一种用于求解逆混合变分不等式的二阶时变投影动态模型及其应用

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：A Second-Order Time-Varying Projection Dynamical Model for Solving Inverse Mixed Variational Inequalities and Applications

　　

# 摘要

本文提出了一种新颖的基于投影的二阶时变动力系统（TVDS）来求解逆混合变分不等式（IMVIs）。所提出的模型在投影神经网络框架中引入了两个时间相关参数。在底层算子强单调性和Lipschitz连续性的假设下，我们建立了系统轨迹的存在性、唯一性和全局渐近稳定性。通过对连续模型进行有限差分离散化，导出了其离散时间对应形式，从而得到一种惯性投影算法。我们建立了保证所提出迭代方案线性收敛的充分条件，并使用Lyapunov直接方法严格分析了连续时间模型的稳定性。最后，通过三个数值算例，并与相应的一阶投影算法进行综合比较，证明所提出的二阶方法在保持可比残差精度的同时实现了显著更快的收敛速度。此外，通过边界拥堵定价和图像去模糊问题说明了其实用性。拥堵定价算例验证了理论条件并展示了惯性加速效果，而灰度和彩色图像去模糊实验则表明所提出的框架适用于更高维的逆问题，从而进一步支持了所提出方法的有效性和计算潜力。

## 引言

记实k维欧几里得空间为$\mathbb{R}^k$，其内积为$\langle \cdot, \cdot \rangle$，对应范数为$\|\cdot\|$。设$\mathcal{D}$为$\mathbb{R}^k$的一个非空子集，且是闭凸集。假设$\phi:\mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$是连续算子，$\mathcal{D} \subset \mathbb{R}^k$为非空闭凸集。我们考虑变分不等式问题（VIP）的标准形式，即求解满足以下条件的$u^* \in \mathcal{D}$：

$$\langle \phi(u^*), u - u^* \rangle \geq 0, \quad \forall u \in \mathcal{D}$$

VIP在理论和应用领域中已被广泛研究，包括优化、互补问题、鞍点（极小极大）问题、纳什均衡模型和不动点理论[1], [2]。因此，各种求解方法，特别是投影类方法，已得到广泛探索（见例如[3], [4], [5], [6], [7], [8]）。根据[1], [9], [10]，我们采用经典的投影定理，由此得出$VI(\phi, \mathcal{D})$的解$u^* \in \mathcal{D}$（如(1)中定义）等价于满足以下投影方程，其中$\mu > 0$为固定常数：

$$u^* = P_{\mathcal{D}}[u^* - \mu \phi(u^*)]$$

其中$P_{\mathcal{D}}: \mathbb{R}^k \to \mathcal{D}$是定义在$x = (x_1, \cdots, x_k)^T$上的投影算子：

$$P_{\mathcal{D}}(x_i) = \arg\min_{v \in \mathcal{D}} \|x - v\|$$

在数学模型的研究与发展中，逆问题发挥着特别重要的作用。这是因为给定问题通常可以重新表述为另一个问题，且两个问题的解密切相关。当某些问题无法直接求解时，逆问题的框架提供了获得有意义结果的强有力工具。因此，逆问题已在工程、金融、经济、交通和科学等多样化领域中得到广泛应用。例如，许多作者[11], [12], [13], [14]在不同背景下研究了逆问题，包括优化问题、微分方程和变分方程。在这一方向上，VIP的一个重要扩展是其逆形式。假设$\Psi: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$是单值连续算子。如果逆函数$x = \Psi^{-1}(u) = \phi(u)$存在，则VIP可以表述为逆变分不等式问题（IVIP），记为$IVIP(\Psi, \mathcal{D})$，即求解满足以下条件的$x^* \in \mathbb{R}^k$：

$$\Psi(x^*) \in \mathcal{D}$$

$$\langle v - \Psi(x^*), x^* \rangle \geq 0, \quad \forall v \in \mathcal{D}$$

虽然IVIP出现在多个领域，包括经济均衡模型[15]和交通网络分析[16]，但求解$IVI(\Psi, \mathcal{D})$（4）的理论方法和数值方法相对较少。它等价于求解以下投影方程：

