高雷诺数下不可压缩纳维-斯托克斯方程高阶BDF方法的鲁棒收敛性

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Robust convergence of high-order BDF methods for the incompressible Navier-Stokes equations at high Reynolds numbers

　　

# 摘要

为不可压缩流发展对雷诺数鲁棒的高阶后向差分格式（BDF）离散化仍然具有挑战性，主要原因是高于二阶的BDF方法不具有A-稳定性，因此无法采用标准的能量方法。本文构造了高达五阶的隐式-显式BDF（IMEX-BDF）格式族，并将其应用于高雷诺数下的不可压缩纳维-斯托克斯方程。我们发展了统一的整体能量框架，以建立这些高阶格式鲁棒的L2范数误差估计。关键要素是一类离散正交卷积核，它们将非A-稳定的BDF格式重构为等价的降序三角形卷积系统，并实现了整体离散能量论证。结果表明，相关的收敛常数独立于雷诺数，因此所提出的IMEX-BDF方法特别适合高雷诺数不可压缩流。统一分析还使得构建稳定的高效自适应变阶策略成为可能，该策略在高阶BDF离散化中平衡了稳定性和精度。针对雷诺数高达Re=10?的大量数值实验，包括绕圆筒流动，验证了所提格式的鲁棒性、精度和效率。

# 引言

考虑Ω??2中的二维不可压缩纳维-斯托克斯方程（NSE），

??u ? νΔu + u·?u + ?p = 0, x ∈ Ω × (0, T],
?·u = 0, x ∈ Ω × (0, T],

满足初始条件u(x, 0) = u?(x), x ∈ Ω，以及在?Ω上的无滑移边界条件。这里T > 0表示最终时间，u = (u?, u?)?表示流体速度，p为其压力。运动黏性系数由ν = 1/Re给出，其中Re ? 1为雷诺数。令动能定义为E[u] = ∫_Ω ?|u|2dx，线动量定义为M[u] = ∫_Ω u dx，角动量定义为M_x[u] = ∫_Ω u×x dx。在边界项消失的边界条件下，NSE（1.1）具有以下耗散和守恒性质：

- 动能耗散律：d/dt E[u] + ν‖?u‖2 = 0，t > 0。
- 线动量守恒律：d/dt M[u] = 0，t > 0。
- 角动量守恒律：d/dt M_x[u] = 0，t > 0。

NSE在流体力学中起着核心作用，并且对于设计精确高效的数值方法继续构成重大挑战，特别是在高雷诺数区域。一个关键困难源于不可压缩性、非线性对流和长时间稳定性之间的相互作用。标准的伽辽金离散化，如Taylor-Hood有限元，在离散水平上不能精确保持无散约束，这可能导致能量耗散和动量守恒等物理不变量在长时间模拟中退化[1]。为解决这些问题，结构保持的公式已被广泛研究。特别地，EMAC（能量、动量和角动量守恒）格式已被证明即使在弱约束无散条件（?·u, q）= 0对所有(u, q) ∈ X × Q成立（其中空间X := H?1(Ω)和Q := L?2(Ω)）下，也能保持基本的物理定律。这一特性使基于EMAC的离散化在速度仅弱无散时非常适合不可压缩流的长时间模拟，见[1]、[2]、[3]。令修正压力定义为p_emac := p ? ?|u|2，?u的对称部分定义为D(u) := ?(?u + (?u)?)。则(1.1)中动量方程的EMAC形式为[1]：

??u ? νΔu + ?p_emac + 2D(u)u + (?·u)u = 0, x ∈ Ω × (0, T],
?·u = 0, x ∈ Ω × (0, T]。

为简化，在本文中没有歧义时，我们用符号p表示p_emac。令双线性形式定义为a_ν(u, v) := ν(?u, ?v)和b(q, v) := (?·v, q)，其中u, v ∈ X，q ∈ Q。令三次形式定义为c(u, v, w) := (2D(u)v + (?·u)v, w)，其中u, v, w ∈ X。则(1.2)的有限元半离散化为：求u_h ∈ X_h ? X和p_h ∈ Q_h ? Q，使得

(??u_h, v) + a_ν(u_h, v) ? b(p_h, v) + c(u_h, u_h, v) = 0, ?v ∈ X_h,
(?·u_h, q) = 0, ?q ∈ Q_h。

以下，我们假设不可压缩约束仅在弱意义下强制执行。Charnyi等人[1]表明，基于后向Euler（BE）、BDF2和Crank-Nicolson（CN）方法的完全离散隐式时间步进格式，当应用于弱形式(1.3)时，保持了所有三个基本物理性质，即能量耗散、动量和角动量。这些结构保持性质的详细验证尤其针对CN格式提供；见[1, 3.3小节]。对线性化EMAC型离散化的进一步扩展在[2]中进行了研究，其中表明此类格式保持了这些不变量的子集，通常仅保持能量耗散或线动量和角动量，但不能同时保持全部三个。对于空间半离散形式(1.3)，Olshanskii和Rebholz[3, 3.1小节]建立了其结构保持特征可产生长时间数值稳定性。此外，利用EMAC对流项的特定抵消结构，他们推导了Re-半鲁棒误差估计，其中Gronwall常数独立于雷诺数，尽管未实现完全的压力鲁棒性；见[3, 定理3.2, 注3.3]。然而，这些Re-半鲁棒结果基本上依赖于对EMAC非线性项的完全隐式处理。因此，该论证不直接适用于EMAC对流项的显式或半显式处理。

