一种用于任意异质介质中非线性热电耦合问题的统一二阶多尺度方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A unified second-order multiscale approach for the nonlinear thermo-electric coupling problem in arbitrarily heterogeneous media

　　

摘要

本文提出了一种统一二阶多尺度方法（USOMS），用于求解任意非均匀介质中的非线性热-电耦合问题。该方法推广了传统的均匀化展开方法，克服了其固有的对周期性假设的依赖。通过引入修正函数，将非均匀介质中的材料分布信息和非线性演化信息从细观非均匀域传递到均匀化域的本构更新中，获得了温度和电场直至二阶导数项的展开表达式。在此基础上，建立了完整的有限元框架，其中修正函数仅在少数代表性宏观温度点处求解，其他温度点的值通过插值获得。均匀化系数同样进行计算，并拟合为温度的函数。数值实验表明，与传统有限元方法相比，所提方法在保持精度的同时降低了整体计算复杂度。所提出的算法适用于分析复杂材料的热电性能，为多物理场耦合问题在非均匀介质中的高效模拟提供了新的视角，在能源、电子设备等领域的工程设计与优化中具有广泛的应用前景。

引言

在后摩尔时代，仅仅缩小晶体管已经不足以继续推动集成电路的性能提升。行业的关注点已从推动器件微型化的极限转向重新思考系统集成的方式。先进封装技术，特别是3D堆叠和异构集成，如今允许通过垂直互连将多个小芯片组合在单一封装中。这种方法不仅突破了单芯片的功能和带宽限制，还显著提高了集成密度和异构能力，为延长摩尔定律的轨迹提供了切实可行的途径。

封装结构本质上是由多种材料组成的多尺度系统[1]。在这样的系统中，特征尺寸可以从微米级的互连层跨越到毫米级的基板层级。不同尺度域在热传导、电信号传输和机械行为方面表现出显著差异。这种复杂的跨尺度耦合对封装设计、材料匹配和过程控制提出了更高的要求。在实际工作条件下，封装结构承受着严峻的电热载荷，局部热通量可达每平方厘米千瓦量级。这伴随着温度相关材料属性和焦耳热效应等非线性因素[2], [3], [4]，导致电热耦合行为表现出复杂的非线性演化特征。直接使用传统单尺度数值方法求解此类问题通常需要极高的计算成本和存储开销，难以满足工程对仿真效率和精度的双重需求。因此，建立适用于非线性电热耦合问题的高效多尺度计算方法，对于准确预测复合封装材料的服务性能和指导先进封装结构的设计优化具有重要的理论意义和工程应用价值。

在早期研究中，许多学者致力于时变非线性热-电耦合问题的理论分析和数值求解[5], [6], [7], [8], [9], [10]。在早期研究中，Allegretto及其合作者[5], [6]建立了此类问题解的存在性，并发展了基于有限元方法的a posteriori误差估计理论。随后，Akrivis和Larsson [7]提出了线性隐式有限元格式，并在解具有足够正则性的假设下推导了最优阶误差估计。此后，Sun等人[8], [9]为此类问题发展了Crank-Nicolson和混合有限元方法，通过时空误差分解技术实现了最优收敛性分析。Shi及其同事[10], [11]构建了非协调有限元方法和线性化Galerkin有限元格式，并获得了无条件超收敛误差估计。对于非线性电-热-力耦合问题，研究者们也发展了各种全离散数值格式，并在适当的正则性假设下建立了相应的线性收敛或最优收敛阶[12], [13], [14]。然而，这些数值方法仍然局限于均匀材料，并未纳入微观材料非均匀性对复合结构中非线性多物理场演化的影响。

为克服上述局限，针对具有周期性微观结构的复合材料，均质化方法和多尺度分析方法相继被提出，并逐渐发展为相对成熟的计算框架[15], [16], [17], [18], [19], [20]。作为其中的代表性方法，渐近均匀化方法（AHM）[21], [22], [23]由Bensoussan、Lions和Oleinik等人于20世纪70年代发展而成，主要用于分析具有微小周期性微观结构的非均匀材料中出现的双尺度问题。具体而言，该方法构造多尺度问题解的渐近展开，并推导展开中各阶项满足的数学模型。对于具有微小周期构型的复合结构，Cui及其合作者不仅提出了高阶渐近均匀化展开形式并发展了适用于工程计算的二阶双尺度（SOTS）方法[24], [25], [26], [27], [28], [29]，还进一步考虑了非正交曲线坐标系中的多尺度问题[30], [31], [32], [33]。此外，他们建立了统计二阶双尺度方法以处理具有随机振荡系数的多尺度问题[34], [35]。这些工作共同推动了均质化方法从理论分析向数值计算和实际应用的发展。

关于非线性热传导问题，Andrianov等人[36]进行了渐近分析以研究具有非线性热属性的复合材料的热传导行为。Muliana和Kim [37]提出了针对层状复合材料非线性等效热导率的双尺度均质化框架。Zhai等人[38]针对温度相关的周期复合材料的瞬态热传导提出了时空渐近展开方法。在电热耦合或多物理场耦合问题中，Wang等人[39]研究了复合材料中耦合热弹性系统的多尺度计算和收敛性分析，展示了多尺度方法在复杂物理场耦合问题中的适用性。Dong等人[40], [41], [42]研究了多场耦合下温度相关热物性复合材料的多尺度计算方法，针对动力热力耦合问题提出了二阶双尺度和高阶多尺度方法。具体而言，针对复合结构的非线性热-电耦合问题，他们提出了一种高阶多尺度计算方法。

