正则化方法逼近半变分不等式的误差估计

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Error estimates for the numerical approximation of hemivariational inequalities by the regularization method

　　

## 摘要

半变分不等式被广泛应用于接触力学、流体力学及相关领域中的问题。然而，其中涉及的非凸性和非光滑项给分析和计算带来了巨大挑战。我们提出了一种用于椭圆半变分不等式数值求解的正则化框架。通过结合最小化原理与凸分析，我们采用正则化方法将多值不等式重新表述为等价方程，从而使得等式问题的求解方法可以被应用于半变分不等式问题。此外，我们给出了正则化误差的定量估计。我们进一步建立了Galerkin离散化的误差估计，同时考虑了正则化误差和离散化误差。将所提出的方法应用于接触力学问题，证明了线性有限元的最优收敛阶，并给出了正则化参数的误差界。数值实验验证了理论预测。

## 引言

本文关注椭圆半变分不等式的数值求解。半变分不等式是一类非凸、非光滑问题，由Panagiotopoulos [1] 引入，通过Clarke次微分理论 [2] 推广了经典的变分不等式。尽管半变分不等式为接触力学、流体力学 [3] 和电磁学 [4] 中的非单调、多值现象提供了强大的建模框架，但由于缺乏凸性和可微性，其数值近似面临重大挑战。

在过去三十多年中，半变分不等式解的存在唯一性已被广泛研究 [2]、[5]、[6]。然而，由于半变分不等式的非单调性和多值性，解析解仅在有限的理想化情形下可获得。这种数学特征使得数值方法的开发和应用对于近似求解成为必要。早在1999年，Haslinger等人就提出了求解半变分不等式的有限元方法 [7]。此后，半变分不等式的数值分析受到了越来越多的关注。2014年，Han等人首次建立了变分-半变分不等式线性有限元方法的最优误差估计 [8]。2015年，Barboteu等人建立了双曲型半变分不等式线性有限元方法的误差估计 [9]。最近，各种半变分不等式的有限元分析已被建立，包括历史依赖型半变分不等式 [10]、分数阶半变分不等式 [11] 以及源自流体力学的半变分不等式 [12]。然而，由于半变分不等式涉及既非凸又非光滑的泛函，半变变分不等式的数值方法仍然稀缺。以往的研究集中于通过一系列凸问题的解来逼近非凸问题的解 [13]、[14]。这种方法需要计算非光滑非凸函数的Clarke次微分，从而限制了其适用范围。本文主要研究半变变分不等式的正则化方法。正则化方法的主要优势在于其将不等式问题转化为等式问题的能力。因此，所有为等式问题开发的方法都可以自然地推广到不等式问题。

对于正则化方法，其核心思想是用光滑函数逼近非光滑函数。尽管这些方法已被广泛应用于第二类变分不等式 [15]、[16]、[17]、[18]、[19]，但据我们所知，其在半变分不等式中的应用受到的关注相对有限。正则化方法处理变分不等式的核心步骤是用光滑泛函替换凸泛函；然而，半变分不等式中的非光滑泛函是非凸的。与已建立的变分不等式情形相比，半变变分不等式的误差分析框架和具体正则化技术仍有待进一步发展。

本文的主要贡献如下。首先，本文通过将半变变分不等式的最小化原理与凸分析的相关定理相结合，建立了半变变分不等式的正则化方法。在合理假设下证明了正则化问题的收敛性，并推导了相应的正则化误差。随后，我们给出了若干特定函数的显式正则化形式。特别地，本文将非光滑凸泛函分解为光滑泛函与凸泛函之和，从而能够利用Moreau-Yosida正则化方法构造一般的正则化问题。其次，本文采用Galerkin方法对正则化方程进行离散化，并给出了正则化误差和离散化误差的估计。最后，将上述理论应用于接触力学问题，并通过数值实验验证了本文提出的理论结果。

本文的组织结构如下：第2节回顾一些基本定义。第3节提出半变变分不等式的正则化方法并给出正则化误差的估计。此外，我们提供了误差估计。第4节将获得的理论结果应用于接触力学。第5节通过若干数值算例验证理论的正确性。

