变时间步长ESAV-BDF2有限元方法求解不可压缩Navier-Stokes方程的H1和L2范数最优误差估计

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：Optimal H1 and L2 error estimates for an ESAV-BDF2 finite element method with variable time steps for the incompressible Navier-Stokes equations

　　

摘要

实现求解不可压缩Navier–Stokes方程的变步长线性格式的最优L2范数误差估计仍然是一个重要的理论挑战。虽然近期的工作已经建立了次优或部分最优的收敛性结果，但在一般变时间步长下完全严谨的最优L2误差估计尚未实现。为此，我们考虑了一种基于指数标量辅助变量（ESAV）方法的线性变步长BDF2格式，并通过Crank–Nicolson步进行初始化以确保完全的二阶时间精度。本文的主要贡献是一项严格的收敛性分析，该分析在变步长体制下获得了全局二阶时间精度以及速度在H1范数和L2范数下的最优空间误差估计。我们的分析方法处理了从第二步开始的变步长离散正交卷积（DOC）结构所产生的历史卷积问题。分析的关键要素是专门为变步长ESAV-DOC框架设计的负范数技术。这一新颖的方法使我们能够将已建立的最优H1估计提升为最优L2估计，从而以最优L2范数误差估计补充了现有理论。采用分级网格和随机生成时间网格的综合数值实验验证了我们所提格式理论收敛率的精确性。

引言

本文考虑如下非稳态不可压缩Navier-Stokes（NS）方程的原始变量形式。Ω给定为???（??=2或3）中的有界开区域，T>0为终止时间。记??=??(??,??)为流体速度，??=??(??,??)为流体压力。则NS方程写为：
{????+(??·??)?????Δ??+????=??, 在(0,??]×Ω中，
??·??=0, 在(0,??]×Ω中，
满足Dirichlet边界条件??(??,??)=????(??,??)在(0, T] × ?Ω上，以及初始条件??(0,??)=??0(??)在Ω中。此外，??=1/Re为粘度，Re表示雷诺数，f为外力。

NS方程（1）控制着从空气动力学到生物医学流体的广泛科学和工程应用中的粘性流体流动。尽管这些方程的物理基础已经确立，但由于其非线性和多尺度特性，数值求解仍然具有挑战性。虽然在开发稳定和高效的数值格式方面取得了重要进展，但在时间和空间上实现最优收敛率——特别是在变步长策略下——仍然是活跃的研究领域。

对流项(u·?)u为NS方程引入了非线性，产生了一个非线性方程组。隐式时间离散化在每个时间步需要非线性求解器，而显式格式则要求严格的CFL条件以保证数值稳定性，这往往导致禁止性的小时间步长。为了缓解这些限制，人们开发了各种稳定化技术。例如，文献[1]提出在对流项内对流速度进行外推，并用稳定化项????Δ??增强格式，其中α是调节参数，h是网格尺寸。

另一方面，对流项的反对称性质也值得仔细考虑。在不可压缩条件??·??=0在Ω中以及无穿透边界条件??·??=0在?Ω上的条件下，对流项在维持能量和动量平衡中起着至关重要的作用。该非线性项存在若干变体形式。在式（1）中给出的对流形式虽然常见，但并不天然保持离散反对称性。为了解决这一问题，提出了反对称和旋转等替代形式[2]、[3]。最近，能量、动量和角动量守恒（EMAC）格式[4]作为一种特别有前景的替代方案出现。通过设计，它不仅守恒能量和线动量，还守恒角动量——这些守恒律对于精确的长期模拟至关重要。基于这些"增强物理"原则的数值格式通常表现出更高的精度和更好的稳定性，这解释了EMAC相比其他非线性项变体的性能优势。文献[5]随后引入并分析了一种线性化的EMAC格式。EMAC格式的重要性不仅体现在物理守恒性质上，还体现在数值分析方面。正如文献[6, Remark 4.9]所指出的，除非对非线性项采用EMAC格式，否则获得Navier-Stokes方程的Taylor-Hood有限元离散化的鲁棒误差估计是困难的。文献[7]进一步发展了一种方案，该方案给出了与粘度无关的Gr?nwall常数，从而建立了严格的长期稳定性和精度保证。

近年来，标量辅助变量（SAV）方法及其变体在离散化强非线性项和设计相场及多相流模型中能量稳定的线性格式方面获得了广泛应用[8]、[9]、[10]。SAV方法引入一个辅助标量变量，与显式非线性项耦合，并配备相应的动力学方程，以监控和控制系统能量的演化。该方法首先在文献[11]中应用于NS方程以处理非线性对流项。后来，一种基于SAV并结合投影方法的方案被提出并分析用于不可压缩NS方程[12]、[13]。在结合SAV的有限元方法中，Zhang和Yuan[14]首次建立了最优的先验误差估计，尽管其分析假设了对流项的反对称形式。随后，文献[15]为Scott–Vogelius H1-散度自由有限元建立了鲁棒的误差估计。

