反比，即，并与盒大小的平方反比相关（因此也与公式（20）中过渡点的位置相关），即。这意味着对于给定的 DVR 盒大小，只要散射长度大于某个最小值，即可准确计算散射超体积。在实践中，我们固定盒大小为并选择。在这些参数下，我们选择最小的散射长度，使得过渡误差满足。

D. 实现与三体方法

我们现在考虑公式（14）的数值实现，通过将原子-分子复合体动量网格离散化并将其写为矩阵方程：

(24)

其中是的非发散剩余的矢量形式，而由 [公式（16）] 构成的非齐次项。矩阵包含核函数 [公式（17）]，是包含矩阵特征值的矩阵。包含多个分波、自旋道和可分离项会将矢量和矩阵扩展为分块形式，其中每个不同的分块使用相同的动量网格，但入射道（开放道）除外，该道采用密度加倍的动量网格以实现更高精度，这是数值稳定抵消低动量发散所必需的。

作为量级估计，一个考虑所有自旋道和有限分波数的此类系统计算已经会导致矩阵达到量级的维度。此外，这些元素是复值，在双精度下对应超过一百 GB 的内存。由此可见，这些计算的主要瓶颈是所需的大量内存 [27,28,60]。

为获得收敛计算，我们使用最大分波，它充当截断，当计算在更高分波贡献方面已经收敛时即停止 [27]。还有方法可以减小自旋基底的维度以进一步降低数值复杂度 [29,39,61–64]。特别是对于较重的碱金属原子，已知范德瓦尔斯相互作用在三体势中诱导出短程排斥势垒，阻止三个原子靠得太近 [65,66]，这支持了固定旁观自旋（FSS）近似，我们在本工作中对此进行了考察 [39]。该近似在第三个粒子（旁观者）不在入射态时关闭相互作用，有效地忽略了该粒子的自旋交换，通过将替换为来实现，其中：

(25)

然而，FSS 近似的适用性取决于原子类型、磁场范围以及它们在自旋交换区域靠近的概率。文献 [38,39] 表明，对于某些共振和零点穿越，自旋交换效应仍然显著，这就是为什么我们还采用了形式化的全多通道自旋（FMS）模型。在此我们使用第三个粒子自旋交换的全部可能性，项数对应于前述量级估计。这使我们能够比较结果并观察自旋交换对碱金属原子弹性相互作用强度的完全效应 [38]。

如果公式（14）中发散项的抵消是完美的，我们应当预期当动量趋近于零时函数取常数值，从而我们可以使用公式（11）计算超体积。然而在实践中，数值不完善使得抵消后在三体跃迁矩阵中仍残留发散，如果动量过小，这总是会主导超体积。挑战在于将计算精度提高到如此程度，使得存在一个低动量范围，其中变为常数，并且存在一个平台，使得足够小，从而使跃迁矩阵的多项式贡献被抑制，同时又足够大以允许有效抵消发散。

在图2中，展示了三体过渡算符的非发散部分的真实值作为动量的函数，使用了两种不同的散射长度和相互作用势[53]，为说明目的，该图进行了归一化处理，使得平台的值居中于1。

图2. 从FMS计算得到的非发散三体过渡算符作为三体动量的函数，其中为平台周围的值。在(a)中，展示了平台的；在(b)中，展示了平台的。虚线和阴影区域分别对应平台中点的平均值和标准差。

