堆指数作为有限尺寸等效指数：共轭平均场控制及其在固定基底上创新序列建模中与增长网络模型相当的精度

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：The heaps exponent as a finite-size effective exponent: Conjugate mean-field control and comparable accuracy to growing-network models for innovation sequences on a fixed substrate

　　

摘要

高阶Heaps统计量——描述创新序列的规律——是否必须通过网络增长才能涌现，还是可以在固定底物上自组织？我们提出了一种社区增强型带阻力系数的随机游走（CRWR），将其置于固定的Watts–Strogatz格上。该游走者结合了三种权重机制：边增强（δ）、格约束的社区整合（B），以及全局节点疲劳（即阻力系数r）。其第一阶和第二阶发现计数D?(t)～t^{β?}和D?(t)～t^{β?}分别统计不同条目数和不同有序对数。在固定底物上，无需网络增长，CRWR即可对四个异构数据集（USPTO专利、Nature论文、小说《战争与和平》以及Stack Overflow标签）的滑动窗口（β?, β?）统计量实现联合拟合，平均欧氏距离仅为0.008，而作为对比，在三角网格上运行的网络增长型边增强随机游走（ERRWT）的平均距离为0.030。唯一的结构性代价在于：发现率最高的序列只能在相对稠密的格上得到拟合。平均场分析识别出ξ=δ/(Kr)作为发现率的共轭控制量，我们直接验证了这一预言：在54个单元格上（跨越三个格度、δ的三个数量级以及r的3.3倍范围），无约束幂律拟合返回的δ和r的指数之和为+0.017，而精确共轭关系所要求的值应为零。同一测试也标明了该处理方法的适用边界，即通过格度的第二条通道，经验上（1?β?）K^{1/2}=g(ξ)，这一关系被领头阶闭式所遗漏，我们追溯其根源至游走者的边界暴露度。尤为关键的是，所测得的β?并非收敛的渐近常数，而是一个有限尺度的有效指数：随着固定底物的增大，其与观测窗口之间的系统性漂移被抑制——中位数从N=2×10?时的约0.08降至N=2×10?时的0.022；而具有触发机制的瓮模型（UMT）以及ERRWT，由于没有可增大的底物尺寸，在相同协议下仍持续漂移且毫不衰减。机制消融实验表明，三种机制控制着可达的（β?, β?）空间中不可替代的特征，其中边增强是唯一移除后会导致经验目标超出范围的因素。对于β?，我们推导了一个主方程，其领头阶闭式坍缩为一个二值结果；经验上的解耦关系β??β?≈α(K,B;δ,r)(1?β?)则由边权重的不均匀性决定，其严格闭式——需要完整的边权重分布——仍是主要的未解问题。因此，固定底物上的Heaps定律是自组织稳态的结果，而非网络增长的产物；其指数最好被理解为这一类局部增强型探索模型中共享的尺度依赖型有效量。

引言

新颖性出现的速度是复杂系统如何探索无穷可能性空间的定量表征。在书面语言、科学出版、音乐收听、在线标签等多个领域中，长度为t的序列中遇到的不同条目累计数D?(t)以次线性幂律方式增长，D?(t)～t^{β?}，其中0<β?<1——这一经验规律被称为heaps定律[1]。heaps指数β?衡量发现速率，并与zipf[2]和taylor[3]定律密切相关，后者共同刻画了相同序列的统计特征[4]、[5]。自simon[6]提出的富者愈富过程以来，生成模型的长期传统，以及网络中的优先连接[7]、[8]，一直在寻找能够复现这些统计特征的最小机制。一条特别有影响力的研究路线将kauffman的邻近可能集概念[9]形式化——即每一次发现都会扩展下一步可以发现的内容边界——通过pólya瓮模型实现，其中带有触发机制的瓮模型[10]、[11]在单一框架内复现了heaps定律、zipf定律和taylor定律[12]，并已在广泛的经验探索过程中得到验证[13]、[14]、[15]、[16]、[17]。另一条研究路线通过样本空间缩减（ssr）随机过程来解释相同的标度关系，在这些过程中，可访问状态集合随着过程的推进而收缩；这类过程能够普遍复现zipf定律，并将其与记录统计联系起来[18]、[19]。带有触发机制的pólya瓮模型为同一类特征提供了统一框架[12]、[20]。ssr机制对后续讨论具有启发性，因为crwr在不同描述层次上实现了相同的思想：样本空间——即固定格——从不收缩，但增强与疲劳机制使得有效可访问权重动态收缩。两种在结构上截然不同的"可访问集合随过程推进而有效收窄"的实现方式都能产生heaps和zipf标度，这本身证明了这些统计特征刻画了一类广泛的探索动力学，而非特定于某一底物。