$$\Psi(x^*) = P_{\mathcal{D}}[\Psi(x^*) - \mu x^*]$$

2016年，Zou等人[17]引入了一种动力系统（称为神经网络）来求解$IVI(\Psi, \mathcal{D})$（4），通过构建以下系统：

$$\dot{x} = \sigma[P_{\mathcal{D}}(\Psi(x) - \mu x) - \Psi(x)]$$

其中$\dot{x} = \frac{dx}{dt}$，$P_{\mathcal{D}}$如(3)中定义，$\sigma > 0$为固定参数。He等人[18]构建了$IVIP(\Psi, \mathcal{D})$并开发了基于投影的迭代算法来求解。此外，他们通过应用该方法解决了许多均衡问题。一些研究人员致力于IVIP的推广，由此产生了逆拟变分不等式问题[19], [20], [21]这一重要的问题类别。本文研究逆拟变分不等式问题（IQVIP），即求解满足以下条件的点$x^* \in \mathbb{R}^k$：

$$\Psi(x^*) \in \Phi(x^*)$$

$$\langle x^*, v - \Psi(x^*) \rangle \geq 0, \quad \forall v \in \Phi(x^*)$$

其中$\Psi: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$是单值映射，$\Phi: \mathbb{R}^k \to 2^{\mathbb{R}^k}$是与IQVIP（7）相关的集值映射，且具有非空闭凸值。则$x^*$求解（7）等价于满足投影形式：

$$\Psi(x^*) = P_{\Phi(x^*)}(\Psi(x^*) - \mu x^*)$$

2024年，Dey S.和Reich S.[20]将动力系统应用于求解逆拟变分不等式（7），通过构建以下系统：

$$\dot{x} = \sigma[P_{\Phi(x)}(\Psi(x) - \mu x) - \Psi(x)]$$

其中$\dot{x} = \frac{dx}{ds}$，$P_{\Phi(x)}$如(3)中定义，$\sigma > 0$为固定参数。

另一方面，混合变分不等式是变分不等式的推广，变分不等式是其特例。这一扩展首先由Bin-Mohsin等人[22]和Ju X.等人[23]引入。随后，Konnov和Volotskaya[24]利用混合变分不等式的概念来解决一般经济问题和寡头均衡问题。此后，众多研究人员在各种领域中探索了混合变分不等式，包括优化、博弈论和控制理论（见[25], [26], [27], [28]）。此外，IVI的进展促进了逆混合变分不等式的构建，后者以前者为特殊情况（见[29], [30]）。2014年，Li等人[31]研究了逆混合变分不等式问题，并利用其解决交通网络均衡和交通流量控制问题。他们利用广义f-投影算子建立了关键结果，并给出了保证逆混合变分不等式相应算法收敛性的性质。因此，我们将逆混合变分不等式（IMVI）表述如下：求解$x^* \in \mathbb{R}^k$使得$\Psi(x^*) \in \mathcal{D}$且

$$\langle x^*, y - \Psi(x^*) \rangle + f(y) - f(\Psi(x^*)) \geq 0, \quad \forall y \in \mathcal{D}$$

其中$\Psi: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$是连续映射，$f: \mathcal{D} \to \mathbb{R} \cup \{+\\infty\}$是适当的、凸的下半连续函数。显然，$x^*$是IMVI问题（10）的解等价于TVDS给出一个平衡点（即在TVDS中，函数$x(s) \equiv x^*$保持不变并构成有效轨迹）。与Chen等人[14]的固定时间神经动力学不同（后者保证在独立于初始条件的预设上界内收敛），本文的重点在于建立基于投影的二阶TVDS求解IMVIs的全局渐近稳定性和线性收敛性。一阶TVDS因其在稳定性和收敛性方面的特性而被广泛用于求解各类变分不等式[17], [29], [32], [33], [34], [35]。此类系统的常见形式可写为：

$$\begin{cases} \dot{x}(s) = \sigma[P_{\mathcal{D}}(\Psi(x(s)) - \mu x(s)) - \Psi(x(s))], \\ x(0) = x_0 \end{cases}$$

