基于间歇保持的非线性系统预定义时间事件触发采样数据稳定化：一种改进的缩放函数方法

《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》：Predefined-time event-triggered sampled-data stabilization for nonlinear systems via intermittent hold: An improved scaling-function method

　　

**摘要**

本文针对被控非线性系统，提出了一种基于缩放函数的方案，旨在间歇保持器条件下实现预设时间（P-T）事件触发采样数据稳定控制，同时避免先前非线性系统预设时间稳定结果中出现的无限缩放增益问题。借助增加幂整数技术，为该系统导出了一个P-T事件触发采样数据稳定器，从而保证了所构建闭环系统状态的P-T收敛性，并通过Lyapunov理论和齐次性定理证明了P-T稳定性。最后，给出了电机-连杆系统的仿真响应，以验证所开发采样数据控制方案的实用性。

**引言**

P-T控制作为"广义有限时间控制"中的一种关键类型，"广义有限时间控制"主要包括有限时间控制、固定时间控制和P-T控制。针对任意初始条件x(0)下的非线性系统$\dot{x} = \mathbf{F}(x)$，这些控制模式的特征总结于表1中。通过表1的学习以及考虑到P-T控制在理论层面的突出优势，该控制方法被广泛应用于需要满足"任意有限时间控制"要求的众多工程被控系统，如车辆、船舶和航天器系统的碰撞避免控制（参见[1]、[2]、[3]、[4]）。P-T控制的广泛工程应用背景也推动了相关理论的发展，这些理论聚焦于非线性系统（参见代表性文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]）。

考虑到P-T控制文献[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]，提出了两个经典的Lyapunov P-T稳定性判据（参见表2），用于验证所关注闭环系统的实际和半全局P-T稳定性，但在[5]、[6]、[7]、[8]、[9]、[10]中获得的半全局稳定性性能较弱，因为所被控系统的非线性是通过模糊逼近方法处理的。因此，对于一个非线性系统，如果我们要求在不采用任何逼近工具的情况下实现其全局P-T稳定控制，并且要求状态收敛到平衡点，那么如何做到这一点？为了克服这一困难，受[11]、[12]、[13]启发，我们借用一个基于预设时间的缩放函数$\mathbf{D}(t) = \begin{cases} \frac{\mathbb{T}_0}{\mathbb{T}_0 - t}, & \text{当} \ 0 \leqslant t < \mathbb{T}_0 \\ 1, & \text{当} \ t \geqslant \mathbb{T}_0 \end{cases}$来构建基于缩放函数的稳定器，其中$\mathbb{T}_0 \leqslant \mathbb{T}^*$且$\mathbb{T}^* > 0$表示预设时间。当稳定器使$\dot{\mathbb{V}}(x) \leqslant -\mathbf{D}\theta\mathbb{V}(x)$成立（$\theta > 0$为常数）时，求解得到$\mathbb{V}(x(t)) \leqslant \left(\frac{\mathbb{T}_0 - t}{\mathbb{T}_0}\right)\exp(\theta\mathbb{T}_0)\mathbb{V}(x(0))$，对于$[0, \mathbb{T}_0)$区间成立。然后（A.2）揭示了当$t \to \mathbb{T}_0^-$时$x(t) \to 0$，并且$\mathbb{V}$的连续性保证当$t \geqslant \mathbb{T}^*$时$x(t) \equiv 0$。也就是说，当$\mathbb{T}_0 \leqslant \mathbb{T}^*$时，基于预设时间的缩放函数（A.1）可以同样用于实现预设时间稳定控制。然而，[11]、[12]、[13]存在"无限缩放函数"问题，我们可以从（A.1）中看到当$t \to \mathbb{T}_0^-$时$\mathbf{D}(t) \to +\infty$，这种大的缩放函数在工程情况下是不被允许的，因此，如何防止"无限缩放函数问题"是一个困难。

