基于间歇保持的非线性系统预设时间事件触发采样数据稳定化：一种改进的标度函数方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Predefined-time event-triggered sampled-data stabilization for nonlinear systems via intermittent hold: An improved scaling-function method

　　

## 摘要

本文针对受控非线性系统，提出了一种基于缩放函数的方案，在间歇保持器作用下实现预定时间（P-T）事件触发采样数据稳定控制，同时避免先前非线性系统预定时间稳定化结果中出现的无限缩放增益问题。借助加幂整数技术，为非线性系统导出预定时间事件触发采样数据稳定器，从而保证所构成闭环系统状态的预定时间收敛，并通过李雅普诺夫定理和齐次性定理证明了预定时间稳定性。最后，给出了电机-连杆系统的仿真响应，以验证所开发采样数据控制方案的实用性。

## 引言

预定时间控制作为"广义有限时间控制"中的一种重要类型，"广义有限时间控制"主要包括有限时间控制、固定时间控制和预定时间控制，对于非线性系统 ?=F(x)，在任意初始条件 x(0) 下，各种控制模式的特性总结如表1所示。通过表1的学习，并考虑到预定时间控制在理论层面的突出优势，这种控制方法被广泛应用于众多必须满足"任意有限时间控制"要求的工程受控系统，例如车辆、船舶和航天器的碰撞避免控制（参见[1]、[2]、[3]、[4]）。预定时间控制的广泛工程应用背景也促进了聚焦非线性系统的相关理论发展（参见代表性文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]）。

考虑预定时间控制文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]，提出了两个经典的李雅普诺夫预定时间稳定性判据（见表2），用于验证所关注闭环系统的实际和半全局预定时间稳定性，但由于受控系统的非线性处理依赖模糊近似方法，[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]中获得了较弱的半全局稳定性能。因此，对于非线性系统，如果我们提出在不采用任何近似工具的情况下实现其全局预定时间稳定控制，并且要求状态收敛到平衡点，那么如何实现？为克服这一困难，受[11]、[12]、[13]启发，我们借用一个基于预设时间的缩放函数：

D(t) = { T?/(T??t), 当 0 ≤ t < T?; 1, 当 t ≥ T? }

来构造基于缩放函数的稳定器，其中 T? ≤ T* 且 T* > 0 表示一个预定时间。当稳定器使得 V?(x) ≤ ?D^θ V(x) 成立（θ > 0 为常数），求解可得：

V(x(t)) ≤ ((T??t)/T?) · exp(θT?) · V(x(0))，对于 [0, T?)

然后式(A.2)表明 x(t) → 0 当 t → T??，并且 V 的连续性保证 x(t) ≡ 0 当 t ≥ T*，即当 T? ≤ T* 时，基于预设时间的缩放函数(A.1)可以同样用于实现预定时间稳定控制。然而，[11]、[12]、[13]存在"无限缩放函数"问题，从式(A.1)可以看出 D(t) → +∞ 当 t → T??，如此大的缩放函数在工程情况下是不允许的，因此，如何防止"无限缩放函数问题"是一个难点。

此外，我们还应注意到，对于所关注的车辆和船舶碰撞避免系统，除了保证完成控制目标的时间限制外，还必要保证控制精度。不幸的是，这种高精度要求无法通过机械控制设备实现，而需要通过电子计算机来实现，这就给研究计算机控制的基本理论框架——即采样数据控制——提供了必要性，最近已报道了大量相应的理论结果（参见[16]、[17]、[18]、[19]、[20]）。[16]通过输出反馈开发了采样数据控制器，使所关注的高阶非线性系统得以稳定化。[17]、[18]、[19]分别针对所关注的非线性多智能体系统和随机非线性系统开发了采样数据一致性协议和稳定器。[20]为受不确定时延影响的非线性系统生成了无记忆反馈采样数据控制的充分条件。

同时，[16]、[17]、[18]、[19]、[20]中采用的采样数据控制方法均基于零阶保持机制。然而，这种机制容易被外部因素破坏，如传输信道攻击，对机制的破坏会导致零阶保持器变为间歇保持器，这给非线性系统在间歇保持器下的采样数据控制带来了研究价值（参见[21]、[22]）。

