求解Oseen方程的无稳定化等阶速度-压力逼近弱Galerkin方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A stabilizer-free weak Galerkin method with equal-order velocity-pressure approximation for Oseen equations

　　

# 摘要

本文提出了一种针对Oseen问题的新型无稳定化弱Galerkin有限元方法，采用连续有限元逼近压力。所提方法对速度和面未知量的逼近均使用不连续多项式空间，阶数为 $k$（$k \geq 1$），而对压力的离散化采用同阶 $k$ 的连续多项式。我们建立了速度在离散能量范数和 $L^2$ 范数下的严格误差估计，同时压力误差也在 $L^2$ 范数下得到控制。该方法的一个显著特征在于：证明了速度逼近在离散能量范数和 $L^2$ 范数下均具有一阶超闭合性质。数值实验验证了理论收敛率和超闭合特性。

# 引言

本文引入一类新的弱Galerkin（WG）方法用于求解如下Oseen方程：

$$-\nu\Delta \mathbf{u} + (\boldsymbol{\beta}\cdot\nabla)\mathbf{u} + \nabla p = \mathbf{f} \quad \text{在 } \Omega \text{ 中，}$$
$$\nabla\cdot\mathbf{u} = 0 \quad \text{在 } \Omega \text{ 中，}$$
$$\mathbf{u} = 0 \quad \text{在 } \partial\Omega \text{ 上，}$$

其中 $\boldsymbol{\beta} = (\beta_1, \beta_2) \in [W^{1,\infty}(\Omega)]^2$ 是给定对流场，满足 $\nabla\cdot\boldsymbol{\beta} = 0$。算子 $\boldsymbol{\beta}\cdot\nabla = \sum_{i=1}^{2}\beta_i \frac{\partial}{\partial_i}$。此处 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的有界区域，$\mathbf{u} = (u_1, u_2): \Omega \to \mathbb{R}^2$ 是速度，$p: \Omega \to \mathbb{R}$ 是压力，$\mathbf{f} = (f_1, f_2): \Omega \to \mathbb{R}^2$ 是源项。

Oseen问题作为不可压缩Navier-Stokes系统的线性化形式，是粘性流动的基本数学模型。人们已经发展了广泛的有限元方法来对其进行数值逼近，包括经典协调有限元方法[1]、混合有限元方法[2,3]、伪应力-速度有限元方法[4]以及各种稳定化方法。后者包括最小二乘有限元方法[5]、局部投影稳定化有限元方法[6,7]及其在多边形网格上的虚拟元推广[8]、无残差气泡有限元[9]以及连续内罚方法[10]。此外，不连续Galerkin方案也得到了广泛研究，包括局部不连续Galerkin方法[11]和可混合不连续Galerkin方法[12]。

弱Galerkin（WG）方法最初由Wang和Ye针对本原形式的二阶椭圆问题提出[13]，随后被推广到混合形式和多面体网格[14]。此后该方法被应用于Stokes问题[15]，并在[16]中提出了混合化WG方法。为简化公式并去除人为稳定化项，一系列工作[17-21]发展了无稳定化WG方法，并已证明在多面体网格上的Stokes问题上实现了超收敛[22]。超收敛WG方法也已被研究用于非自伴和不定椭圆问题[23]以及具有连续压力逼近的Stokes问题[24]。

对于Oseen方程，首个WG方法由[25]提出。近期，提出了广义WG方法[26]，并为对流主导的Oseen问题设计了迎风格WG方法[27,28]。在本文中，我们提出了一种针对Oseen问题的无稳定化WG方法，对速度和压力采用同阶逼近。为速度逼近建立了能量范数和 $L^2$ 范数下的超收敛误差估计。

所提出的WG方法的一个显著特征是其使用同阶不连续速度空间和连续压力空间，而无需任何额外稳定化。这一选择之所以可行，是因为不连续速度空间在与连续压力配对时天然满足离散inf-sup条件，而经典的连续同阶配对则无法满足。因此，稳定性内生于格式设计之中，无需人工稳定化。

本文延续了[22,24]的无稳定化理念，但在两个方面与已有框架存在本质区别：后者仅限于Stokes问题，且严重依赖非等阶逼近。我们的贡献是双重的：首先，将该方法推广至Oseen问题，其中对流项通过对称双线性形式进行离散化；其次，也是更为重要的，我们采用了等阶WG离散，与前述工作中使用的非等阶空间形成对比。这一选择降低了计算成本，但在无罚项的情况下使inf-sup条件变得更为微妙。据我们所知，这是首个针对中等Péclet数区域下Oseen问题开发的无稳定化等阶WG方案。

本文采用标准Sobolev空间 $W^{m,p}(D)$，配备范数 $\|v\|_{m,p} := \|v\|_{W^{m,p}(D)}$ 和半范数 $|v|_{m,p}$。特别地，当 $p=2$ 时，我们采用惯例记号 $H^m(D) := W^{m,2}(D)$，相应范数记为 $\|v\|_m$，半范数记为 $|v|_m$。