此外，我们还应注意，对于所关注的车辆和船舶碰撞避免系统，除了保证其完成控制目标的时间限制外，还需要保证其控制精度。不幸的是，这种高精度要求无法通过机械控制设备实现，而需要通过电子计算机来实现，这就产生了研究计算机控制底层理论框架的必要性，即采样数据控制，近年来已有大量相应理论结果被报道（参见[16]、[17]、[18]、[19]、[20]）。[16]通过输出反馈开发了采样数据控制器，使所关注的高阶非线性系统得以稳定。[17]、[18]、[19]分别开发了聚焦非线性多智能体系统和随机非线性系统的采样数据一致性协议和稳定器。[20]为受不确定延迟影响的非线性系统生成了无记忆反馈采样数据控制的充分条件。

同时，[16]、[17]、[18]、[19]、[20]中采用的采样数据控制方法基于零阶保持机制。然而，该机制容易受到外部因素的影响，如传输信道攻击，对该机制的损害将导致零阶保持器变为间歇保持器，这为间歇保持器下非线性系统的采样数据控制带来了研究价值（参见[21]、[22]）。

对于[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]，我们注意到这些文献仍然停留在非线性系统的渐近采样数据控制研究上，受现有文献启发，我们在通过采样状态或输出实现非线性有限时间控制方面取得了一些进展[23]、[24]。然而，近期很少有研究涉及非线性系统的P-T采样数据控制，而且当我们尝试引入（A.1）来实现P-T采样数据控制时，"无限缩放函数"问题就会出现并成为障碍，例如：

**示例A**

考虑一个一阶非线性系统$\dot{x} = u + f(x)$，我们假设$|f(x)| \leqslant \theta|x|$成立，其中$\theta > 0$为常数。现在，我们引入基于缩放函数的坐标变换$z = x/\mathbf{D}$，使

$$\dot{z} = v + \mathbf{F}(z) - \left(\frac{\dot{\mathbf{D}}}{\mathbf{D}}\right)z$$

其中$\mathbf{F}(z) = f(x)/\mathbf{D}$，$v = u/\mathbf{D}$。当我们指定一个Lyapunov函数候选（LFC）$\mathbb{V}(z) = \frac{1}{2}z^2$并令$\mathbb{T}_0 = \mathbb{T}^*$时，由于对于$[0, \mathbb{T}^*)$有$\dot{\mathbf{D}}/\mathbf{D} = \mathbf{D}/\mathbb{T}^*$，我们推导出

$$\dot{\mathbb{V}}(z) \leqslant z(v - v^*) + zv^* + \theta z^2 - \frac{2\mathbf{D}}{\mathbb{T}^*}\mathbb{V}(z)$$

其中虚拟控制律具有$v^* = -l_0 z$的结构，$l_0 > 0$表示为一个设计常数。进一步，通过[25]提出的"连续时间被控对象模型加控制器离散化（CTD）方法"（简言之，先为被控系统构建连续时间虚拟稳定器，然后在采样过程中离散化该稳定器，在零阶保持器下可生成采样数据稳定器），P-T采样数据稳定器应设计为$u(t) = -\mathbf{D}(t_\Lambda)v^*(t_\Lambda)$，对于采样间隔$[t_\Lambda, t_{\Lambda+1})$，该采样数据稳定器和前述虚拟控制律保证$z(v - v^*) \leqslant \frac{1}{2}z^2 + \frac{1}{2}l_0^2(z(t) - z(t_\Lambda))^2$成立，对于出现的$(z(t) - z(t_\Lambda))^2$，对于$t \in [t_\Lambda, t_{\Lambda+1})$，它可以变换为以下整式形式：

$$(z(t) - z(t_\Lambda))^2 \leqslant H_1\int_{t_\Lambda}^{t}(z(\Gamma) - z(t_\Lambda))^2 d\Gamma + \mathbb{T}H_2 z^2(t_\Lambda) + \int_{t_\Lambda}^{t}\left(\frac{\dot{\mathbf{D}}(\Gamma)}{\mathbf{D}(\Gamma)}\right)^2(z(\Gamma) - z(t_\Lambda))^2 d\Gamma$$