互补的视角将探索表示为网络上的随机游走，其中条目对应节点，游走者在首次访问某个节点时即视为发现了该条目。iacopini等人[21]证明，在固定网络上的边增强随机游走（errw）——即每条被遍历的边获得权重增加，从而更可能被再次使用——可以复现heaps定律，并将发现速率与增强强度联系起来；该框架后来被扩展到多个共享公共底物的交互游走者[22]，以及从社交网络形成[23]到加密货币生态系统[24]等多种应用。这些基于网络的模型运作于固定拓扑之上，且仅涉及第一阶发现率β?。

最近，di bona等人[25]将新颖性的概念扩展到更高阶：除了不同单条目之外，还可以统计连续条目的不同有序对，其累计数d?(t)～t^{β?}定义了第二阶heaps指数β?≥β?。他们经验地证明了，β?几乎相同的序列在β?上可能存在显著差异，因此解耦β??β?携带着关于探索过程高阶结构的真实信息，这一点也早先在经验数据的高阶新颖性观察中得到预示[26]、[27]。为了复现联合的（β?, β?）统计量，他们引入了带触发机制的边增强随机游走（errwt），其中新节点或新边的发现会触发新节点和新边的添加，从而使网络本身随着游走过程持续增长。据我们所知，errwt是第一个能够复现真实创新序列高阶heaps统计量的生成模型，但它通过使探索动力学与动态增长的底物耦合来实现这一点。

这种状况留下了三个悬而未决的问题。首先，所有复现高阶统计量的模型都依赖于随探索而增长的底物：固定拓扑的errw仅能捕捉β?，而复现β?则需要网络增长。因此尚不清楚高阶heaps统计量是否需要网络增长，还是在固定几何底物上的游走是否就已足够。其次，heaps指数的闭式预言十分稀缺。瓮模型仅通过带有对数修正的渐近展开给出β?[10]、[11]，其与zipf定律的关系预设了zipf指数而非从动力学中预言它[4]，随机词汇增长模型仅给出特定语言模型的β?而非增强游走的β?[28]、[29]、[30]。增强随机游走的数学理论[31]、[32]、[33]、[34]、[35]已有相当深度的发展，但其关注点集中于定位、回归性和渐近速度，很少涉及本文感兴趣的发现率指数；据我们所知，在增强随机游走框架内尚未推导出heaps指数的闭式代数表达式——并且，正如我们将论证的，能够接受此类闭式的量是有限窗口有效指数而非真正的渐近常数。第三，也是最尖锐的问题，第二阶指数β?几乎没有任何解析处理：现有结果或是数值性的，或简化为渐近界[25]，或简化为对数式消失的解耦[12]，而β?所编码的高阶序列统计量则超出了上述增强游走理论的适用范围。

