一种用于矩形柱体侧风响应评估的符号回归方法

《Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics》：A symbolic regression approach for crosswind response evaluation of rectangular cylinders

　　

摘要

矩形圆柱的横风向振动是风工程中长期存在的一个难题，其特点是多种流致振动机制并存，且控制参数之间存在强烈的非线性相互作用。本研究采用符号回归（SR）方法，为矩形圆柱的横风向响应推导出显式且可解释的公式。基于涵盖不同湍流强度、边比、斯库顿数和折算风速的综合实验数据库，对两种代表性算法进行了对比研究，即Python符号回归（PySR）和物理符号优化（PhySO）。模型性能在两个折算风速范围内进行评估（$6\le U_r\le 15$ 和 $U_r>15$）。这种划分有助于符号回归模型更好地捕捉不同的响应模式，包括涡激振动、抖振及其耦合效应，同时避免在整个范围内使用过于复杂的单一表达式。PySR在低风速和高风速范围内的$R^2$值分别为0.93和0.96，而PhySO的对应值分别为0.54和0.92，最大的性能差异出现在强非线性低风速范围内。最后，Sobol和部分依赖分析表明，所推导的表达式再现了与既定气动趋势相符的若干依赖性关系（在拟合域内）。因此，本研究证明符号回归为评估矩形圆柱的横风向响应提供了一种有效且可解释的框架。

引言

矩形圆柱的横风向振动，包括涡激振动（VIV）和抖振，长期以来一直被视为风工程中的经典课题之一。从不同视角对该问题开展了大量研究，包括流致力和结构响应（Bishop和Hassan, 1964, Parkinson和Smith, 1964）、矩形圆柱的涡脱落特性和尾流动力学（Okajima, 1982, Nakamura和Ohya, 1983），以及抖振机制和非线气动行为（Den Hartog, 1985, Mannini等, 2018）。最近，也有研究尝试使用机器学习技术预测矩形圆柱的横风向响应（Lin等, 2021）。该问题的困难不仅源于多种气动机制的并存，还源于流固相互作用中固有的显著非线性。对此类响应的不准确预测可能导致不安全的结构、适用性问题，甚至在大风条件下对工程结构造成灾难性后果。因此，深入理解和准确预测矩形圆柱的横风向响应对于工程结构的抗风设计和适用性评估具有重要意义。

目前关于矩形圆柱横风向振动的研究主要沿三个方向展开：理论或半经验模型、风洞试验和计算流体力学（CFD）模拟。基于尾流振子概念或准定态假设发展的理论模型（Birkhoff, 1953, Hartlen和Currie, 1970, Iwan和Blevins, 1974, Tamura和Matsui, 1980）在一定程度上可以反映响应的本质气动特征，但其预测性能往往强烈依赖于经验系数，当多个控制参数耦合时会变得不太可靠。风洞试验仍然是可信气动响应数据的主要来源，具有高保真度，但通常伴随着漫长的测试周期、可观的费用和不可避免的比例效应。CFD模拟，尤其是大涡模拟（LES）（Rodi, 1997, Tamura等, 1998, Sohankar, 2008），能够提供关于流场的更丰富信息，但计算成本仍然很高，限制了其在广泛参数分析中的应用。就此而言，现有的任何方法都未能完全解决准确性、效率和通用适用性之间难以调和的问题。

近年来，随着数据驱动方法的发展，机器学习（ML）在风工程中引起了越来越多的关注。最近的研究已经展示了其在广泛的应用中的潜力，包括桥梁气动、钝体绕流场预测和高楼横风向荷载估算（Fu等, 2007, Zhou等, 2011, Bre等, 2018, Lin等, 2022, Huang等, 2024, Gao等, 2024, Jiang等, 2025）。特别是，先进的深度学习模型在捕捉流固相互作用问题中复杂非线性关系方面展现出了强大能力（Zhang等, 2024, Lin等, 2024）。传统机器学习模型可以实现较高的预测精度；然而，其参数依赖关系通常仍然嵌入在"黑箱"结构中，限制了直接的物理检查和工程透明度（Rudin, 2019, Arrieta等, 2020）。符号回归（SR）通过直接搜索显式解析表达式来解决这一局限性，使得控制参数与结构响应之间的关系可以以方程形式进行检验（Jin等, 2020, Udrescu和Tegmark, 2020, Petersen等, 2021, Makke和Chawla, 2024）。