对于[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]，我们注意到这些文献仍然停留在对非线性系统的渐近采样数据控制研究上。受现有文献启发，我们在通过采样状态或输出实现非线性有限时间控制方面做出了一些进展[23]、[24]。然而，近期很少有研究涉及非线性系统的预定时间采样数据控制，且当我们尝试引入(A.1)来实现预定时间采样数据控制时，"无限缩放函数"问题将出现并成为障碍，例如：

**示例A**

考虑一个一阶非线性系统 ? = u + f(x)，我们假设 |f(x)| ≤ θ|x| 成立，其中 θ > 0 为常数。现在，我们引入基于缩放函数的坐标变换 z = x/D，使得：

? = v + F(z) ? (?/D)z

其中 F(z) = f(x)/D 且 v = u/D。当我们指定李雅普诺夫函数候选 V(z) = (1/2)z2 且令 T? = T*，由于 ?/D = D/T* 对于 [0, T*) 成立，我们推导出：

V?(z) ≤ z(v ? v*) + zv* + θz2 ? (2D/T*)V(z)

其中虚拟控制律具有结构 v* = ???z，且 ?? > 0 表示为设计常数。进一步，通过[25]提出的"连续时间被控对象模型加控制器离散化（CTD）方法"（简言之，先为受控系统构造连续时间虚拟稳定器，然后在采样时离散化稳定器，在零阶保持器下，可以生成采样数据稳定器），预定时间采样数据稳定器应设计为 u(t) = ?D(t_Λ)v*(t_Λ)，对于采样间隔 [t_Λ, t_Λ+1)。如此采样数据稳定器和前述虚拟控制律保证：

z(v ? v*) ≤ (1/2)z2 + (1/2)??2(z(t) ? z(t_Λ))2

对于出现的 (z(t) ? z(t_Λ))2，它可以变为以下整数形式，对于 t ∈ [t_Λ, t_Λ+1)：

(z(t) ? z(t_Λ))2 ≤ H? ∫_{t_Λ}^{t} (z(Γ) ? z(t_Λ))2 dΓ + T·H?·z2(t_Λ) + ∫_{t_Λ}^{t} (?(Γ)/D(Γ))2(z(Γ) ? z(t_Λ))2 dΓ

其中 H?, H? > 0 和 T 分别视为常数和采样周期。进一步，式(A.5)可以通过格朗沃尔-贝尔曼不等式求解如下（参见引理3）：

(z(t) ? z(t_Λ))2 ≤ T·H?·z2(t_Λ) · exp(∫_{t_Λ}^{t} (H? + (?(Γ)/D(Γ))2) dΓ)

其中 t ∈ [t_Λ, t_Λ+1)。对于(A.6)，当 T* ∈ [t_Λ, t_Λ+1)（Λ ∈ {1, …, +∞}）且当 t → T*? 时，(A.6)中的整数部分涉及动态(A.7)，由于 D(t) 在 t → T*? 时趋于无穷大且 ?/D = D/T*：

∫_{t_Λ}^{t} (?(Γ)/D(Γ))2 dΓ = ∫_{t_Λ}^{T*?} (?(Γ)/D(Γ))2 dΓ + ∫_{t_Λ+1}^{T*?} (?(Γ)/D(Γ))2 dΓ = ln(T* ? t_Λ) ? ln(T* ? T*) = +∞

式(A.7)中出现的不可积现象破坏了对 |z(t) ? z(t_Λ)|（?t ∈ [t_Λ, t_Λ+1)）的限制，然后虚拟稳定器和采样数据稳定器之间的差异 (v ? v*) 无法受到限制，这成为实现预定时间采样数据稳定化的障碍，解决这一差距将成为一个挑战。

