《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A diffusive epidemic model with a nonlinear incidence mechanism
摘要
本文研究了一种带有非线性发病机制的扩散型易感-感染-易感（SIS）传染病模型，该模型设置在空间非均匀环境中。在某些参数范围内，我们建立了模型唯一经典解的全局存在性和有界性。当疾病导致的死亡率在整个区域内为正时，我们研究了模型解的长时间行为，证明疾病总是趋于灭绝，且易感种群收敛于零或某一正常数。当疾病导致的死亡率可以忽略不计时，我们首先建立了地方病平衡的存在唯一性。然后，我们利用上下解方法和构造适当的Lyapunov函数，在某些条件下证明了无病平衡和地方病平衡的全局吸引性。结果表明，系统表现出阈值型或非阈值型动力学行为，这取决于非线性发病机制。最后，我们进行了一些数值模拟来说明和验证理论结果。
引言
发病机制在传染病模型中起着基本作用[1]。在过去几十年中，人们提出了众多数学模型来描述疾病传播的动力学。经典的以常微分方程（ODE）形式表述的SIS传染病模型可表示为：
$\frac{dS}{dt} = -\beta f(S,I) + \gamma I, \quad t > 0,$
$\frac{dI}{dt} = \beta f(S,I) - \gamma I, \quad t > 0,$
其中S和I分别是易感者和感染者的密度。β, γ > 0分别是传播率和康复率，发病机制$f(S, I)$描述了易感者与感染者之间的相互作用。在Kermack和McKendrick的开创性工作中[2]，疾病传播由双线性发病函数$f(S, I) = SI$来描述。然而，正如几项研究所指出的[1]、[3]、[4]，这种双线性发病函数存在一些缺陷，在某些情况下可能需要修改。因此，文献[5]、[6]、[7]、[8]及其参考文献中提出了许多不同的非线性发病函数来描述传染病的传播。Liu等人[9]、[10]研究了一类具有$f(S, I) = S^q I^p$（p, q > 0）的ODE SIS传染病模型，并证明这种非线性发病机制可以表现出比双线性发病更丰富的动力学行为。他们进一步考察了具有饱和发病函数$f(S, I) = \frac{SI^p}{1 + \alpha I^{p-1}}$（p > 1, α > 0）的相应传染病模型，获得了关于全局稳定性和Hopf分岔的结果。Kaddar[6]研究了具有Beddington-DeAngelis发病函数$f(S, I) = \frac{SI}{c_1 S + c_2 I + 1}$的ODE SIR传染病模型，并建立了该模型的相关稳定性结果。这里，c?, c? ≥ 0是常数，分别表征控制措施对易感种群和感染种群的饱和抑制效应。对于其他形式的非线性发病机制，可以参考[9]、[10]、[11]及其参考文献。
另一方面，环境异质性和个体的运动对疾病动力学有显著影响，但这些因素在经典ODE传染病模型中往往被忽略。Allen等人[12]对空间非均匀环境中具有频率依赖发病函数$\frac{SI}{S+I}$的SIS偏微分方程（PDE）传染病模型进行了开创性研究。这项工作引发了对各类PDE传染病模型的广泛研究，包括反应-扩散模型[5]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]，反应-扩散-对流模型[22]、[23]、[24]、[25]，以及交叉扩散传染病模型[26]、[27]、[28]、[29]、[30]、[31]及其参考文献。特别是，Peng等人[32]考虑了以下具有幂型非线性发病的SIS反应-扩散模型：
$\frac{\partial S}{\partial t} = d_S \Delta S - \beta(x) S^q I^p + \gamma(x) I, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$
$\frac{\partial I}{\partial t} = d_I \Delta I + \beta(x) S^q I^p - (\gamma(x) + \mu(x)) I, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$
$\frac{\partial S}{\partial \nu} = \frac{\partial I}{\partial \nu} = 0, \quad x \in \partial\Omega, \quad t > 0,$
$S(x, 0) = S_0(x), \quad I(x, 0) = I_0(x), \quad x \in \Omega.$