本文其余部分组织如下：第2节介绍预备记号及针对Oseen方程的新型弱Galerkin格式及其适定性；第3节推导所提格式的错误方程，为误差估计做准备；第4节建立速度在能量范数和 $L^2$ 范数下的超收敛误差估计，并获得压力在 $L^2$ 范数下的最优误差估计；第5节给出数值实验以验证理论结果。

# 第2节 预备知识

设 $\mathcal{T}_h$ 为区域 $\Omega$ 的形状规则三角形剖分。记 $\mathcal{E}_h$ 为 $\mathcal{T}_h$ 中所有边的集合，令 $\mathcal{E}_h^0 = \mathcal{E}_h \setminus \partial\Omega$ 为所有内边的集合。对每个单元 $T \in \mathcal{T}_h$，记其直径为 $h_T$，网格尺寸 $h = \max_{T \in \mathcal{T}_h} h_T$。

设 $\mathbb{P}_k(T)$ 为 $T$ 上次数不超过 $k$ 的所有多项式。记

$$\mathbb{P}_k(\mathcal{T}_h) := \{v : v|_T \in \mathbb{P}_k(T), \forall T \in \mathcal{T}_h\},$$
$$\mathbb{P}_k(\mathcal{E}_h) := \{v : v|_e \in \mathbb{P}_k(e), \forall e \in \mathcal{E}_h\}.$$

则对任意 $k \geq 1$ 和给定的 $\mathcal{T}_h$，我们定义如下速度有限元空间 $S_h$：

$$S_h = [\mathbb{P}_k(\mathcal{T}_h)]^2 \times \cdots$$

# 第3节 误差方程

在本小节中，我们将建立控制WG逼近的残差误差方程。定义误差组分为：

$$\mathbf{e}_u^h := \Pi_h \mathbf{u} - \mathbf{u}^h \in S_h,$$
$$e_p^h := \mathcal{I}_h p - p^h \in Q_h,$$

其中 $\mathcal{I}_h: H^{k+1}(\Omega) \to Q_h$ 表示满足如下逼近估计的经典Lagrange插值算子：

$$\|p - \mathcal{I}_h p\| + h\|\nabla(p - \mathcal{I}_h p)\| \leq C h^{k+1} |p|_{k+1},$$

常数 $C > 0$ 与网格尺寸 $h$ 无关。

**引理 3.1** 对任意函数 $\mathbf{v} = \{\mathbf{v}_0, \mathbf{v}_b\} \in S_h^0$，我们有

$$-\nu(\Delta \mathbf{u}, \mathbf{v}_0)_{\mathcal{T}_h} = a_h(\Pi_h \mathbf{u}, \mathbf{v}) - \nu \ell_1(\mathbf{u}, \mathbf{v}),$$

其中粘性一致性项定义为

$$\ell_1(\mathbf{u}, \mathbf{v}) := \langle \mathbf{n}\cdot(\nabla\mathbf{u} - \mathcal{R}_h(\nabla\mathbf{u})), \mathbf{v}_0 - \mathbf{v}_b \rangle_{\partial\mathcal{T}_h}.$$

**证明**

# 第4节 速度在能量范数和压力在 $L^2$ 范数下的误差估计

本小节将对WG格式 (2.9a)-(2.9b) 进行严格的收敛性分析。我们建立速度逼近 $u^h$ 在离散能量范数 $\|\|\cdot\|\|$ 下的一阶超收敛性质，并在标准 $L^2$ 范数下建立压力逼近 $p^h$ 的最优阶误差估计。这些结果共同展示了所提弱Galerkin离散化的增强精度特性。

**引理 4.1** 一致性误差估计

设 $\mathbf{w} \in [H^{s+2}(\Omega)]^2 \cap S$，$q \in H^{s+1}(\Omega) \cap Q$。对任意 $\mathbf{v} \in S_h$，有

# 第5节 数值实验

本节给出数值实验以验证WG格式 (2.9a)-(2.9b) 的理论收敛率。

计算区域首先使用网格尺寸 $h = 1/4$ 的均匀三角形网格进行离散化，标记为细化级别1。后续网格细化采用均匀四边形分割策略，即每个三角形被分割为四个全等子三角形。图1展示了级别1的基础网格配置。我们实现了WG有限元方法

# 未引用参考文献

[34]

# CRediT作者贡献声明

Peng Zhu（朱鹏）：原创初稿撰写、软件、方法学、调查研究、形式化分析。
Yanping Chen（陈燕平）：审阅与编辑、验证、方法学、调查研究。
Xia Tao（陶霞）：审阅与编辑、验证、方法学、调查研究。

# 利益冲突声明

作者声明没有已知的竞争经济利益或个人关系可能影响本文所报告的工作。

Peng Zhu | Yanping Chen | Xia Tao
嘉兴学院 数据科学学院，浙江嘉兴，314001，中国