求解分布阶时间分数阶修正反常次扩散方程的一种局部化无网格配置技术

《International Communications in Heat and Mass Transfer》：A localized meshless collocation technique for the distributed-order time-fractional modified anomalous subdiffusion equation

　　

摘要
本文提出了一种高阶局部化无网格方法，用于求解分布阶时间分数阶修正反常亚扩散方程（DO-TFMASDE）。所提方法包含两个主要步骤。首先，通过Gauss-Legendre积分对分布阶积分进行离散化，并使用二阶加权移位Grünwald差分格式近似Riemann-Liouville时间分数阶导数。然后通过基于能量的分析证明了所得时间离散方法的稳定性和收敛性。在空间离散化方面，采用局部径向基函数-Hermite有限差分（LRBF-HFD）技术，该方法基于在局部模板上通过Hermite RBF插值近似拉普拉斯算子。数值结果证实了所提方法在规则区域和复杂区域上的高阶精度和鲁棒性。

引言
分数阶微积分（FC）已成为一种有价值的数学框架，用于建模无法用传统整数阶方程充分描述的复杂动态过程[1]。与经典模型不同，分数阶公式可以纳入记忆效应、遗传行为和非局部相互作用。因此，它们能够更真实地描述系统演化，这些系统不仅取决于当前状态，还取决于历史。此类模型已广泛应用于物理学、工程学、生物学和材料科学领域，特别是描述异质介质和复杂介质中的输运现象。一个重要的例子是反常亚扩散，其中粒子的扩散速度比经典扩散定律预测的更慢。在这种状态下，均方位移随时间呈亚线性增长。这种行为已在无序材料、多孔结构、生物组织、粘弹性介质和拥挤的胞内环境中观察到[2]、[3]、[4]。由于其对许多实际系统的重要性，反常亚扩散从分析和数值角度受到了广泛关注[5]、[6]、[7]、[8]。经典扩散方程不适合描述此类过程，因为它预测均方位移与t成正比（当t→∞时）。单阶时间分数阶扩散方程提供了更准确的描述，产生渐近行为Cθtθ，0<θ<1，这与亚扩散输运一致[9]、[10]。然而，当介质包含多种弛豫机制、广泛的记忆尺度谱或在不同扩散机制之间转换时，使用单一分数阶可能仍然过于严格。分布阶分数阶算子通过组合连续范围内的分数阶导数来解决这一局限。它们特别适用于描述非自相似过程和具有连续时间尺度分布的系统。分布阶模型的一个重要应用是描述超慢扩散，其中粒子的空间扩散以对数速率而非幂律增长[11]、[12]、[13]。此类算子也自然地出现在流变学性质随温度、电场强度或磁场强度变化的材料中。正如lorenzo和hartley[13]所讨论的，这些物理量的空间变化可能会在材料中产生相应的分数阶分布。因此，分布阶微分方程比经典整数阶方程和单阶分数阶模型提供了更灵活的建模框架。在此背景下，分布阶时间分数阶修正反常亚扩散方程（简称do-tfmasde）为亚扩散输运提供了更通用、适应性更强的模型。通过纳入连续范围的分数阶，它可以比经典模型和单阶分数阶模型更有效地表征多尺度记忆效应和复杂扩散行为。 在本文中，我们关注do-tfmasde的数值解，如下所示： ?u(x,t) ?t=∫?1 kαp(α)?rldt^(1-α)δu(x,t)dα + ∫?1 kβq(β)?rldt^(1-β)δu(x,t)dβ + f(x,t)，(x,t)∈ω×(0,t] u(x,0)=φ(x)，x∈Ω u(x,t)=h(x,t)，(x,t)∈?Ω×(0,T] 其中x表示ω?r^d中的空间变量，d=><θ<1，阶为1-θ的左riemann-liouville分数阶导数由以下公式给出：
?rldt^(1-θ)u(x,t) = 1/γ(θ) ?/?t ∫?? (t-η)^(θ-1)u(x,η)dη