这里$\Omega \subset \mathbb{R}^n$（n ≥ 1）是一个具有光滑边界?Ω的有界区域，ν是?Ω上的单位外法向量。常数d_S和d_I分别是易感者和感染者的扩散系数；μ表示疾病导致的死亡率。作者建立了系统(1.2)解的全局存在性和有界性，并在某些条件下考察了其长时间行为。对于$\overline{\Omega}$上μ ≡ 0的情况，大多数先前的研究集中在q = p = 1[13]、[19]、[20]、[33]、[34]和一维空间区域中0 < p < 1[35]的情形。值得注意的是，p > 1的模型可以表现出双稳态动力学[32]、[36]，其特征为稳定的地方病平衡与稳定的无病平衡共存，这反映了一种Allee效应型现象。最近，Gao等人[5]研究了系统(1.2)具有饱和发病函数$f(S, I) = \frac{SI}{S + I + m(x)}$的情况，其中m是一个非负函数，描述由于基因突变或公共卫生措施等因素而天生对特定感染具有抵抗力的亚种群。他们从基本再生数出发分析了阈值动力学，并在某些条件下建立了无病平衡和地方病平衡的全局吸引性。Li等人[30]进一步研究了在$\overline{\Omega}$上μ ≡ 0且0 < p ≤ 1的情况下系统(1.2)的全局吸引性。此外，Peng等人[37]、[38]研究了当0 < p ≤ 1且总人口恒定或变化时，系统(1.2)的地方病平衡关于易感者和/或感染者种群小运动速率的空间分布。
最近，She等人[39]考虑了以下具有饱和发病的易感-感染-康复-易感（SIRS）反应-扩散模型：
$\frac{\partial S}{\partial t} = d_S \Delta S + \Lambda - \eta S - \frac{\beta S I^p}{1 + \alpha I^p} + \delta R, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$
$\frac{\partial I}{\partial t} = d_I \Delta I + \frac{\beta S I^p}{1 + \alpha I^p} - (\eta + \gamma) I, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$
$\frac{\partial R}{\partial t} = d_R \Delta R + \gamma I - (\eta + \delta) R, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$
$\frac{\partial S}{\partial \nu} = \frac{\partial I}{\partial \nu} = \frac{\partial R}{\partial \nu} = 0, \quad x \in \partial\Omega, \quad t > 0,$
$S(x, 0) = S_0(x), \quad I(x, 0) = I_0(x), \quad R(x, 0) = R_0(x), \quad x \in \Omega.$
其中Λ和η分别是物种的补充率和自然死亡率。δ表示康复个体失去免疫力并返回易感类别的速率。作者建立了系统(1.3)解的全局存在性和有界性。对于相应的ODE模型，他们分析了无病平衡和地方病平衡的存在性和稳定性，从基本再生数出发证明了鞍结和Hopf分岔的存在，并揭示了Allee效应的存在。事实上，与(1.3)相关的ODE系统的动力学已吸引了大量学者的关注。例如，Wang和Ruan[40]研究了p = 2的情况，表明该系统可以表现出鞍结分岔、超临界和亚临界Hopf分岔，以及同宿分岔。特别是，他们还建立了零个、一个或两个极限环的存在性。对于同样的p = 2情况，Tang等人[41]进一步研究了极限环和同宿环的共存，并给出了极限环唯一性的充分条件。Zhang等人[42]对p > 1的情况进行了详细分岔分析，表明随着系统参数的变化，系统可以发生鞍结分岔、余维二的Bogdanov-Takens分岔和余维二的退化Hopf分岔。对于其他相关工作，可以参考[43]、[44]及其参考文献。
受这些模型的启发，本文考虑了以下具有一般幂型非线性发病的SIS传染病反应-扩散模型：
$\frac{\partial S}{\partial t} = d_S \Delta S - \frac{\beta(x) S^q I^p}{c_1(x) S^\sigma + c_2(x) I^\tau + c_3(x)} + \gamma(x) I, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$
$\frac{\partial I}{\partial t} = d_I \Delta I + \frac{\beta(x) S^q I^p}{c_1(x) S^\sigma + c_2(x) I^\tau + c_3(x)} - (\gamma(x) + \mu(x)) I, \quad x \in \Omega, \quad t > 0,$
$\frac{\partial S}{\partial \nu} = \frac{\partial I}{\partial \nu} = 0, \quad x \in \partial\Omega, \quad t > 0,$
$S(x, 0) = S_0(x), \quad I(x, 0) = I_0(x), \quad x \in \Omega.$
这里，饱和发病率$c_i$（i = 1, 2, 3）是定义在区域Ω上的空间依赖函数。假设：