对于EMAC非线性的显式或半显式处理，通常需要额外的稳定化或重构。Han等人[4]提出了一种基于标量辅助变量（SAV）重构的一阶后向Euler格式。他们的方法在保持动量和角动量守恒的同时保持了一个修正的离散能量律。然而，所得误差估计的收敛常数对雷诺数表现出强依赖性；见[4, 定理4.1]。在相关方向上，Demir等人[5]研究了EMAC型时间滤波方法，并推导了二阶精度的格式，具有类似的误差界类型，但仍然继承雷诺数依赖的常数。为了克服这一限制，grad-div稳定化被广泛用于在不可压缩流模拟中获得Re-鲁棒稳定性，特别是在高雷诺数区域；见例如[6]、[7]、[8]、[9]。最近，Lan等人[10]将grad-div稳定化项?κ?(?·u)（κ > 0）纳入EMAC格式，并建立了基于SAV的BE和BDF2格式的Re-鲁棒收敛结果，从而消除了[4]中观察到的雷诺数依赖性。我们还参见[11]、[12]、[13]了解NSE动态正则化Lagrange乘子方法的最新发展。然而，现有的Re-鲁棒分析在时间上仍然是低阶的，并且由于高阶BDF方法内在缺乏A-稳定性，无法直接扩展到更高级别的格式。因此，本工作的主要目标是为NSE发展一类高阶隐式-显式BDF_k（IMEX-BDF_k）格式，其中k=3,4,5，并建立统一的Re-鲁棒L2范数误差估计框架。

总之，本文的主要贡献如下：

(i) 我们构造了一类IMEX-BDF_k格式，其中k=3,4,5，并证明它们在完全离散水平上保持了离散线动量和角动量。

(ii) 我们为Re-鲁棒分析非A-稳定的高阶BDF离散化引入了整体离散能量框架。更精确地说，存在常数C，独立于逆黏性ν?1，使得对k=3,4,5有：

‖u(t_n) ? u_h^n‖ + ‖?·(u(t_n) ? u_h^n)‖ ≤ C·exp(t_n)·(τ? + h?)

(iii) 在上述误差分析的指导下，我们设计了一种自适应变阶策略，该策略根据解的局部时间行为调整BDF阶数，从而在不可压缩流模拟中平衡稳定性和精度。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了高达五阶的IMEX-BDF方法和离散正交卷积（DOC）重构，后者为(i)部分的证明提供了简洁的论证。第3节发展了整体离散能量框架并建立了(ii)部分的结果。第4节介绍了数值实验，证明所提出的IMEX-BDF_k格式结合(iii)中的自适应策略，在多尺度流问题中优于固定阶方法。最后，第5节对全文进行总结。

# 高阶IMEX-BDF格式

对于s ≥ 0和1 ≤ m ≤ ∞，令W^{s,m}(Ω)表示标准Sobolev空间，范数为‖·‖_{W^{s,m}}；设H^s(Ω) = W^{s,2}(Ω)，记|·|_{H^s}和‖·‖_{H^s}分别为对应的半范数和范数。对于s = 0，我们缩写L^m(Ω) = W^{0,m}(Ω)并写为‖·‖_{L^m}；特别地，在L2(Ω)上我们使用‖·‖和(·,·)。向量值空间定义为W^{s,m}(Ω) = [W^{s,m}(Ω)]2和H^s(Ω) = W^{s,2}(Ω)，遵循相同的约定；对于L2(Ω)，范数和内积同样记为‖·‖和(·,·)以简洁。

# 鲁棒L2范数误差估计

本节致力于所提出的IMEX-BDF_k格式(2.6)的Re-鲁棒L2范数误差分析。3.1小节引入了Re-鲁棒Stokes投影并建立了其正则性性质。3.2小节分析了离散卷积结构引起的一致性误差，并推导了EMAC型对流项的估计。3.3小节为速度误差分析发展了统一的Re-鲁棒框架。最后，3.4小节建立了相应的Re...

# 数值结果

在本节中，我们首先评估所提出的IMEX-BDF_k格式的精度。然后设计一种自适应变阶算法，以展示IMEX-BDF_k方法与该策略结合在多尺度时间相关问题上的优势。最后，我们将变阶算法应用于绕圆筒流动的模拟。

# 结论

本文建立了隐式-显式BDF方法（k=3,4,5）应用于高雷诺数不可压缩纳维-斯托克斯方程的统一Re-鲁棒收敛框架。主要的分析困难源于高阶BDF方法缺乏A-稳定性，这阻止了标准能量论证的直接使用。为了克服这一困难，我们采用DOC核技术，将高阶BDF方法重构为等价的降序三角形...

# 致谢

作者感谢编辑和匿名审稿人的宝贵意见和建议，这些意见和建议提高了本文的质量。

# CRediT作者贡献声明

Bingquan Ji：撰写——初稿。

Yushun Wang：概念构思。

Yuezheng Gong：项目管理。

# 利益冲突声明

作者声明他们没有已知的可能影响本文报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

# 作者信息

Bingquan Ji | Yushun Wang | Yuezheng Gong

教育部NSLSCS重点实验室，南京师范大学数学科学学院，南京，210023，中国