在本文中，我们通过一种置于固定watts–strogatz格[36]、[37]上的社区增强型带阻力系数随机游走（crwr）来探讨这些问题。游走者受三种机制支配，这些机制仅作用于拓扑永不改变的底物上的权重：边增强、一种格约束的社区整合（将发现传播至已访问的邻居节点），以及全局节点疲劳（即阻力系数r），后者驱使游走者远离已探索区域。核心的物理信息是：此类固定底物上的heaps定律是一种自组织现象——发现速率不由网络增长决定，而由已访问区域的动态维持的稳态所设定，从而将创新动力学置于复杂网络上自组织的更广阔物理学范畴之中。我们的贡献有三。第一，我们证明这种固定底物上的游走能够以0.008的平均最佳拟合距离复现四个异构经验数据集的联合（β?, β?）统计量，而网络增长型errwt的距离为0.030，表明复现高阶heaps统计量并不需要网络增长。唯一的结构性代价被明确记录：发现率最高的序列仅在相对稠密的格上得到拟合（n=2×10?时k=600，即每个节点耦合至底物的0.3%），因此crwr是以更稠密的固定几何替代增长规则，而非完全舍弃结构。第二，我们发展了一个领头阶平均场处理，其中heaps幂律源于已访问区域权重的时间稳态——这一机制在精神上类似于自组织临界性[38]，更直接地类似于临界pólya瓮[20]——并揭示了ξ=δ/(kr)作为共轭控制量，将边增强与节点疲劳坍缩到一个无量纲比率上。我们直接验证了这一预言：在54个单元格上（跨越三个格度、δ的三个数量级以及r的3.3倍范围），无约束幂律拟合返回的δ和r的指数之和为+0.017，而精确共轭关系所要求的值应为零。同一测试也显示了该处理方法的适用边界，即格度通过第二条通道进入，经验上（1?β?）k^{1/2}=g(ξ)，而领头阶闭式未能捕捉这一点；我们报告其来源为游走者边界暴露度的格度依赖性，并将相应的闭式赋予为在特定可测量近似下成立的标度关系，而非推导结果。第三，贯穿以上两方面，我们提供了证据表明，在这一整类局部增强型探索模型——包括crwr以及网络增长型瓮模型umt和errwt——中所测得的heaps指数是有限尺度有效指数而非收敛的渐近常数。证据来自一项对照比较：β?随观测窗口的系统性漂移随着固定底物增大而被抑制，其中位数从n=2×10?时的约0.08降至n=2×10?时的0.022，而网络增长模型由于没有可增大的底物尺寸，在相同协议下仍持续漂移且毫不衰减；直接的系统尺寸扫描证实了发现曲线在d?→n时偏离幂律，且较小格子的偏离更早发生。这重新定义了闭式的地位，将其定位为有效量的前渐近标度。第二阶指数β?在同一框架中处理：其解耦关系（相比之下是尺度稳定的，由边权重的不均匀性决定）存在一个经验关系，而该关系的严格闭式——需要完整的边权重分布——仍是主要的未解问题。全程中，我们并未将crwr定位为对网络增长模型[7]、[39]的替代，而是将其定位为一种物理上更简洁且解析上更易处理的替代方案，这符合识别创新动力学最小生成机制的更广泛研究纲领[40]、[41]、[42]。

本文其余部分组织如下。第2节定义crwr模型和测量协议。第3节呈现经验拟合、稳态分析与序列内分析以及流形覆盖消融实验。第4节发展平均场理论：β?的闭式处理（4.1–4.7节）和β?的部分解析处理（4.8节）。第5节讨论物理图像、与网络增长模型的比较以及未解问题。

章节片段

社区增强型随机游走模型

crwr模型是一种在固定图上的离散时间随机游走，辅以三种权重更新机制，这些机制随着游走的进行而修改转移概率。我们依次描述底物、游走者动力学及其三种机制，以及heaps指数的测量协议。全文中，图的拓扑保持固定不变；仅边权重和节点权重发生演化。