## 2 预备知识

本节回顾一些基本定义。本文中所有线性空间均假设为实空间。设 X 为Hilbert空间，其对应的范数和内积分别记为 $||\cdot||_X$ 和 $\langle\cdot, \cdot\rangle$。符号 $\rightharpoonup$ 表示弱收敛，$\to$ 表示范数收敛。

**定义2.1** [2] 设 X 为Banach空间，$\varphi: X \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ 为适当的、凸的且下半连续的函数。则 $\varphi$ 的次微分 $\partial\varphi: X \to 2^{X^*}$ 定义为

$$\partial\varphi(u) = \{u^* \in X^* \mid \langle u^*, v - u \rangle_{X^* \times X} \leq \varphi(v) - \varphi(u), \ \forall v \in X\},$$

其中 $X^*$ 为 X 的对偶空间。

## 3 模型

本节考虑如下问题。

**问题 P0.** 求元素 $u \in X$，使得

$$\langle Au, v \rangle + j^0(\gamma u; \gamma v) \geq \langle f, v \rangle, \quad \forall v \in X.$$

问题 P0 的数据满足以下假设。

**H(X):** X 为实Hilbert空间，$X_j$ 为Banach空间，$\gamma \in L(X, X_j)$，且存在常数 $c_\gamma$ 使得

$$||\gamma v||_{X_j} \leq c_\gamma ||v||_X, \quad \forall v \in X.$$

**H(A):** $A: X \to X$ 满足：

(i) A 为势算子；

(ii) A 为Lipschitz连续的，即

$$||Au - Av||_{X^*} \leq L_A ||u - v||_X, \quad \forall u, v \in X;$$

(iii) 存在 $m_A > 0$ 使得

$$\langle Au, u \rangle \geq m_A ||u||_X^2, \quad \forall u \in X.$$

**H(j):** $j: X_j \to \mathbb{R}$ 为局部Lipschitz连续的。

## 4 接触问题

本节给出若干来自接触力学的例子以说明我们的应用。设 $\Omega$ 为有界连通Lipschitz区域 $\Omega \in \mathbb{R}^d$，其中 $d = 2$ 或 $3$。其边界 $\Gamma$ 被分解为不相交的光滑部分 $\Gamma_0$, $\Gamma_1$, $\Gamma_2$，且 $\text{meas}(\Gamma_0) > 0$。设 $\mathbb{S}_d$ 为对称张量空间。$\mathbb{R}^d$ 和 $\mathbb{S}_d$ 上的内积分别为

$$u \cdot v = \sum_{i=1}^d u_i v_i, \quad u = (u_i), \, v = (v_i) \in \mathbb{R}^d,$$

$$\sigma : \tau = \sum_{i,j=1}^d \sigma_{ij} \tau_{ij}, \quad \sigma = (\sigma_{ij}), \, \tau = (\tau_{ij}) \in \mathbb{S}_d.$$

设 $\nu$ 为单位外法向量，$v: \Omega \to \mathbb{R}^d$ 的法向和切向分量为

## 5 数值结果

本节致力于对理论分析进行数值验证。由于与方程(4.11)相关的正则化具有显式表达，出于计算方便，在数值算例中仅采用此条件。然而需要强调，其他满足所需假设的边界条件在使用半光滑Newton方法实现时也是适用的。在所有数值算例中，我们省略了单位，但

## 6 结论

本文研究了半变变分不等式的正则化方法。首先，我们提出了半变变分不等式的正则化方法，并给出了正则化误差的定量收敛性。其次，我们建立了离散误差分析。最后，将其应用于接触力学并验证了线性有限元的收敛阶。

## CRediT作者贡献声明

Xin Tan：撰写–原始草稿，方法论。Min Zhou：撰写–审阅与编辑。

## 利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能会影响本文所报告的工作。

Xin Tan | Min Zhou

宜宾学院数学与物理学院，四川宜宾，644000，中国