其中$\dot{x} = \frac{dx}{ds}$，$P_{\mathcal{D}}$如(3)中定义的投影算子，$\sigma > 0$为固定参数。该公式为设计基于投影和近似的神经网络以近似IMVIs及相关优化问题的解提供了基本框架。受此研究启发，我们提出了一种基于投影神经网络的二阶时变动力系统（TVDS）。为求解IMVI问题$(\Psi, \mathcal{D})$，我们考虑以下TVDS：

$$\begin{cases} \ddot{x}(s) + \tau(s)\dot{x}(s) + \sigma(s)[\Psi(x) - P_{\mathcal{D}}(\Psi(x) - \mu x)] = 0, & s \geq 0 \\ x(0) = x_0, \dot{x}(0) = v_0 \end{cases}$$

其中$\ddot{x} = \frac{d\dot{x}}{ds}$，$\tau: \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$和$\sigma: \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$是Lebesgue可测函数。若假设$\Psi$满足Lipschitz连续性条件，则系统（12）建立了解的唯一性和全局存在性。此外，当$\Psi$强单调时，我们证明该TVDS的轨迹全局收敛到IMVI问题$(\Psi, \mathcal{D})$的唯一解。

### 动机与主要贡献

基于投影的动力系统因其在收敛性方面具有吸引力以及广泛的适用性（优化、均衡问题和工程应用[15], [16], [17], [35]），已被广泛用于求解VIP及其逆形式。大多数现有的连续时间动力模型基于固定参数的一阶神经网络框架[17], [20], [32], [35]。尽管这些方法具有坚实的理论收敛性保证，但它们未能充分利用二阶惯性动力学提供的加速机制。此外，现有的基于投影的神经网络模型主要集中在IVIP和IQVIP[17], [20]，而关于IMVIP的二阶时变动力系统则鲜有关注。

另一方面，IMVI作为更一般的框架已引起越来越多的关注，因其在优化、均衡理论和交通网络分析中的应用[29], [30], [31], [33]。近年来，已有针对IMVI的高效数值方法和神经动力模型被提出[23], [29]；然而，这些方法主要基于一阶动力学或固定时间框架，并未研究二阶时变投影动力系统及其对应的惯性迭代方案。

基于上述观察，我们提出了一种新颖的二阶时变投影动力系统（12）来求解IMVI。所提出的模型将惯性加速与自适应时变阻尼和缩放系数相结合，从而扩展了现有一阶投影神经网络模型。此外，所提出的有限差分离散化自然地导出了一种与Heavy-Ball和二阶优化动力学密切相关的惯性投影算法，后者由Polyak开发并随后被Bo?和Csetnek研究[9], [36]。这些进展为在IMVI框架中引入动量机制提供了理论动机。从实践角度看，所提出的框架也在两个不同的应用场景中得到考察。边界拥堵定价提供了一个可以直接验证理论假设的均衡控制问题，而图像去模糊则导致一个涉及非光滑正则化的更高维逆问题。这些应用的纳入旨在补充理论分析和低维数值算例，展示所提出框架在良态和病态计算环境中的表现。

本文的主要贡献总结如下：

1. 我们提出了一种新颖的二阶时变投影动力系统（12），通过将惯性动力学与自适应时变阻尼和缩放系数相结合，来求解IMVIP（10）。

2. 在Lipschitz连续性和强单调性假设下，我们建立了所提出动力系统的轨迹的全局存在性和唯一性，并使用Lyapunov直接方法证明了其全局渐近稳定性。

3. 我们从所提出的连续时间模型（12）导出了离散时间惯性投影算法，并建立了保证线性收敛的充分条件。

4. 进行了广泛的数值实验来验证理论结果。特别是，所提出的二阶投影算法在相同参数设置下与相应的一阶投影算法进行了比较。数值结果表明，所提出方法在保持基本相同残差精度的同时实现了显著更快的收敛速度，从而展示了惯性加速策略的有效性。

5. 我们通过边界拥堵定价和图像去模糊应用进一步验证了所提出的框架，涵盖了良态均衡控制问题和更高维的逆恢复问题。

为了结束本节，本文其余部分组织如下。第2节回顾了全文所需的初步定义、符号和辅助结果。第3节建立了所提出二阶TVDS轨迹的存在性和唯一性，导出了相应的离散时间惯性投影算法，并证明了其线性收敛性。第4节呈现了Lyapunov稳定性分析，以及全面的数值算例和与相应一阶投影算法的比较，以展示所提出方法的收敛行为和计算效率。第5节呈现了灰度和彩色图像恢复的大规模应用。最后，第6节总结全文并讨论了未来的研究方向。