结果

我们呈现五组结果，围绕五个主要图表组织。全文中，所有滑动窗口heaps指数均使用窗口大小w=10?和步长s=2×103进行计算，经验序列与crwr游走之间保持一致（第2节）。除特别说明外，统计量取自各序列的稳态阶段，并在每个参数单元格内跨n_t=3次独立模拟试验进行汇总。 互补的视角将探索表示为网络上的随机游走，其中条目对应节点，游走者在首次访问某个节点时即视为发现了该条目。iacopini等人[21]证明，在固定网络上的边增强随机游走（errw）——即每条被遍历的边获得权重增加，从而更可能被再次使用——可以复现heaps定律，并将发现速率与增强强度联系起来；该框架后来被扩展到多个共享公共底物的交互游走者[22]，以及从社交网络形成[23]到加密货币生态系统[24]等多种应用。这些基于网络的模型运作于固定拓扑之上，且仅涉及第一阶发现率β?。 最近，di bona等人[25]将新颖性的概念扩展到更高阶：除了不同单条目之外，还可以统计连续条目的不同有序对，其累计数d?(t)～t^{β?}定义了第二阶heaps指数β?≥β?。他们经验地证明了，β?几乎相同的序列在β?上可能存在显著差异，因此解耦β??β?携带着关于探索过程高阶结构的真实信息，这一点也早先在经验数据的高阶新颖性观察中得到预示[26]、[27]。为了复现联合的（β?, β?）统计量，他们引入了带触发机制的边增强随机游走（errwt），其中新节点或新边的发现会触发新节点和新边的添加，从而使网络本身随着游走过程持续增长。据我们所知，errwt是第一个能够复现真实创新序列高阶heaps统计量的生成模型，但它通过使探索动力学与动态增长的底物耦合来实现这一点。 这种状况留下了三个悬而未决的问题。首先，所有复现高阶统计量的模型都依赖于随探索而增长的底物：固定拓扑的errw仅能捕捉β?，而复现β?则需要网络增长。因此尚不清楚高阶heaps统计量是否需要网络增长，还是在固定几何底物上的游走是否就已足够。其次，heaps指数的闭式预言十分稀缺。瓮模型仅通过带有对数修正的渐近展开给出β?[10]、[11]，其与zipf定律的关系预设了zipf指数而非从动力学中预言它[4]，随机词汇增长模型仅给出特定语言模型的β?而非增强游走的β?[28]、[29]、[30]。增强随机游走的数学理论[31]、[32]、[33]、[34]、[35]已有相当深度的发展，但其关注点集中于定位、回归性和渐近速度，很少涉及本文感兴趣的发现率指数；据我们所知，在增强随机游走框架内尚未推导出heaps指数的闭式代数表达式——并且，正如我们将论证的，能够接受此类闭式的量是有限窗口有效指数而非真正的渐近常数。第三，也是最尖锐的问题，第二阶指数β?几乎没有任何解析处理：现有结果或是数值性的，或简化为渐近界[25]，或简化为对数式消失的解耦[12]，而β?所编码的高阶序列统计量则超出了上述增强游走理论的适用范围。 在本文中，我们通过一种置于固定watts–strogatz格[36]、[37]上的社区增强型带阻力系数随机游走（crwr）来探讨这些问题。游走者受三种机制支配，这些机制仅作用于拓扑永不改变的底物上的权重：边增强、一种格约束的社区整合（将发现传播至已访问的邻居节点），以及全局节点疲劳（即阻力系数r），后者驱使游走者远离已探索区域。核心的物理信息是：此类固定底物上的heaps定律是一种自组织现象——发现速率不由网络增长决定，而由已访问区域的动态维持的稳态所设定，从而将创新动力学置于复杂网络上自组织的更广阔物理学范畴之中。我们的贡献有三。第一，我们证明这种固定底物上的游走能够以0.008的平均最佳拟合距离复现四个异构经验数据集的联合（β?, β?）