已开发了多种用于分布阶分数阶微分方程的数值方法。diethelm和ford[14]提出了针对此类问题的数值程序，并提供了相应的收敛性分析。gao和sun[15]后来引入了一种基于外推技术的两种差分格式，用于一维分布阶方程，证明了两种方法都是无条件稳定和收敛的。ford等人[16]开发了一种隐式有限差分方法，用于时间分布阶扩散方程。随后，gao等人[17]利用alikhanov的高阶插值公式[18]为多阶项和分布阶分数阶亚扩散方程构造了时间二阶格式。li和rui[19]将高阶时间插值近似与h1-galerkin混合有限元方法相结合，并推导了两种用于分布阶分数阶亚扩散问题的二阶数值格式。

分数阶微积分扩展了经典微积分，并为描述具有记忆和非局部效应的系统提供了有效的工具[20]。由于分数阶模型的精确解通常难以获得，准确高效的数值方法的开发受到了广泛关注[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]。特别是，无网格方法引起了广泛关注，因为它们不需要预定义网格，因此可以有效地用于复杂的计算区域。一些相关发展可以在[28]、[29]、[30]及其中的参考文献中找到。还提出了几种无网格方法用于不同类型的分数阶微分方程。abbaszadeh和dehghan[31]开发了一种局部径向基函数-有限差分(rbf-fd)技术，用于分布阶时间分数阶对流-扩散方程。zhang等人[32]提出了一种两级rbf-fd方法用于fisher方程的数值解。safari[33]采用了一种无网格后向替代法(bsm)用于多阶项时间分数阶积分微分方程。nikan等人[34]开发了一种局部紧凑积分rbf方法用于时间分数阶black-scholes模型。haghi和ilati[35]使用局部径向基函数-hermite有限差分(lrbf-hfd)方法用于分布阶时间分数阶电缆方程。最近，fardi等人[36]提出了一种紧凑径向基函数分区统一(rbf-pu)方法，用于二维具有时间延迟的中性反应-扩散方程。nikan[37]采用无网格bsm用于分布阶时间分数阶电缆方程。

在本文中，我们引入了一种高阶局部化无网格方法用于求解do-tfmasde。分布阶积分首先通过gauss-legendre积分进行离散化，而时间riemann-liouville分数阶导数则通过二阶加权移位grünwald差分(wsgd)公式进行近似。然后通过能量法建立了所得时间离散方法的收敛性和稳定性。在空间近似方面，采用局部径向基函数-hermite有限差分(lrbf-hfd)方法。lrbf-hfd方法在每个局部模板内的选定节点处评估导数信息，从而在不增加模板尺寸的情况下提高近似精度。与传统有限差分格式相比，hfd方法通常在相同模板尺寸下实现更高精度和更好的分辨率，从而带来更高的计算效率。最后，给出了三个在规则区域和几何复杂区域上的数值算例，以检验所提方法的精度和可靠性。

本文其余部分组织如下。第2节通过对方程经典时间导数和分数阶时间导数应用二阶近似，发展了时间半离散格式。第3节介绍了基于lrbf-hfd方法的空间离散化，并描述了对应局部近似方案的构造。第4节给出了三个在规则和不规则区域上的数值算例，以评估所提策略的精度、鲁棒性和效率。最后，第5节总结了主要发现并给出了结论性评论。

章节片段
半离散方法
本节通过结合经典时间导数的二阶近似和分数阶项的适当离散化，发展了问题的时间半离散格式。为此，时间区间[0,t]被划分为m个等长子区间，使用网格点tk=kδt，k=0,1,…,m，其中δt=t/m表示时间步长。该均匀时间网格用于近似相对于时间的经典导数和分数阶导数。

空间离散化通过lrbf-hfd方法
本节首先简要概述了基于径向基函数的hermite插值方法，然后利用该方法推导lrbf-hfd公式[41]、[42]、[43]。设ω?r^d，d=2或3，表示具有边界?ω的有界计算区域，u(x)定义在ωˉ上。区域由一组m个散乱节点离散化，记为{x?}?=??。对于每个中心点xj，设ωj={x?(j),…,xm(j)}?ω表示由xj及其m-1个最近邻居组成的局部模板。