除了非线性之外，流体流动的多尺度特性带来了额外挑战，需要时间和空间上既精确又稳定的时间积分格式。文献[16]表明，为获得精确结果，至少需要二阶时间步长格式。二阶后向差分格式（BDF2）因其良好的稳定性而特别有吸引力。与后向欧拉方法相比，BDF2提供了更高的精度；与Crank–Nicolson型格式相比，它更加稳健，适用于Navier-Stokes方程等刚性且强耗散的问题。尽管近年来结构保持的基于EMAC和SAV/ESAV的格式与BDF2的结合已被广泛研究，但大多数现有分析仅限于固定时间步长，例如[17]，这可能导致长时间模拟中不必要的计算成本。变步长策略的关键优势在于能够根据解的不同时间尺度调整时间步长：在快速变化或近奇异行为处采用较小的时间步，而在解平稳演化时使用较大的时间步，从而降低总体计算成本[18]。

变步长BDF2格式的数值分析比固定步长情况更为困难，因为变化的时间步引入了额外的自由度。尽管变步长BDF2方法近年来受到越来越多的关注，但NS方程的严格收敛结果仍然相对有限；参见例如[19]、[20]、[21]。文献[19]在经典步比限制下建立了二阶误差估计，但相关系数通常涉及在时间步快速减小时可能趋于无界的量。文献[20]采用乘子技术结合精细的算子不等式推导了L2误差估计，通过采用单调递减步比的特殊时间网格类，所得收敛常数是均匀有界的。文献[21]研究了结合grad-div稳定化的隐显和半隐式变步长BDF2有限元方法，并在适当的步比条件下建立了稳定且与Re无关的误差界。

同时，一系列新颖的能量技术被提出用于处理梯度流及相关耗散系统的变步长多步格式，包括广义Gr?nwall不等式、互补卷积核和离散正交卷积（DOC）核[22]、[23]。这些方法有效地消除了误差分析中不期望的增长因子，并显著放宽了经典步比约束。最近，文献[24]将DOC框架推广到Cahn-Hilliard方程，并将BDF2的步比上界进一步放宽到4.864。他们的DOC核从k=2初始化，而第一步的解由后向欧拉（BDF1）格式计算。然而，他们的估计似乎不完整，因为他们将第一步的时间差商?τe1留作未估计。

回到NS方程，若干工作将这些新的能量技术纳入了变步长BDF2格式的分析中。文献[25]考虑了NS方程的SAV方法，推导了谱方法上的尖锐误差估计。然而，他们主要关注速度在H1和H2范数下的误差，但没有推导L2范数误差。最近，Ji和Zhao[26]应用DOC技术分析了不可压缩Navier-Stokes方程隐显BDF2格式的L2范数误差。他们通过将DOC的起始索引修改为1避免了估计?τe1。这引入了一个相容性问题，因为第一步由BDF1格式计算，而DOC格式是针对BDF2结构推导的。此外，尽管他们的误差估计在形式上包含O(τ2)项，但初始步长贡献的O(τ?^(3/2))阶项导致了轻微的阶数降低，因此严格的时间二阶精度并未完全实现。另外，他们的L2范数估计不够尖锐，且降低了一阶。

在本文中，我们为NS方程发展了一种线性的二阶时间离散化方案。非线性对流项采用EMAC格式以保留重要的物理不变量。对于空间离散化，我们采用Taylor–Hood有限元对，因为其inf-sup稳定性和易于实现。对于时间离散化，我们提出了一种带变步长的基于ESAV的稳定化隐显BDF2格式。为避免一阶初始化引起的典型阶数降低，我们在第一步采用Crank–Nicolson格式。我们分析中的核心挑战是推导速度的完全最优L2误差估计。标准的Aubin–Nitsche对偶论证不能直接应用，因为标准对偶框架与变步长BDF2离散化耦合ESAV格式不相容。为克服这一问题，我们结合负范数技术[27]、数学归纳法和离散正交卷积（DOC）技术。论证过程首先建立最优H1界，然后推导中间H?1估计，最后得到尖锐的L2范数结果。这些改进带来了完全尖锐的误差分析，弥补了当前文献中观察到的不足。我们的工作扩展并显著改进了文献[17]中的分析。虽然我们采用该工作的归纳框架来证明H1估计，但我们将其与DOC技术相结合，以严格处理变步长情况，并为CN初始化提供精确的误差估计。更重要的是，我们为速度得到的最优L2误差估计——这在[17]中未被考虑——代表了本文的主要理论进步。

本文其余部分组织如下。第2节给出空间和时间离散化框架以及后续分析所需的若干基本预备知识。第3节发展了带变步长的二阶线性EMAC-ESAV有限元格式。第4节建立了速度的最优H1范数误差估计。第5节建立了压力误差估计。第6节致力于推导H?1范数估计并证明最优L2范数误差估计。第7节报告了验证我们理论发现的数值实验。第8节给出结论性评述。

各节摘录

预备知识

本节汇集后续误差分析中将用到的符号、泛函设定、有限元逼近性质和辅助估计。

首先介绍本文全文使用的符号。L2(Ω)上的内积及其诱导的范数分别记为(·, ·)和‖·‖。对于1 ≤ p ≤ ∞和k ≥ 0，记Lp(Ω)中的范数为∥·∥????，Wk,p(Ω)中的范数为∥·∥????,??。特别是，Hk(Ω)中的范数和半范数分别记为