平台的质量可能有所不同；有些非常稳定，有些则会变得嘈杂。这与散射长度和超体积之间的比值有关。回顾一下，较大的散射长度也会增加式(10)中的发散项，使它们更难被抵消。当散射超体积与最强发散项之间的比值
(26)
仍然很大时，这不会直接成为问题。图2(a)就是这样一种情况，其中，质量因子为。然而，如果该质量因子变小，则平台中会包含更多噪声，如图2(b)所示，它处于平台最不稳定的区域。这里，，但散射长度仍然相对较大，质量因子减小到。为了减轻噪声的影响，散射超体积是从所有斜率小于内部容差的点计算的，这些点即图2中的虚线。为了衡量并包含平台的质量，同时量化不确定性和噪声，我们也取这些点的标准差，从而得到图2中的阴影区域。我们估计标准不确定度为5%，归因于多种因素，包括原子-分子动量网格的收敛性（在密度和最大范围方面）、对其他数值参数的敏感性，以及二体矩阵可分离近似中截断点的选择[式(12)]。如果平台的标准差超过了5%的标准不确定度，我们将其作为不确定度的改进估计。该不确定度用于定义图3中的误差棒以及所有展示散射超体积的图中的误差棒。系统性不确定性，例如相互作用势的准确性，则被排除在外。此外，关于可分离近似对研究三体物理影响的更详细讨论，请参见文献[40]。

图3. 从式(27)中的单通道LJ势（含一个束缚态）计算得到的散射超体积在两种不同散射长度下的收敛性，其中(a)和(c)对应于，(b)和(d)对应于。顶部图像展示了关于开道二体动量网格中的点数N的收敛性。底部图像展示了关于DVR盒子大小的收敛性。DVR点的密度保持恒定，意味着点的数量随线性增长。

当进一步增大时，另一个显著特征是处的突然不连续（此处）。这是我们切换到图1和式(19)中所示的DVR方法的地方。需要注意的是，不应与实际完整三体过渡矩阵混淆。不连续是预期的，因为仅减去第一个可分离项中的发散（足以用于EST单阶展开），因此，在DVR区域中，减法移除了不对应实际发散的贡献。

两个参数可以改进对小三体动量发散项的抵消：二体（分子）动量网格，我们在其上计算二体过渡矩阵，以及DVR盒子的大小。DVR盒子的大小很重要，因为它计算了EST方法式(21)中所需的零能波函数。更大的网格随后生成了更接近自由空间波函数的波函数，因此使得EST形状因子和特征值的计算更加准确。对于这两个参数，计算和求解二体矩阵特征值的计算时间均为立方标度。我们计算了散射超体积相对于上述参数的收敛性，结果如图3所示。这些数据促使我们使用入射（开）道5000点、高阶分波和自旋交换（闭）道1000点（贡献较小且所需资源较少）的分子网格，以及大小约为的DVR网格。这是相对于文献[39,44]所用网格大小的加倍，并在图2中产生了平台。

E. 基准测试
为了在单通道、浅势极限下验证我们的方法相对于文献[31,35]中的平面波方法，我们对Lennard-Jones（LJ）相互作用进行了基准计算。用于图3结果的势相同，定义为
(27)
其中是势变为排斥力的距离，它决定了允许的束缚态数量和二体散射长度的值。我们将三体散射超体积作为二体散射长度的函数（对于含一个分波束缚态（位于共振点之间）的LJ势，以及的计算结果展示在图4中。

图4. 来自单通道LJ势（含一个束缚态）计算得到的散射超体积的实部和虚部，最大分波为。这与文献[35]中的方法结果进行了比较，后者用绿色线表示。插图展示了两种方法之间的相对差异作为的函数，表示为无量纲比值。

图4中的插图展示了两种方法之间的相对差异。它们表明在误差范围内，我们的大部分结果与文献[35]的结果一致。关于在小的正散射长度处相对较大的不匹配原因在上一节II D中讨论过。这里表明，在我们的方法中计算该区域的超体积更为困难，这反映在更大的误差棒上。当趋近于零时，相对误差的评估也可能受到舍入误差的影响。两种方法之间相对不匹配的在所有数据点上的平均值给出了4%的平均相对不匹配，表明估计的5%误差是合理的。然而，小的负散射长度区域显示出更大的不匹配。这可归因于第II C节关于我们的二体方法在趋近于零时准确性降低的讨论，或文献[35]方法中的不确定性。该工作仅部分展示了其结果的不确定性，但其规模与我们自己的结果相当。