数值算例
本节提供了三个数值算例，以评估所提数值格式的精度、计算成本和有效性。对于每个测试问题，根据以下公式计算时间和空间收敛阶：
cδt = log?(error(δt,h)/error(δt/2,h))
ch = log_σ(error(δt,h)/error(δt/σ2,h/σ))

在所有数值实验中，采用多调和样条(phs)径向基函数φ(r)=r^7，其中r=‖x-xj‖?表示点之间的欧几里得距离。

结论
本文提出了一种用于do-tfmasde数值解的高阶局部化无网格方法。所提算法分为两个主要部分设计。首先，分布阶积分通过gauss-legendre积分进行近似，而riemann-liouville分数阶导数则使用二阶加权移位grünwald公式进行离散化。通过能量法研究了时间离散方法的稳定性和收敛性。其次，

credit作者贡献声明
omid nikan：撰写-审阅与编辑，撰写-原稿，验证，软件，调查研究，形式分析。

基金
本研究没有可声明的基金支持。

利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能会影响本文所报告的工作。

致谢
作者衷心感谢编辑和匿名审稿人仔细阅读本文并提供有益的意见。他们的建议对提高论文的清晰度和整体质量做出了重大贡献。

omid nikan ?rldt^(1-θ)u(x,t)=1/Γ(θ) ? ?t ∫?? (t-η)^(θ-1)u(x,η)dη 已开发了多种用于分布阶分数阶微分方程的数值方法。diethelm和ford[14]提出了针对此类问题的数值程序，并提供了相应的收敛性分析。gao和sun[15]后来引入了一种基于外推技术的两种差分格式，用于一维分布阶方程，证明了两种方法都是无条件稳定和收敛的。ford等人[16]开发了一种隐式有限差分方法，用于时间分布阶扩散方程。随后，gao等人[17]利用alikhanov的高阶插值公式[18]为多阶项和分布阶分数阶亚扩散方程构造了时间二阶格式。li和rui[19]将高阶时间插值近似与h1-galerkin混合有限元方法相结合，并推导了两种用于分布阶分数阶亚扩散问题的二阶数值格式。 分数阶微积分扩展了经典微积分，并为描述具有记忆和非局部效应的系统提供了有效的工具[20]。由于分数阶模型的精确解通常难以获得，准确高效的数值方法的开发受到了广泛关注[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]。特别是，无网格方法引起了广泛关注，因为它们不需要预定义网格，因此可以有效地用于复杂的计算区域。一些相关发展可以在[28]、[29]、[30]及其中的参考文献中找到。还提出了几种无网格方法用于不同类型的分数阶微分方程。abbaszadeh和dehghan[31]开发了一种局部径向基函数-有限差分(rbf-fd)技术，用于分布阶时间分数阶对流-扩散方程。zhang等人[32]提出了一种两级rbf-fd方法用于fisher方程的数值解。safari[33]采用了一种无网格后向替代法(bsm)用于多阶项时间分数阶积分微分方程。nikan等人[34]开发了一种局部紧凑积分rbf方法用于时间分数阶black-scholes模型。haghi和ilati[35]使用局部径向基函数-hermite有限差分(lrbf-hfd)方法用于分布阶时间分数阶电缆方程。最近，fardi等人[36]提出了一种紧凑径向基函数分区统一(rbf-pu)方法，用于二维具有时间延迟的中性反应-扩散方程。