统计量，而网络增长型errwt的距离为0.030，表明复现高阶heaps统计量并不需要网络增长。唯一的结构性代价被明确记录：发现率最高的序列仅在相对稠密的格上得到拟合（n=2×10?时K=600，即每个节点耦合至底物的0.3%），因此CRWR是以更稠密的固定几何替代增长规则，而非完全舍弃结构。第二，我们发展了一个领头阶平均场处理，其中Heaps幂律源于已访问区域权重的时间稳态——这一机制在精神上类似于自组织临界性[38]，更直接地类似于临界Pólya瓮[20]——并揭示了ξ=δ/(Kr)作为共轭控制量，将边增强与节点疲劳坍缩到一个无量纲比率上。我们直接验证了这一预言：在54个单元格上（跨越三个格度、δ的三个数量级以及r的3.3倍范围），无约束幂律拟合返回的δ和r的指数之和为+0.017，而精确共轭关系所要求的值应为零。同一测试也显示了该处理方法的适用边界，即格度通过第二条通道进入，经验上（1?β?）K^{1/2}=g(ξ)，而领头阶闭式未能捕捉这一点；我们报告其来源为游走者边界暴露度的格度依赖性，并将相应的闭式赋予为在特定可测量近似下成立的标度关系，而非推导结果。第三，贯穿以上两方面，我们提供了证据表明，在这一整类局部增强型探索模型——包括CRWR以及网络增长型瓮模型UMT和ERRWT——中所测得的Heaps指数是有限尺度有效指数而非收敛的渐近常数。证据来自一项对照比较：β?随观测窗口的系统性漂移随着固定底物增大而被抑制，其中位数从N=2×10?时的约0.08降至N=2×10?时的0.022，而网络增长模型由于没有可增大的底物尺寸，在相同协议下仍持续漂移且毫不衰减；直接的系统尺寸扫描证实了发现曲线在D?→N时偏离幂律，且较小格子的偏离更早发生。这重新定义了闭式的地位，将其定位为有效量的前渐近标度。第二阶指数β?在同一框架中处理：其解耦关系（相比之下是尺度稳定的，由边权重的不均匀性决定）存在一个经验关系，而该关系的严格闭式——需要完整的边权重分布——仍是主要的未解问题。全程中，我们并未将CRWR定位为对网络增长模型[7]、[39]的替代，而是将其定位为一种物理上更简洁且解析上更易处理的替代方案，这符合识别创新动力学最小生成机制的更广泛研究纲领[40]、[41]、[42]。 本文其余部分组织如下。第2节定义crwr模型和测量协议。第3节呈现经验拟合、稳态分析与序列内分析以及流形覆盖消融实验。第4节发展平均场理论：β?的闭式处理（4.1–4.7节）和β?的部分解析处理（4.8节）。第5节讨论物理图像、与网络增长模型的比较以及未解问题。 章节片段 社区增强型随机游走模型 crwr模型是一种在固定图上的离散时间随机游走，辅以三种权重更新机制，这些机制随着游走的进行而修改转移概率。我们依次描述底物、游走者动力学及其三种机制，以及heaps指数的测量协议。全文中，图的拓扑保持固定不变；仅边权重和节点权重发生演化。 结果 我们呈现五组结果，围绕五个主要图表组织。全文中，所有滑动窗口heaps指数均使用窗口大小w=>
互补的视角将探索表示为网络上的随机游走，其中条目对应节点，游走者在首次访问某个节点时即视为发现了该条目。iacopini等人[21]证明，在固定网络上的边增强随机游走（errw）——即每条被遍历的边获得权重增加，从而更可能被再次使用——可以复现heaps定律，并将发现速率与增强强度联系起来；该框架后来被扩展到多个共享公共底物的交互游走者[22]，以及从社交网络形成[23]到加密货币生态系统[24]等多种应用。这些基于网络的模型运作于固定拓扑之上，且仅涉及第一阶发现率β?。