在文献[35]中指出，散射超体积的实部对于具有van der Waals势的弱相互作用系统表现出普适行为。这种行为被归因于三体势中特有的强排斥势垒，可以用硬超球相互作用来建模[35,36,67]。在弱相互作用区域，散射长度不能是唯一决定势垒位置的长度尺度。这里，硬超球半径给定，其中为捕捉有限范围效应的偏移量，而(?)号是正（负）散射长度超体积的偏移量。硬超球散射预测了超体积的普适标度为
(28)
其中为标度因子[35]。文献[35]的普适van der Waals结果得出的有限范围偏移量为和。通过将式(28)拟合到我们的模型数据中，我们提取了硬超球势垒的位置，并得到以下有限范围偏移量：和，与之前通过平面波方法获得的结果吻合良好。

由于普适性，预计这些结果对于碱金属气体普遍适用，只要Feshbach共振相对较宽且三体自旋交换效应较弱，因此任何偏离这些值的偏差必须很可能来自多通道效应。

III. 结果
我们现在转向我们的方法的核心应用：提取具有完整内部状态结构的现实碱金属系统的三体散射超体积。我们关注超冷自旋极化的体系，其三体性质已在理论[39]和实验[16,68–70]中进行了广泛探索。具体而言，我们考虑自旋极化系综，所有原子均制备于或超精细态。在每种情况下，三体问题限制在固定的守恒总投影，或上，这定义了我们计算中使用的耦合通道基。相关的二体散射通道已知在G处存在分波二体散射长度的零交叉，而体系在G处有零交叉，我们在此专注于超体积的研究[50,71]。我们进行了最大分波为的FMS计算和的FSS计算，与文献[38,39]中的先前工作类似。

两个计算在弱相互作用区域的散射超体积分别如图5和图6所示，连同相关的磁场范围。两个系统中FMS和FSS模拟在散射超体积实部上的重叠表明，当原子弹性散射时，它们无法到达自旋交换变得显著的短程区域。这暗示了有效的排斥三体势垒的存在，符合长程van der Waals相互作用的普适行为预测[65,66]。然而，我们的结果表明，两个系统中虚部对三体自旋基截断的敏感性比实部更强。这通常是预期的，因为弹性散射是长程的，而非弹性散射涉及分子态，分子态在短距离处束缚，因此对自旋交换效应更敏感。

图5. 处于态的散射超体积，来自两个不同的计算：FSS（）和FMS（），连同普适行为（即式(28)的拟合，但具有不同的标度常数）。该图展示了三体散射超体积的实部和虚部作为二体散射长度的函数，顶部轴为对应的磁场强度。

图6. 处于态的散射超体积，来自两个不同的计算：FSS（）和FMS（），连同普适行为（即式(28)的拟合，但具有不同的标度常数）。该图展示了三体散射超体积的实部和虚部作为二体散射长度的函数，顶部轴为对应的磁场强度。

假设硬超球散射模型在多通道情况下也能提供足够的描述，我们再次在低散射长度区域将式(28)拟合到上。我们发现，在弱相互作用极限下，遵循预期的普适标度，如图5和图6中黑色虚线所示，但在和的情况下具有不同的前置因子。对于正的散射长度，该普适标度遵循和，其中表示所涉及的体系。对于负的散射长度，普适标度遵循和。这些结果表明存在普适标度，且对于两个自旋系统非常相似，但有限范围参数已发生变化。值得注意的是，负散射长度的硬超球势垒位置从偏移到了（两个自旋系统均如此），且标度因子从1689变为3200和3400。我们推测这种行为源于我们计算的多通道特征。需要注意的是，三体参数（即有效三体势的深度和形状）取决于多通道共振的类型和宽度[72–74]。对于当前研究的零交叉点，最近共振的共振宽度为，处于宽到中等范围[50]。在这个区域，二体有效范围和三体参数表现为非普适的，且超球势的深度比单通道系统更浅[73–75]。

这些有效三体相互作用势偏离普适单通道情形的表现，可能为有效硬超球势垒位置的移动以及散射超体积更强的标度关系提供机制。图7展示了散射超体积实部与虚部之间的比值，这里同样纳入了初始态（利用FSS模型在共振附近计算）。图7显示，在所有考虑的初始自旋态中，该比值总体保持一致，除了存在一些显著差异之外。