其中$H_1, H_2 > 0$和$\mathbb{T}$分别视为常数和采样周期。进一步，在Gronwall-Bellman不等式下（参见引理3），（A.5）可以求解如下：

$$(z(t) - z(t_\Lambda))^2 \leqslant \mathbb{T}H_2 z^2(t_\Lambda)\exp\left(\int_{t_\Lambda}^{t}\left(H_1 + \left(\frac{\dot{\mathbf{D}}(\Gamma)}{\mathbf{D}(\Gamma)}\right)^2\right)d\Gamma\right)$$

其中$t \in [t_\Lambda, t_{\Lambda+1})$。对于（A.6），当$\mathbb{T}^* \in [t_\Lambda, t_{\Lambda+1})$（$\Lambda \in \{1, \ldots, +\infty\}$）且当$t \to \mathbb{T}_0^-$时，（A.6）中的整式部分由于$\mathbf{D}(t)$在$t \to \mathbb{T}_0^-$时的无穷性以及$\dot{\mathbf{D}}/\mathbf{D} = \mathbf{D}/\mathbb{T}^*$涉及动力学（A.7）：

$$\int_{t_\Lambda}^{t_{\Lambda+1}}\left(\frac{\dot{\mathbf{D}}(\Gamma)}{\mathbf{D}(\Gamma)}\right)^2 d\Gamma = \int_{t_\Lambda}^{\mathbb{T}^*}\left(\frac{\dot{\mathbf{D}}(\Gamma)}{\mathbf{D}(\Gamma)}\right)^2 d\Gamma + \int_{\mathbb{T}^*}^{t_{\Lambda+1}}\left(\frac{\dot{\mathbf{D}}(\Gamma)}{\mathbf{D}(\Gamma)}\right)^2 d\Gamma = \ln(\mathbb{T}^* - t_\Lambda) - \ln(\mathbb{T}^* - \mathbb{T}^*) = +\infty$$

（A.7）中出现的不可积分现象破坏了对$|z(t) - z(t_\Lambda)|$（$\forall t \in [t_\Lambda, t_{\Lambda+1})$）的限制，然后虚拟稳定器和采样数据稳定器之间的差异$(v - v^*)$无法被限制，这成为实现P-T采样数据稳定的障碍，解决这一差距将成为一个挑战。

进一步，我们还要求强调，先前文献[16]、[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]中的采样数据控制性能是通过时间触发采样数据控制机制实现的。时间触发采样数据控制的特征是：一旦系统在采样时刻采样状态/输出，采样数据必须传输以更新稳定器（参见图1）。相对地，事件触发采样数据控制需要：当采样时刻的采样状态/输出满足设定的触发条件时，特定的采样数据可以传输以构建稳定器（参见图2）。显然，在事件触发过滤机制下，事件触发采样数据控制比时间触发采样数据控制能够减轻更多的通信负担。然而，通过查阅现有非线性系统的事件触发控制文献（参见[26]、[27]、[28]、[29]），出现的触发条件仍然是基于连续时间检测的状态/输出建立的。因此，如何突破[26]、[27]、[28]、[29]，仅采用系统的采样状态/输出来建立触发条件，从而实现非线性系统的P-T事件触发采样数据稳定控制，可以被视为另一个挑战。

此外，面对上述困难和挑战，以及P-T事件触发采样数据控制的广阔应用前景，我们进行了这项研究，并强调本文的贡献和原创性如下：

**I)** 采样数据控制理论首次在间歇保持条件下被扩展以实现非线性系统的P-T事件触发稳定控制，触发条件仅由采样状态建立，与[26]、[27]、[28]、[29]中出现的连续时间事件触发机制相比，真正减少了通信负担，这可以被视为本研究的重要贡献。