带变步长的线性EMAC-ESAV有限元格式

考虑如下三线性形式??(·,·,·): ??×??×??→?，
??(??,??,??)=2(??(??)??,??)+((??·??)??,??)=(??(??,??),??)，
其中??(??)=1/2(????+(????)??)被视为?u的对称化，??(??,??)=2??(??)??+(??·??)??。此三线性形式??(·, ·, ·)用于表示EMAC格式中的非线性项，并且满足??(??,??,??)=0。注意(??·??)??=2??(??)???1/2 ??|??|2。通过将?1/2 ??|??|2项并入?p并修改压力p为??=???1/2|??|2，我们得到NS方程（1）的等价EMAC弱格式。

最优全离散误差估计

在本节中，我们将仔细分析所提线性EMAC有限元格式（16）在时间和空间上的收敛行为。设(u, P, Q)为系统（15）的解，{(?????,?????,????)}????=1为IMEX-BDF2格式产生的数值解。

我们假设精确解 (u, P) 满足以下正则性要求：
$$
\begin{cases}
\boldsymbol{u} \in L^\infty(t_0, T; (H^1_0(\Omega))^d \cap (H^3(\Omega))^d), \\
\boldsymbol{u}_t \in L^\infty(t_0, T; (H^3(\Omega))^d), \\
\boldsymbol{u}_{tt} \in L^\infty(t_0, T; (L^2(\Omega))^d), \\
\boldsymbol{u}_{ttt} \in L^2(t_0, T; (H^1(\Omega))^d), \\
P \in L^\infty(t_0, T; H^2(\Omega)).
\end{cases}
$$
注意 $u \in L^\infty(t_0, T; (H^3(\Omega))^d)$。

**压力的最优误差估计**

在本节中，我们在可变时间步长设置下建立了压力的最优误差估计。其证明依赖于负范数技巧和定理4.5。遵循文献[17]和[34]中的论证方法，我们得到压力的最优误差估计。

**定理5.1** 假设(18)成立且满足定理4.5的条件，则压力的如下误差估计成立：
$$
\sum_{i=1}^{n} \tau_{i+1} \|P(t_{i+1}) - P_{i+1}^h\|^2 \leq \mathcal{K}(T, \nu)(h^4 + \tau^4),
$$
其中 $1 \leq n \leq N-1$，$\mathcal{K}(T, \nu) > 0$ 是依赖于 $T$ 和 $\nu$ 的常数。

**证明** 我们可以得到……

**通过负范数技巧获得最优 $L^2$ 范数误差估计**

在本节中，我们将通过负范数方法证明速度的最优 $L^2$ 范数误差估计。其主要核心在于证明速度在 $l^2(t_2, t_n; L^2)$-范数下具有三阶收敛率，如下引理所述。

**引理6.1** $l^2(t_2, t_n; L^2)$-范数误差估计

在定理4.5的条件下，存在常数 $h^*,_3 > 0$，使得对所有满足 $\tau \leq h \leq h^*,_3$ 的步长，如下误差估计成立：
$$
\|e_n^u\|^2_{h,-1} + \nu \frac{\mathfrak{m}_1}{\mathfrak{m}_2} \sum_{k=2}^{n} \tau_k \|\boldsymbol{u}(t_k) - \boldsymbol{u}_k^h\|^2 + |e_n^Q|^2 \leq \left(2\exp(2T(\mathcal{J}_3 + \mathcal{J}_4))\mathcal{W}_{\{T\}} + \nu \frac{\mathfrak{m}_1 T}{\mathfrak{m}_2}(C_2)^2 \|\boldsymbol{u}\|^2_{L^\infty(t_0, T; H^3)}\right)(\tau^4 + h^6).
$$

**证明**

**数值实验**

我们给出数值实验来验证速度在 $H^1$-和 $L^2$-范数下的最优误差估计，这是本文的核心理论结果。为了检验在一般可变步长设置下的收敛性，我们采用预设的时间步长序列，具体包括分级型和随机生成的模式（参照文献[26]）。需要指出的是，我们的目的并非开发或测试自适应时间步长算法，而是将这些序列仅作为典型示例使用。

**结论**

本文发展并严格分析了一种针对不可压缩Navier-Stokes方程的线性二阶数值格式。通过将ESAV与可变步长BDF2时间离散相结合，并以CN步进行初始化，该格式在时间上实现了完全的**二阶精度**。主要理论贡献有两方面：首先，我们利用DOC技巧建立了速度场的**最优$H^1$-范数误差估计**，并为初始步提供了严格的误差分析。

**致谢**

本文受山东省随机系统控制与科学计算重点实验室资助。R. Lan 的工作部分由国家自然科学基金（批准号12301531）、山东省优秀青年科学家海外基金计划（批准号2023HWYQ-064）、山东省青年创新项目（批准号2024KJN057）以及中国海洋大学青年科研基金项目资助。

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**兰瑞辉 | 单志鑫 | 王华**
中国海洋大学 数学科学学院，山东青岛，266100，中国