最近，di bona等人[25]将新颖性的概念扩展到更高阶：除了不同单条目之外，还可以统计连续条目的不同有序对，其累计数d?(t)～t^{β?}定义了第二阶heaps指数β?≥β?。他们经验地证明了，β?几乎相同的序列在β?上可能存在显著差异，因此解耦β??β?携带着关于探索过程高阶结构的真实信息，这一点也早先在经验数据的高阶新颖性观察中得到预示[26]、[27]。为了复现联合的（β?, β?）统计量，他们引入了带触发机制的边增强随机游走（errwt），其中新节点或新边的发现会触发新节点和新边的添加，从而使网络本身随着游走过程持续增长。据我们所知，errwt是第一个能够复现真实创新序列高阶heaps统计量的生成模型，但它通过使探索动力学与动态增长的底物耦合来实现这一点。

这种状况留下了三个悬而未决的问题。首先，所有复现高阶统计量的模型都依赖于随探索而增长的底物：固定拓扑的errw仅能捕捉β?，而复现β?则需要网络增长。因此尚不清楚高阶heaps统计量是否需要网络增长，还是在固定几何底物上的游走是否就已足够。其次，heaps指数的闭式预言十分稀缺。瓮模型仅通过带有对数修正的渐近展开给出β?[10]、[11]，其与zipf定律的关系预设了zipf指数而非从动力学中预言它[4]，随机词汇增长模型仅给出特定语言模型的β?而非增强游走的β?[28]、[29]、[30]。增强随机游走的数学理论[31]、[32]、[33]、[34]、[35]已有相当深度的发展，但其关注点集中于定位、回归性和渐近速度，很少涉及本文感兴趣的发现率指数；据我们所知，在增强随机游走框架内尚未推导出heaps指数的闭式代数表达式——并且，正如我们将论证的，能够接受此类闭式的量是有限窗口有效指数而非真正的渐近常数。第三，也是最尖锐的问题，第二阶指数β?几乎没有任何解析处理：现有结果或是数值性的，或简化为渐近界[25]，或简化为对数式消失的解耦[12]，而β?所编码的高阶序列统计量则超出了上述增强游走理论的适用范围。

在本文中，我们通过一种置于固定watts–strogatz格[36]、[37]上的社区增强型带阻力系数随机游走（crwr）来探讨这些问题。游走者受三种机制支配，这些机制仅作用于拓扑永不改变的底物上的权重：边增强、一种格约束的社区整合（将发现传播至已访问的邻居节点），以及全局节点疲劳（即阻力系数r），后者驱使游走者远离已探索区域。核心的物理信息是：此类固定底物上的heaps定律是一种自组织现象——发现速率不由网络增长决定，而由已访问区域的动态维持的稳态所设定，从而将创新动力学置于复杂网络上自组织的更广阔物理学范畴之中。我们的贡献有三。第一，我们证明这种固定底物上的游走能够以0.008的平均最佳拟合距离复现四个异构经验数据集的联合（β?, β?）统计量，而网络增长型errwt的距离为0.030，表明复现高阶heaps统计量并不需要网络增长。唯一的结构性代价被明确记录：发现率最高的序列仅在相对稠密的格上得到拟合（n=2×10?时k=600，即每个节点耦合至底物的0.3%），因此crwr是以更稠密的固定几何替代增长规则，而非完全舍弃结构。第二，我们发展了一个领头阶平均场处理，其中heaps幂律源于已访问区域权重的时间稳态——这一机制在精神上类似于自组织临界性[38]，更直接地类似于临界pólya瓮[20]——并揭示了ξ=δ/(kr)作为共轭控制量，将边增强与节点疲劳坍缩到一个无量纲比率上。我们直接验证了这一预言：在54个单元格上（跨越三个格度、δ的三个数量级以及r的3.3倍范围），无约束幂律拟合返回的δ和r的指数之和为+0.017，而精确共轭关系所要求的值应为零。同一测试也显示了该处理方法的适用边界，即格度通过第二条通道进入，经验上（1?β?）k^{1/2}=g(ξ)，而领头阶闭式未能捕捉这一点；我们报告其来源为游走者边界暴露度的格度依赖性，并将相应的闭式赋予为在特定可测量近似下成立的标度关系，而非推导结果。第三，贯穿以上两方面，我们提供了证据表明，在这一整类局部增强型探索模型——包括crwr以及网络增长型瓮模型umt和errwt——中所测得的heaps指数是有限尺度有效指数而非收敛的渐近常数。证据来自一项对照比较：β?随观测窗口的系统性漂移随着固定底物增大而被抑制，其中位数从n=2×10?时的约0.08降至n=2×10?时的0.022，而网络增长模型由于没有可增大的底物尺寸，在相同协议下仍持续漂移且毫不衰减；直接的系统尺寸扫描证实了发现曲线在d?→n时偏离幂律，且较小格子的偏离更早发生。这重新定义了闭式的地位，将其定位为有效量的前渐近标度。第二阶指数β?在同一框架中处理：其解耦关系（相比之下是尺度稳定的，由边权重的不均匀性决定）存在一个经验关系，而该关系的严格闭式——需要完整的边权重分布——仍是主要的未解问题。全程中，我们并未将crwr定位为对网络增长模型[7]、[39]的替代，而是将其定位为一种物理上更简洁且解析上更易处理的替代方案，这符合识别创新动力学最小生成机制的更广泛研究纲领[40]、[41]、[42]。