图7. 实部与虚部之比的比值，针对三个不同总自旋量子数的不同初始自旋态进行绘制。这些结果利用FSS模型获得。

这些差异极具趣味，因为要在实验上观测弹性三体散射，在小散射长度处需要弹性散射与非弹性散射之间有很大的比例，使得BEC具有足够长的寿命[16]。从图7中，我们注意到处于态自旋极化的体系是研究三体相互作用的最有前景的实验候选体，具有较大的弹性散射与非弹性散射之比。

在体系中出现了一个显著偏离：在图5中，位于（对应G）处的数据点略高于普适曲线。一个相关的特征出现在非弹性贡献中，那里的偏离更为明显，导致图7中显示的比值出现一个极小值。进一步调查表明，在G处，入射双体通道中出现了一个-波二聚体态，其双体自旋投影为。这种-波共振同时存在于FSS和FMS模型中，使得三体复合速率急剧增加。该共振在包含各向异性偶极-偶极相互作用的双体散射计算中也可见到，如图8所示。由于各向异性偶极-偶极相互作用对双体散射物理通常贡献次要，因此二体层面的共振非常狭窄。这与三体层面的情况截然不同，在后者中我们观测到一个宽得多的共振，其特征在图5中已经出现在-波散射长度为或磁场为G时。这可能与此共振在三体层面具有不同的特征有关，并且出现在通常更强的各向同性范德华相互作用中。在三体层面，由于方程（17）核函数中所见的三体几何部分波耦合，该共振现在是可及的。有趣的是，我们现在能够看到这种共振对弹性散射强度的微小影响。此外，我们能够在三体模拟中识别出该束缚态这一事实，展示了我们的方法正确地嵌入了分子双体物理。

图8. 纯-波计算的（红线）和包含偶极-偶极相互作用的，显示了-波共振的出现。

我们还注意到近期关于同时具有范德华和偶极-偶极相互作用的三体系统的工作，该工作考察了偶极相互作用对普适三体性质的影响[76]。尽管此类各向异性相互作用超出了本工作的范围，它们代表了未来扩展我们框架的一个有趣方向。

IV. 结论

总之，我们开发并展示了一种耦合通道方法用于弹性三体散射，该方法能够从包含深层多通道分子势和大量束缚态的真实碱金属相互作用中提取三体散射超体积。我们将该方法应用于自旋极化的体系，并以可控数值精度获得了复超体积。

我们的多通道结果在弱相互作用区域重现了预期的普适标度关系，此前该标度已针对单通道范德华模型势确立。与此同时，我们发现了系统性的定量差异：负一侧的前因子相对较大，而有效有限程参数相对于单通道参考值减小。这些偏离与这样的概念一致，即在所用零点处附近相关费希巴赫共振的中等宽度可以修改有效三体势，从而引起对简单普适性的偏离。此外，通过分析双体-波二聚体的影响，我们表明本框架在所需细节水平上嵌入了相关双体物理，并明确展示了双体共振如何在三体系量上留下印记。

本工作开启了几个进一步研究方向。从实验角度来看，定量可靠的多通道预测尤其有价值，因为弹性三体相互作用的明确特征尚未被直接观测到。弹性三体相互作用对均匀量子液滴的预测稳定化[11–14]为接触稀薄量子气体相图中真正的三体贡献提供了一条有希望的路径，前提是能够到达小散射长度且的足够大的区域[16,35]。基于我们的结果，态在此方面显得尤其有前景。

更广泛地说，通过使定量耦合通道预测适用于不同自旋构型（以及其他原子种类，如锂[77,78]），我们的方法支持针对零交叉点和使弹性与非弹性三体散射之比最大化的磁场区域的目标搜寻。通过这种方式，该方法可以为实验提供具体指导，通过识别弹性三体效应应该足够大以变得可观测的参数区域，例如通过它们对BEC稳定性和坍缩动力学的影响[16,17]。