## 第2节 定义与预备知识

本节编译了一些所需的定义和引理。

**定义1**[37] 算子$\Psi: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$按以下方式表征：

1. 若在$\mathcal{D}$上，对所有$x, v \in \mathcal{D}$满足$\langle \Psi(x) - \Psi(v), x - v \rangle \geq 0$，则称其为单调的。

2. 若在$\mathcal{D}$上，对所有$x, v \in \mathcal{D}$满足$\langle \Psi(x) - \Psi(v), x - v \rangle \geq \lambda \|x - v\|^2$，其中$\lambda > 0$，则称其模为$\lambda$强单调的。

注意，蕴含(b)?(a)是成立的，但反之一般不一定成立。

**定义2**[37] 若存在$\zeta \geq 0$使得对所有$x, v \in \mathcal{D}$满足$\|\Psi(x) - \Psi(v)\| \leq \zeta \|x - v\|$，则称算子$\Psi: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$在$\mathcal{D}$上是$\zeta$-Lipschitz连续的。

**引理1**[38] 假设……

## 第3节 主要结果

以下结果说明了方程（12）轨迹的存在性和唯一性，证明改编自[36]。

**定理1** 若$\sigma, \tau: \mathbb{R}^+ \cup \{0\} \to \mathbb{R}^+ \cup \{0\}$是Lebesgue可测函数，则$\sigma, \tau \in L^1_{loc}(\mathbb{R}^+ \cup \{0\})$（即$\sigma, \tau \in L^1_{loc}([0, c])$，对每个$0 < c < +\infty$）。考虑$\Psi$的$\zeta$-Lipschitz连续算子。则TVDS（12）对每个$x_0, v_0 \in \mathbb{R}^k$具有唯一的强全局解。

**证明** 我们定义$A: \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}^k$为

$$A(x) = \Psi(x) - P_{\mathcal{D}}(\Psi(x) - \mu x), \quad \forall x \in \mathbb{R}^k$$

因此，TVDS（12）可等效表示为：

$$\begin{cases} \ddot{x}(s) + \tau(s) \dot{x}(s) + \sigma(s) A(x(s)) = 0, & s \geq 0 \\ x(0) = x_0, \dot{x}(0) = v_0 \end{cases}$$

## 第4节 Lyapunov直接方法在稳定性验证中的应用

本节通过Lyapunov直接方法研究所提出的二阶TVDS（12）的稳定性。设$x^*$为IMVI问题（10）的唯一解。定义移位状态变量$y(s) = x(s) - x^*$。则二阶TVDS（12）的平衡点为$(x^*, 0)$。

连续可微函数 $V:\mathbb{R}^k \times \mathbb{R}^k \to \mathbb{R}$ 若满足以下性质，则称为系统 (12) 的 Lyapunov 函数：(C1) $V(y, \dot{y})$ 是正定的，即 $V(y, \dot{y}) \geq 0$，且 $V(y, \dot{y}) = 0 \Leftrightarrow (y$

**应用与数值实验**

为进一步展示所提出的二阶时间变动力系统的实际意义，我们考虑两个面向应用的问题：封路拥堵收费与图像去模糊。前者代表一个可以验证理论假设的均衡控制问题，后者则提供了一个涉及灰度图像和彩色图像的大规模逆成像问题。这些应用补充了前文所呈现的数值示例，并说明了该方法的适用性。

**结论**

本文提出了一种基于投影的新型二阶时间变动力系统，用于求解逆混合变分不等式。通过将惯性动力学与自适应时间变阻尼系数及缩放系数相结合，所提出的模型扩展了现有的基于一阶的投影神经网络框架。在强单调性和 Lipschitz 连续性的假设下，建立了系统轨迹的存在性和唯一性，并且它们的

**AI 工具使用说明声明**

作者声明在本文章的创作过程中未使用任何 AI 工具。

**资助**

本研究未获得任何外部资助。

**CRediT 作者贡献声明**

Vajahat Karim Khan：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、验证、软件、资源、方法论、形式化分析、概念构思。Kalimuddin Ahmad：监督、调查、形式化分析、形式化分析、撰写——审阅与编辑。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的可能影响本文章所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

**作者单位**

Vajahat Karim Khan | Kalimuddin Ahmad
数学系，阿利加尔穆斯林大学，印度北方邦阿利加尔 202002