(A1) 0 < σ ≤ q和0 < τ ≤ p为常数，$0 < \beta, \gamma \in C^\alpha(\overline{\Omega})$且$0 \leq \mu, c_i \in C^\alpha(\overline{\Omega})$（i = 1, 2, 3），其中α ∈ (0, 1)，使得$c_1(x), c_2(x) > 0$或$c_3(x) > 0$，对$x \in \overline{\Omega}$成立。
(A2) $S_0 \geq 0$，$I_0 \geq 0$，在$\overline{\Omega}$上不恒为零，且$(S_0, I_0) \in C(\overline{\Omega}) \times W^{1, r_0}(\Omega)$，其中某个r? > max{2, n}。此外：
(i) 若0 < q < 1，则$S_0 > 0$在$\overline{\Omega}$上成立；
(ii) 若0 < p < 1，则$I_0 > 0$在$\overline{\Omega}$上成立。
在本文中，我们研究一般发病机制和疾病导致的死亡率μ对疾病动力学的影响。先验$L^\infty$估计对于研究反应-扩散系统解的长时间行为至关重要。在先前的工作中，大多数发病函数具有$g(S, I) \cdot S$或$h(S, I) \cdot I$的形式，它们在S或I中至多线性增长，从而满足线性增长条件。这一性质使得可以从解的$L^1$界推导出$L^\infty$界。对于文献[13]中研究的具有$f(S, I) = SI$的SIS模型，比较原理意味着S是一致有界的，因此上述增长条件仍然满足。因此，解的全局存在性和有界性可以在任何空间维度中建立[28]、[29]、[31]。然而，对于具有一般幂型非线性发病的系统(1.4)，线性增长条件不再满足，因此上述策略不再适用。此外，文献[32]中对具有$f(S, I) = S^q I^p$的SIS系统使用的对偶论证方法也无法推广到系统(1.4)，因为一般非线性发病阻碍了在无额外假设的情况下推导建立$L^\infty$界所需的$L^{2k}$估计。因此，从先验$L^1$估计引导至$L^\infty$估计成为一个具有挑战性的问题。为了克服这些困难，需要对反应项施加额外条件。通过基于热半群型估计推导适当的能量估计并采用循环论证，我们在某些参数范围内建立了系统(1.4)经典解的全局存在性和有界性。
当疾病导致的死亡率在整个区域内为正时，我们研究了系统(1.4)解的长时间行为，并证明疾病总是趋于灭绝，而易感种群收敛于零或某一正常数。当疾病导致的死亡率可以忽略不计时，我们考虑了系统(1.4)的全局动力学。我们首先在
某些条件下建立了地方病平衡的存在唯一性结果。据我们所知，即使对于具有$f(S, I) = S^q I^p$的系统，这些结果也是新的。接下来，我们研究了没有疾病导致的死亡率时系统(1.4)的动力学行为。事实上，在没有疾病导致的死亡率的情况下，系统的动力学行为变得更加复杂。对于文献[12]、[13]中具有$f(S, I) = SI$或$\frac{SI}{S+I}$的SIS系统，其全局动力学完全由基本再生数R?决定。更确切地说，系统表现出阈值型动力学行为：若R? < 1，则无病平衡全局吸引；若R? > 1，则至少存在一个地方病平衡。然而，上述系统中地方病平衡的全局吸引性尚未完全解决，目前仅在少数特殊情况下已知。对于具有一般非线性发病函数的系统(1.4)，这一问题更具挑战性。对于文献[12]、[30]中具有$f(S, I) = S^q I$或$\frac{SI}{S+I}$的SIS系统，稳态关于R?的全局吸引性仅在以下两种特殊情况下得到建立：$\beta(x) = r\gamma(x)$（r > 0在$\overline{\Omega}$上成立），以及$d_S = d_I$。此外，对于文献[45]中具有$f(S, I) = \frac{SI}{c_1 S + c_2 I + c_3}$的SIS系统，当$c_3 > 0$在$\overline{\Omega}$上成立时，要获得无病平衡的全局吸引性，必须施加R?足够小的额外条件。即使在文献[5]中c? ≡ c? ≡ 1的特殊情况下，无病平衡的全局吸引性也需要条件β(x) ≤ γ(x)在$\overline{\Omega}$上成立，这实际上比阈值条件R? < 1更为严格。通过应用上下解方法和构造适当的Lyapunov函数，我们在适当的条件下研究了系统(1.4)的全局动力学。更确切地说，当p = 1时，系统表现出阈值型动力学行为：若R? ≤ 1，则无病平衡全局吸引；若R? > 1，则地方病平衡全局吸引。相比之下，当0 < p < 1时，系统表现出非阈值型动力学行为：解总是收敛于地方病平衡（当t → +∞），无论R?取何值。最后，我们进行数值模拟来说明和验证理论结果。
本文组织结构如下。在第2节中，我们给出一些预备知识并陈述主要结果。第3节建立了系统(1.4)解的全局适定性和性质。第4节研究了$\overline{\Omega}$上μ > 0时系统(1.4)解的长时间行为。第5节建立了地方病平衡的存在唯一性，并研究了0 < p ≤ 1时$\overline{\Omega}$上μ ≡ 0的系统(1.4)稳态的全局吸引性。最后，第6节通过数值模拟来验证理论结果。