**II)** 本文使用了改进的缩放函数（参见（5a）），其无穷性、连续性和可微性避免了"无限缩放函数"问题，并克服了采样数据控制中使用缩放函数的障碍。

本文的组织安排如下：第2节给出所关注问题的基本知识，第3节提供了详细稳定器设计和稳定性分析步骤。第4节进行了电机仿真，第5节以结论结束本文。

**符号说明：** 本研究用$\Theta[[\cdot]]$表示一个常数$\Theta$，该常数与其他常数"$\cdot$"相关。

**系统陈述**

对于（1a），已存在的非线性使其满足非严格反馈结构：

$$\begin{cases} \dot{x}_i = x_{i+1} + f_i(x), \\ \dot{x}_n = u + f_n(x), \\ y = x_1, \quad i = 1, \ldots, n-1 \end{cases}$$

其中$x_i \in \mathbb{R}$（$i = 1, \ldots, n$）和$y \in \mathbb{R}$分别表示为状态和输出，其可用性仅在采样时刻$t_\Lambda$（$\Lambda = 0, \ldots, +\infty$）确保，周期性采样满足$t_\Lambda = \Lambda\mathbb{T}$，具有固定采样周期$\mathbb{T}$；$f_i(\cdot) \in \mathbb{R}$（$i = 1, \ldots, n$）表示具有$f_i(0) = 0$的不确定非线性；$u \in \mathbb{R}$可以表示为在间歇保持器作用下执行的P-T事件触发采样数据稳定器。

**主要结果**

本节包括稳定器设计和稳定性分析。对于（1）的稳定器需要在以下基于缩放函数的坐标变换下开发：

$$Z_i = \mathbf{D}^{n-i+1}x_i, \quad i = 1, \ldots, n$$

其中$\mathbf{D}(t)$取为（5a），具有设计常数$\Gamma^* \geqslant 1$，切换时间$\mathbb{T}_1^*$必须满足$\mathbb{T}_A < \mathbb{T}_1^* < \mathbb{T}_0^*$，$\mathbb{T}_A$稍后在（35）中定义。依赖于（7），则（1）变为

$$\begin{cases} \dot{Z}_i = \mathbf{D}Z_{i+1} + \mathbf{F}_i(Z) - \frac{(n-i+1)\dot{\mathbf{D}}}{\mathbf{D}}Z_i, \\ \dot{Z}_n = \hat{u} + \mathbf{F}_n(Z) - \frac{\dot{\mathbf{D}}}{\mathbf{D}}Z_n, \\ y = Z_1(\mathbf{D})^n, \quad i = 1, \ldots, n-1 \end{cases}$$

其中$\mathbf{F}_i(Z) = \mathbf{D}^{n-i+1}f_i(x)$（$i = 1, \ldots, n$），$Z = m\sup$

**仿真结果**

从被控电枢直流（DC）他励电机获得的仿真结果将用于表明所开发P-T事件触发采样数据稳定控制方法的效率。

**示例B**

电枢直流他励电机是指励磁绕组和电枢绕组之间没有连接的直流电机，它由两个独立的直流电源供电。该电机优先用于需要精确和预设时间控制的应用中，例如

**结论**

本研究解决了间歇保持器下非线性系统的P-T事件触发采样数据稳定控制这一挑战性问 题。在所采用增加幂整数技术构建的事件触发采样数据稳定器作用下，被控系统的状态呈现出P-T收敛性能，同时通过改进的切换缩放函数充分实现，避免了缩放函数在时间趋于预设时间时的无穷性。

**CRediT作者贡献声明**

Jun Mao：原始草稿撰写。Zhenwei Ma：审阅与编辑。Ronghao Wang：资金获取。Zhengrong Xiang：审阅与编辑。

**利益冲突声明**

作者声明没有已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。

Jun Mao | Zhenwei Ma | Ronghao Wang | Zhengrong Xiang

中国计量大学，机电工程学院，杭州，中华人民共和国