nikan[37]采用无网格bsm用于分布阶时间分数阶电缆方程。 在本文中，我们引入了一种高阶局部化无网格方法用于求解do-tfmasde。分布阶积分首先通过gauss-legendre积分进行离散化，而时间riemann-liouville分数阶导数则通过二阶加权移位grünwald差分(wsgd)公式进行近似。然后通过能量法建立了所得时间离散方法的收敛性和稳定性。在空间近似方面，采用局部径向基函数-hermite有限差分(lrbf-hfd)方法。lrbf-hfd方法在每个局部模板内的选定节点处评估导数信息，从而在不增加模板尺寸的情况下提高近似精度。与传统有限差分格式相比，hfd方法通常在相同模板尺寸下实现更高精度和更好的分辨率，从而带来更高的计算效率。最后，给出了三个在规则区域和几何复杂区域上的数值算例，以检验所提方法的精度和可靠性。 本文其余部分组织如下。第2节通过对方程经典时间导数和分数阶时间导数应用二阶近似，发展了时间半离散格式。第3节介绍了基于lrbf-hfd方法的空间离散化，并描述了对应局部近似方案的构造。第4节给出了三个在规则和不规则区域上的数值算例，以评估所提策略的精度、鲁棒性和效率。最后，第5节总结了主要发现并给出了结论性评论。 章节片段 半离散方法 本节通过结合经典时间导数的二阶近似和分数阶项的适当离散化，发展了问题的时间半离散格式。为此，时间区间[0,t]被划分为m个等长子区间，使用网格点tk=kδt，k=0,1,…,M，其中δt=T/M表示时间步长。该均匀时间网格用于近似相对于时间的经典导数和分数阶导数。 空间离散化通过lrbf-hfd方法 本节首先简要概述了基于径向基函数的hermite插值方法，然后利用该方法推导lrbf-hfd公式[41]、[42]、[43]。设ω?r^d，d=2或3，表示具有边界?Ω的有界计算区域，u(x)定义在Ωˉ上。区域由一组M个散乱节点离散化，记为{x?}?=??。对于每个中心点xj，设Ωj={x?(j),…,xm(j)}?Ω表示由xj及其m-1个最近邻居组成的局部模板。 数值算例 本节提供了三个数值算例，以评估所提数值格式的精度、计算成本和有效性。对于每个测试问题，根据以下公式计算时间和空间收敛阶： cδt=log?(error(δt,h)/error(δt/2,h)) ch=log_σ(error(δt,h)/error(δt/σ2,h/σ)) 在所有数值实验中，采用多调和样条(phs)径向基函数φ(r)=r^7，其中r=‖x-xj‖?表示点之间的欧几里得距离。 结论 本文提出了一种用于do-tfmasde数值解的高阶局部化无网格方法。所提算法分为两个主要部分设计。首先，分布阶积分通过gauss-legendre积分进行近似，而riemann-liouville分数阶导数则使用二阶加权移位grünwald公式进行离散化。通过能量法研究了时间离散方法的稳定性和收敛性。其次， credit作者贡献声明 omid nikan：撰写-审阅与编辑，撰写-原稿，验证，软件，调查研究，形式分析。 基金 本研究没有可声明的基金支持。 利益冲突声明 作者声明没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能会影响本文所报告的工作。 致谢 作者衷心感谢编辑和匿名审稿人仔细阅读本文并提供有益的意见。他们的建议对提高论文的清晰度和整体质量做出了重大贡献。 omid>?rldt^(1-θ)u(x,t) = 1/γ(θ) ?/?t ∫?? (t-η)^(θ-1)u(x,η)dη