第2节 预备知识和主要结果
在本节中，我们首先给出一些预备知识，然后给出本文的主要结果。
第3节 全局适定性和解的性质
在本节中，我们假设(A1)–(A2)成立。我们建立了系统(1.4)解的全局存在性、唯一性、正性和一致有界性。首先，我们证明关于解的局部存在性和正性的以下结果。
引理3.1 假设(A1)–(A2)成立。则系统(1.4)在$\overline{\Omega} \times [0, T_{\max})$上存在唯一解(S, I)，其中$T_{\max} \in (0, +\infty]$为最大存在时间。此外，(S, I)满足：
$S(x, t), I(x, t) > 0, \quad (x, t) \in \overline{\Omega} \times (0, T_{\max}),$
且若$T_{\max} < +\infty$，则
$\lim_{t \to T_{\max}} (\|S(\cdot, t)\|_{L^\infty}(\ldots))$
（关于具有正疾病导致死亡率的解的长时间行为）
在本节中，我们假设(A1)–(A2)成立。
我们研究方程(1.4)在$\bar{\Omega}$上$\mu>0$时解的长时间行为。我们首先回顾一个有用的引理（参见[32]、[48]），如下所示。
**引理 4.1** 设$a\geq 0$和$b>0$为常数。假设$\phi\in C^1([a,+\infty))$，$\psi\geq 0$，$\phi$在$[a,+\infty)$下有界，且满足
$$\phi'(t)\leq -b\psi(t)+g(t),\quad t\in[a,+\infty),$$
其中$\|g\|_{L^1([a,+\infty))}<+\infty$。进一步假设$\psi\in C^1([a,+\infty))$且$\psi'(t)\leq M$在$[a,+\infty)$上成立，或$\psi\in C^{\alpha'}([a,+\infty))$，其中某个常数$\alpha'\in(0,1)$且$\|\psi\|_{C^{\alpha'}([a,+\infty))}\leq M$。
**无疾病致死率的全球动力学**
本节中，我们假设(A1)–(A2)成立且$\mu\equiv 0$在$\bar{\Omega}$上。我们首先建立系统(2.3)地方病平衡的存在唯一性，然后在适当条件下研究当$0
**数值模拟**
本节中，我们进行数值模拟以验证理论结果，并为疾病控制提供生物学见解。为简化问题，我们考虑一维区域$\omega=(0,10)\subset\mathbb{r}$。
**credit作者贡献声明**
王春鹏：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，指导，调查。王延熬：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，调查。周明军：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，调查。
**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的与本文所报告工作相关的竞争性经济利益或个人关系。
**王春鹏 | 王延熬 | 周明军**
吉林大学数学学院，长春，130012，中国 1$时系统(2.3)稳态的全局吸引性。 **数值模拟** 本节中，我们进行数值模拟以验证理论结果，并为疾病控制提供生物学见解。为简化问题，我们考虑一维区域$\omega=(0,10)\subset\mathbb{R}$。 **credit作者贡献声明** 王春鹏：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，指导，调查。王延熬：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，调查。周明军：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，调查。 **利益冲突声明** 作者声明他们没有已知的与本文所报告工作相关的竞争性经济利益或个人关系。 **王春鹏 | 王延熬 | 周明军**>
**数值模拟**
本节中，我们进行数值模拟以验证理论结果，并为疾病控制提供生物学见解。为简化问题，我们考虑一维区域$\omega=(0,10)\subset\mathbb{r}$。
**credit作者贡献声明**
王春鹏：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，指导，调查。王延熬：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，调查。周明军：撰写——审阅与编辑，撰写——初稿撰写，调查。
**利益冲突声明**
作者声明他们没有已知的与本文所报告工作相关的竞争性经济利益或个人关系。
**王春鹏 | 王延熬 | 周明军**
吉林大学数学学院，长春，130012，中国>