过去几十年，SR已从早期的启发式搜索和遗传编程方法（Gerwin, 1974, Langley, 1978, Lenat, 1984, Koza, 1989, Koza, 1990, Koza, 1994, Howard和D'Angelo, 1995, Iba等, 1995, Montana, 1995）发展为一类更广泛的计算框架。尽管遗传编程及其变体得到了广泛开发（Salhi等, 1998, Augusto和Barbosa, 2000, Bonet和Geffner, 2001, Vladislavleva等, 2008, Searson等, 2010, Icke和Bongard, 2013），但近年来的进展越来越多地结合了强化学习（RL）和物理信息约束（Jin等, 2020, Udrescu和Tegmark, 2020, Petersen等, 2021），使得能够从数据中发现紧凑的解析表达式和潜在的物理关系。最近的研究展示了其在科学应用中的有效性，其中PySR等符号回归工具已成功用于恢复高能物理中的解析表达式和推导复杂系统的紧凑参数公式，突显了其在可解释发现方面的潜力（Raissi等, 2019, La Cava等, 2021, Cranmer, 2023, Tenachi等, 2023, Morales-Alvarado等, 2024, Hru?ka等, 2025, Tsoi等, 2025）。

尽管SR在许多科学领域已展现出相当大的潜力，但其在风工程中的应用仍处于早期阶段。Cid Montoya等人（2026）最近的一项研究采用两阶段SR方法预测钝体桥面板的抖振导数，在保持可解释解析表达式的同时，展示了优于克里金代理模型的预测性能。相比之下，本研究引入了折算风速划分策略来预测与涡激振动、抖振及其耦合相关的矩形圆柱横风向响应。与Lin等人（2021）先前开发的GBRT预测器相比，本研究侧重于显式的、感知机制的公式，其预测精度、模型结构、计算成本和学到的变量依赖性都可以直接检验。因此，本研究的创新性在于为多机制横风向响应问题推导和评估显式的、感知机制的公式。本研究的主要贡献总结如下：

（1）建立了一个可解释的SR框架，从中获得了矩形圆柱横风向响应的显式解析表达式。

（2）系统地比较了PySR和PhySO的性能，并在预测精度、模型结构和计算成本方面进一步与GBRT进行了基准比较。

（3）提出了一种风速划分策略，减少了不同气动机制之间耦合造成的干扰，同时提高了预测性能和可解释性。

本文的组织如下。第2节介绍矩形圆柱横风向振动的主要物理机制，并构建SR建模问题。第3节描述实验数据库、模型配置和性能评估指标。第4节呈现PySR和PhySO获得结果的对比分析，包括整体预测性能和基于敏感性的物理解释。第5节得出结论并讨论局限性以及未来的可能研究方向。

章节摘要

横风向响应预测的模型输入与输出

横风向振动主要受两种气动不稳定现象支配，包括涡激振动（VIV）和抖振，以及它们的耦合效应。

涡激振动起源于结构尾流区中的周期性涡脱落（即卡门涡街）。如图1所示，在来流风作用下，矩形圆柱尾流中形成交替脱落的涡旋，称为卡门涡街。这种周期性

实验设置

为了系统地评估和比较PySR和PhySO在预测矩形圆柱横风向响应方面的性能，本研究构建了一个统一的实验框架。该框架涵盖数据集构建、具体模型训练配置和一套完整的性能评估指标，旨在确保两种算法在相同条件下进行公平比较。

结果与分析

基于第2节和第3节建立的符号回归框架和实验设置，本章系统地比较了PySR和PhySO在预测矩形圆柱横风向响应方面的性能。分析重点关注：(a) 在相同数据集和操作符配置下，两个模型的整体预测精度与复杂性之间的权衡，(b) 所获得的解析表达式的结构特征和物理可解释性

结论

本研究采用符号回归为矩形圆柱横风向响应预测推导出显式且可解释的公式，并在统一的数据集和评估协议下对两个代表性框架PySR和PhySO进行了系统比较。结果表明，符号回归能够捕捉横风向振动的高度非线性动力学，提供紧凑的解析表达式，这些表达式与可解释的

CRediT作者贡献声明

吴帅：写作—初稿撰写、可视化、方法论、调查研究、正式分析、数据整理、概念构思。王秋磊：写作—审阅与编辑、验证、方法论、概念构思。林鹏飞：写作—审阅与编辑、监督、项目管理、方法论、调查研究、资金获取、概念构思。宋杰：写作—审阅与编辑、验证、方法论、概念构思。胡刚：写作—审阅与编辑、验证，

利益冲突声明

作者声明他们没有已知的竞争经济利益或个人关系，这些利益或关系可能会影响本文所报告的工作。

致谢

本研究由中国国家自然科学基金支持（项目编号：52441803和W2511050）。

吴帅|王秋磊|林鹏飞|宋杰|胡刚|陈文理|李辉