已开发了多种用于分布阶分数阶微分方程的数值方法。diethelm和ford[14]提出了针对此类问题的数值程序，并提供了相应的收敛性分析。gao和sun[15]后来引入了一种基于外推技术的两种差分格式，用于一维分布阶方程，证明了两种方法都是无条件稳定和收敛的。ford等人[16]开发了一种隐式有限差分方法，用于时间分布阶扩散方程。随后，gao等人[17]利用alikhanov的高阶插值公式[18]为多阶项和分布阶分数阶亚扩散方程构造了时间二阶格式。li和rui[19]将高阶时间插值近似与h1-galerkin混合有限元方法相结合，并推导了两种用于分布阶分数阶亚扩散问题的二阶数值格式。

分数阶微积分扩展了经典微积分，并为描述具有记忆和非局部效应的系统提供了有效的工具[20]。由于分数阶模型的精确解通常难以获得，准确高效的数值方法的开发受到了广泛关注[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]、[27]。特别是，无网格方法引起了广泛关注，因为它们不需要预定义网格，因此可以有效地用于复杂的计算区域。一些相关发展可以在[28]、[29]、[30]及其中的参考文献中找到。还提出了几种无网格方法用于不同类型的分数阶微分方程。abbaszadeh和dehghan[31]开发了一种局部径向基函数-有限差分(rbf-fd)技术，用于分布阶时间分数阶对流-扩散方程。zhang等人[32]提出了一种两级rbf-fd方法用于fisher方程的数值解。safari[33]采用了一种无网格后向替代法(bsm)用于多阶项时间分数阶积分微分方程。nikan等人[34]开发了一种局部紧凑积分rbf方法用于时间分数阶black-scholes模型。haghi和ilati[35]使用局部径向基函数-hermite有限差分(lrbf-hfd)方法用于分布阶时间分数阶电缆方程。最近，fardi等人[36]提出了一种紧凑径向基函数分区统一(rbf-pu)方法，用于二维具有时间延迟的中性反应-扩散方程。nikan[37]采用无网格bsm用于分布阶时间分数阶电缆方程。

在本文中，我们引入了一种高阶局部化无网格方法用于求解do-tfmasde。分布阶积分首先通过gauss-legendre积分进行离散化，而时间riemann-liouville分数阶导数则通过二阶加权移位grünwald差分(wsgd)公式进行近似。然后通过能量法建立了所得时间离散方法的收敛性和稳定性。在空间近似方面，采用局部径向基函数-hermite有限差分(lrbf-hfd)方法。lrbf-hfd方法在每个局部模板内的选定节点处评估导数信息，从而在不增加模板尺寸的情况下提高近似精度。与传统有限差分格式相比，hfd方法通常在相同模板尺寸下实现更高精度和更好的分辨率，从而带来更高的计算效率。最后，给出了三个在规则区域和几何复杂区域上的数值算例，以检验所提方法的精度和可靠性。

本文其余部分组织如下。第2节通过对方程经典时间导数和分数阶时间导数应用二阶近似，发展了时间半离散格式。第3节介绍了基于lrbf-hfd方法的空间离散化，并描述了对应局部近似方案的构造。第4节给出了三个在规则和不规则区域上的数值算例，以评估所提策略的精度、鲁棒性和效率。最后，第5节总结了主要发现并给出了结论性评论。

章节片段
半离散方法
本节通过结合经典时间导数的二阶近似和分数阶项的适当离散化，发展了问题的时间半离散格式。为此，时间区间[0,t]被划分为m个等长子区间，使用网格点tk=kδt，k=0,1,…,m，其中δt=t/m表示时间步长。该均匀时间网格用于近似相对于时间的经典导数和分数阶导数。

空间离散化通过lrbf-hfd方法
本节首先简要概述了基于径向基函数的hermite插值方法，然后利用该方法推导lrbf-hfd公式[41]、[42]、[43]。设ω?r^d，d=2或3，表示具有边界?ω的有界计算区域，u(x)定义在ωˉ上。区域由一组m个散乱节点离散化，记为{x?}?=??。对于每个中心点xj，设ωj={x?(j),…,xm(j)}?ω表示由xj及其m-1个最近邻居组成的局部模板。

数值算例
本节提供了三个数值算例，以评估所提数值格式的精度、计算成本和有效性。对于每个测试问题，根据以下公式计算时间和空间收敛阶：
cδt = log?(error(δt,h)/error(δt/2,h))
ch = log_σ(error(δt,h)/error(δt/σ2,h/σ))

在所有数值实验中，采用多调和样条(phs)径向基函数φ(r)=r^7，其中r=‖x-xj‖?表示点之间的欧几里得距离。

结论
本文提出了一种用于do-tfmasde数值解的高阶局部化无网格方法。所提算法分为两个主要部分设计。首先，分布阶积分通过gauss-legendre积分进行近似，而riemann-liouville分数阶导数则使用二阶加权移位grünwald公式进行离散化。通过能量法研究了时间离散方法的稳定性和收敛性。其次，

credit作者贡献声明
omid nikan：撰写-审阅与编辑，撰写-原稿，验证，软件，调查研究，形式分析。

基金
本研究没有可声明的基金支持。

利益冲突声明
作者声明没有已知的竞争性经济利益或个人关系可能会影响本文所报告的工作。

致谢
作者衷心感谢编辑和匿名审稿人仔细阅读本文并提供有益的意见。他们的建议对提高论文的清晰度和整体质量做出了重大贡献。

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