本文其余部分组织如下。第2节定义crwr模型和测量协议。第3节呈现经验拟合、稳态分析与序列内分析以及流形覆盖消融实验。第4节发展平均场理论：β?的闭式处理（4.1–4.7节）和β?的部分解析处理（4.8节）。第5节讨论物理图像、与网络增长模型的比较以及未解问题。

章节片段

社区增强型随机游走模型

crwr模型是一种在固定图上的离散时间随机游走，辅以三种权重更新机制，这些机制随着游走的进行而修改转移概率。我们依次描述底物、游走者动力学及其三种机制，以及heaps指数的测量协议。全文中，图的拓扑保持固定不变；仅边权重和节点权重发生演化。

结果

我们呈现五组结果，围绕五个主要图表组织。全文中，所有滑动窗口heaps指数均使用窗口大小w=10?和步长s=2×103进行计算，经验序列与crwr游走之间保持一致（第2节）。除特别说明外，统计量取自各序列的稳态阶段，并在每个参数单元格内跨n_t=3次独立模拟试验进行汇总。>

所有模拟均使用由 N=2×10^5 个节点构成的基底和 2×10^5 步的序列，因此，第一个海普斯指数的平均场理论

经验（β1, β2）流形（图1）以及对四个数据集的单元格级别拟合提出了一个自然的问题：β1与动力学参数（δ, r）及网格度K的观测标度，能否从行走者动力学中得到解释？在此，我们提出一种平均场处理方法，该方法围绕三个具有不同认知地位（epistemic status）的陈述展开，并在全文中对其进行相应标记。

首先，一个精确关系：单步发现概率由未访问的邻居数固定……

讨论

本工作的主要贡献有三点。首先，我们表明，固定的网格基底足以以优于动态增长网络模型的精度，重现四个异质性创新数据集的序列内（β1, β2）统计量。其次，我们确定 ξ=δ/(Kr) 为第一个海普斯指数的共轭控制变量，并在测量分辨率内验证了该预测。第三——且贯穿以上两者——我们提供了证据，表明所测量的……

结论

我们已证明，创新序列的高阶海普斯统计量并不需要增长网络。在带有阻力的固定瓦茨-斯罗加茨（Watts-Strogatz）网格上进行社区增强的随机游走，以平均最佳拟合距离 0.008 重现了四个异质性经验数据集的联合（β1, β2）统计量，而增长网络基准为 0.030，同时该方法在物理上更简单，在解析上更易处理。放弃增长的代价是需要更密集的固定基底……

CRediT 作者贡献声明
赵群：原创草案撰写、可视化、软件、方法论、数据整理、概念化。杨梦辉：审校与编辑撰写、验证、监督、概念化。

利益冲突声明
作者声明，他们没有已知会可能影响本文所述工作的财务利益冲突或个人关系。

致谢
本研究工作得到中华人民共和国教育部人文社科重点研究基地重大项目（批准号：22JJD870001）的支持。

赵群 | 杨梦辉