进一步，我们还必须强调，先前文献[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]中的采样数据控制性能是通过时间触发采样数据控制机制实现的。时间触发采样数据控制的特点是：一旦系统在采样时刻的状态/输出被采样，采样数据必须被传输以更新稳定器（参见图1）。相对地，事件触发采样数据控制要求：当采样时刻的采样状态/输出满足设定的触发条件时，特定的采样数据可以被传输以构建稳定器（参见图2）。显然，在事件触发滤波机制下，事件触发采样数据控制可以比时间触发采样数据控制减轻更多的通信负担。然而，通过查阅现有的非线性系统事件触发控制文献（参见[26]、[27]、[28]、[29]），出现的触发条件仍然是基于连续时间检测状态/输出建立的。由此可见，如何突破[26]、[27]、[28]、[29]，仅采用系统的采样状态/输出来建立触发条件，从而实现非线性系统的预定时间事件触发采样数据稳定控制，可以被视为另一个挑战。

此外，面对上述困难和挑战，以及预定时间事件触发采样数据控制的广阔应用前景，我们开展了本项研究，并强调本文的贡献和创新性如下：

**I）** 采样数据控制理论首次被扩展到在间歇保持作用下为非线性系统实现预定时间事件触发稳定控制，且触发条件仅通过采样状态建立。与[26]、[27]、[28]、[29]中出现的连续时间事件触发机制相比，这可以真正减少通信负担，可视为本研究的重要贡献。

**II）** 本文使用了改进的缩放函数（参见式(5a)），其有界性、连续性和可微性避免了"无限缩放函数"问题，并克服了采样数据控制中缩放函数使用的障碍。

本文的组织安排如下：第2节给出所关注问题的基础知识，详细的稳定器设计和稳定性分析过程在第3节提供。第4节进行电机仿真，第5节以结论结束本文。

**记号说明：** 本研究将 Θ[[·]] 表示与常量"·"相关的常量 Θ。

## 系统描述

对于式(1a)，已存在的非线性使其满足非严格反馈结构：

?_i = x_{i+1} + f_i(x), i = 1, …, n?1
?_n = u + f_n(x)
y = x?

其中 x_i ∈ ?（i = 1, …, n）和 y ∈ ? 分别表示为状态和输出，其可用性仅在采样时刻 t_Λ（Λ = 0, …, +∞）得以保证，且周期采样满足 t_Λ = ΛT，其中 T 为固定采样周期；f_i(·) ∈ ?（i = 1, …, n）表示具有 f_i(0) = 0 的不确定非线性；u ∈ ? 可以表示为在间歇保持作用下运行的预定时间事件触发采样数据稳定器。

## 主要结果

本节包括稳定器设计和稳定性分析。对于式(1)的稳定器需要在以下基于缩放函数的坐标变换下开发：

Z_i = D^{n?i+1} · x_i, i = 1, …, n

其中 D(t) 取为式(5a)，设计常数 Γ* ≥ 1，且切换时间 T*? 必须满足 T_A < T*? < T*?，T_A 稍后在式(35)中定义。依赖于式(7)，则式(1)变为：

?_i = D?_{i+1} + F_i(Z) ? ((n?i+1)?/D)?_i, i = 1, …, n?1
?_n = ? + F_n(Z) ? (?/D)?_n
y = Z?/D^n

其中 F_i(Z) = D^{n?i+1} · f_i(x)（i = 1, …, n），Z = ...

## 仿真结果

受控电枢直流（DC）他励电机的仿真结果将用于展示所开发的预定时间事件触发采样数据稳定控制方法的有效性。

**示例B**

电枢直流他励电机是指励磁绕组和电枢绕组之间没有连接的直流电机，它由两个独立的直流电源供电。该电机优先应用于需要精确和预定时间控制的场合，如……

## 结论

本研究解决了在间歇保持器作用下非线性系统的预定时间事件触发采样数据稳定控制这一挑战性问题。在所构建的利用加幂整数技术的事件触发采样数据稳定器下，受控系统的状态呈现出预定时间收敛性能，同时通过改进的切换缩放函数实现了完全的预定时间收敛，避免了缩放函数在时间趋向预定时间时趋于无穷大的问题。

**CRediT 作者贡献声明**

Jun Mao：初稿撰写。Zhenwei Ma：审阅与编辑。Ronghao Wang：经费获取。Zhengrong Xiang：审阅与编辑。

**利益冲突声明**

作者声明他们不存在已知的、可能影响本文所报告工作的竞争性经济利益或个人关系。

Jun Mao | Zhenwei Ma | Ronghao Wang | Zhengrong Xiang

中国计量大学机电工程学院，中国杭州