尽管已有大量研究对周期性复合材料中的线性和非线性多尺度问题进行了广泛探索，但现有方法对于任意非均匀域中的非线性热-电耦合问题仍存在一定局限性。受此前关于稳态热传导问题多尺度展开方法研究的启发[43]，本文提出了一种适用于任意非均匀域中非线性热-电耦合问题的二阶多尺度算法。所提出的算法在宏观尺度捕捉整体热电响应的同时，在微观尺度精细刻画局部非线性行为，实现了高计算效率和精度。通过对若干数值算例的分析，验证了该方法的有效性和可靠性，从而为复杂非均匀材料中非线性热-电耦合问题的多尺度建模与仿真提供了一种新方法。

在引言之后，本文其余部分的组织结构如下。第2节给出任意非均匀域中非线性热-电耦合问题的控制方程，并详细阐述二阶多尺度展开方法，包括修正函数和均质化系数的推导。第3节描述所提出的统一二阶多尺度方法（USOMS）的有限元算法。第4节提供三个数值算例以验证方法的精度和效率。最后，第5节总结论文的关键发现，并展望未来工作的潜在方向。

全文中，我们采用Einstein求和约定，即同一项中重复出现的指标表示对该指标求和，除非另有说明。

## 章节片段

### 控制方程与二阶展开方法

定义在单连通复合域Ω??上的热-电耦合问题（??=2,3）如下[3], [4]：

$$\begin{cases}
(\rho c)_\varepsilon(\theta_\varepsilon, \mathbf{x}) \dfrac{\partial \theta_\varepsilon(\mathbf{x}, t)}{\partial t} - \dfrac{\partial}{\partial x_i}\left(k_{ij}^\varepsilon(\theta_\varepsilon, \mathbf{x}) \dfrac{\partial \theta_\varepsilon(\mathbf{x}, t)}{\partial x_j}\right) = \sigma_{ij}^\varepsilon(\theta_\varepsilon, \mathbf{x}) \dfrac{\partial \phi_\varepsilon(\mathbf{x}, t)}{\partial x_i} \dfrac{\partial \phi_\varepsilon(\mathbf{x}, t)}{\partial x_j} + f_\theta(\mathbf{x}, t) & \text{在 } \Omega \times (0, T) \text{ 内}, \\
-\dfrac{\partial}{\partial x_i}\left(\sigma_{ij}^\varepsilon(\theta_\varepsilon, \mathbf{x}) \dfrac{\partial \phi_\varepsilon(\mathbf{x}, t)}{\partial x_j}\right) = f_\phi(\mathbf{x}, t) & \text{在 } \Omega \times (0, T) \text{ 内}, \\
\theta_\varepsilon(\mathbf{x}, t) = \hat{\theta}(\mathbf{x}, t) & \text{在 } \partial\Omega_\theta \times (0, T) \text{ 上}, \\
\phi_\varepsilon(\mathbf{x}, t) = \hat{\phi}(\mathbf{x}, t) & \text{在 } \partial\Omega_\phi \times (0, T) \text{ 上}, \\
k_{ij}^\varepsilon(\theta_\varepsilon, \mathbf{x}) \dfrac{\partial \theta_\varepsilon(\mathbf{x}, t)}{\partial x_j} n_i = q(\mathbf{x}, t) & \text{在 } \partial\Omega_q \times (0, T) \text{ 上}, \\
\sigma_{ij}^\varepsilon(\theta_\varepsilon, \mathbf{x}) \dfrac{\partial \phi_\varepsilon(\mathbf{x}, t)}{\partial x_j} n_i = d(\mathbf{x}, t) & \text{在 } \partial\Omega_d \times (0, T) \text{ 上}, \\
\theta_\varepsilon(\mathbf{x}, 0) = \theta^{init}(\mathbf{x}) & \text{在 } \Omega \text{ 内}.
\end{cases}$$

其中温度θε(x, t)和电势φε(x, t)为...

### USOMS的有限元算法

所提出的USOMS框架由修正函数模型、宏观均质化模型和高阶多尺度解组成，形成一个封闭的求解系统。需要注意的是，所有修正函数均依赖于宏观温度θ0。因此，由于这些修正函数的连续性，它们仅需在少数代表性宏观温度采样点处求值，而非在遇到的每一个温度点处求值。

**插值**

### 数值算例

本节给出数值算例以验证所提出多尺度方法的有效性和计算精度。由于非均匀材料中的热-电耦合问题通常没有解析解，我们采用标准有限元方法在细网格上获得的数值解作为参考解。数值实验针对周期分布和随机分布的复合材料进行，以...

### 结论与未来工作

本文提出了一种适用于任意非均匀介质中非线性热-电耦合问题的统一二阶多尺度（USOMS）展开方法。该方法克服了传统均质化方法固有的对周期性假设的依赖。通过构造修正函数，该方法在微观尺度准确捕捉材料非均匀性和非线性，同时在宏观尺度高效求解热-电耦合方程。数值结果表明...

### CRediT作者贡献声明

叶舒予：撰写—原稿撰写、可视化、调研、形式化分析。马强：撰写—审阅与编辑、监督、资金获取、概念构思。崔军智：监督、方法论、概念构思。

### 利益冲突声明

作者声明他们不存在已知的可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

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叶舒予 | 马强 | 崔军智

龙岩学院 数学与信息工程学院，福建 364012，中华人民共和国