基于自然分解的对称椭圆方程求解器：Lagrange元和Crouzeix-Raviart单元的零空间与值域空间方法

《Linear Algebra and its Applications》：Symmetric elliptic equation solvers via natural factorizations: Null and range space methods with Lagrange and Crouzeix-Raviart elements

　　

# 摘要

本研究探讨了随机系数椭圆问题有限元离散化所产生的线性系统的高效求解器，重点关注最小化对描述系数的参数κ的依赖，尤其是当该参数服从概率分布时。本文着重于两种对称预条件子$P_Ⅰ$和$P_Ⅱ$，它们由结合值域和零空间信息的2×2块系统导出，并针对随机系数问题的重复求解进行了优化设计。这些方法被应用于随机非均匀扩散问题，例如渗透系数由Karhunen-Loève展开确定的Darcy方程。数值实验证明了所提出的预条件共轭梯度求解器的有效性，展示了其在不同参数实现下的鲁棒性和可扩展性。本工作为推进随机和高维线性系统中的预条件技术奠定了基础。

## 章节片段

### 引言与问题背景

在本研究中，我们考虑以下一般形式的鞍点线性方程组：
$$\begin{bmatrix} D(\kappa) & -G \\ G^T & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q \\ u \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r \\ b \end{bmatrix}$$
其中矩阵D为对称正定矩阵。在各类情境下，关于鞍点矩阵问题的文献非常丰富，详见[5]、[25]及其参考文献。我们主要关注求解器（1），其性能仅弱依赖于参数κ，因为我们感兴趣的是对该参数系统进行大量实现次数的求解。

### 零空间方法

本文遵循文献[23]的方法，该文综述了求解稀疏对称鞍点系统的零空间分解方法，统一了各种方法并突出了它们之间的内在联系。该文从稀疏性和稳定性角度评估了这些分解方法的有效性，提供了数值结果并深入探讨了其作为优化问题稀疏直接求解器的潜力。零空间方法的主要方面如下所述。

设Z为一个列向量张成零空间的矩阵。

### 2×2块系统

我们特别关注零空间系统（9）中的2×2主块，即引入矩阵
$$A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} = [G, Z]^T D [G, Z] = \begin{bmatrix} G^T D G & G^T D Z \\ Z^T D G & Z^T D Z \end{bmatrix}$$
这是三个方阵的乘积。此外，引入
$$M = \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}^{-1} = [G, Z]^{-1} D^{-1} [G, Z]^{-T}$$
此外，如果使用记号
$$\Delta = [G, Z]^T [G, Z] = \begin{bmatrix} G^T G & 0 \\ 0 & Z^T Z \end{bmatrix} =: \begin{bmatrix} \Delta_1 & 0 \\ 0 & \Delta_2 \end{bmatrix}$$
注意到 $[G, Z]^{-1} = ([G, Z]^T [G, Z])^{-1} [G, Z]^T = \Delta^{-1} [G, Z]^T$，从（13）式我们可以写出：
$$M = \begin{bmatrix} \Delta_1^{-1} G^T D^{-1} G \Delta_1^{-1} & \Delta_1^{-1} G^T D^{-1} Z \Delta_2^{-1} \\ \Delta_2^{-1} Z^T D^{-1} G \Delta_1^{-1} & \Delta_2^{-1} Z^T D^{-1} Z \Delta_2^{-1} \end{bmatrix}$$

### 对称值域/零空间迭代方法

本节关注为下文介绍的块对角问题构造的两种对称预条件子$P_Ⅰ$和$P_Ⅱ$。它们由第3节中的2×2值域/零空间矩阵构造而成，并设计为其实现无关的分量可以离线计算。

### 应用于随机非均匀Darcy方程

在本节中，我们将上述开发的预条件子应用于随机非均匀扩散模型。具体而言，考虑非均匀扩散方程：
$$\begin{cases} -\partial_1(\kappa(x)\partial_1 u(x)) - \partial_2(\kappa(x)\partial_2 u(x)) = f(x), & x \in D \\ u(x) = 0, & x \in \partial D \end{cases}$$
其中$D \subseteq \mathbb{R}^2$，$\kappa: D \to \mathbb{R}^+$，$f: D \to \mathbb{R}$为已知函数。此处$\kappa(x)$是一个随机场，代表介质的渗透率，捕获问题的不确定性和数据局限性（例如地下流体流动）。强制项f也可能被建模为随机场，参见[3]、[4]、[10]。

### 数值结果

本节评估使用本文分析的两种预条件子$P_Ⅰ$和$P_Ⅱ$的预条件共轭梯度（PCG）方法。我们同时考虑了光滑随机系数和高对比度系数。

回顾我们在5.2节中描述的构造方法。对于数值测试，我们离线计算与$[G, Z]$相关的QR分解。为避免记号过载，我们保留符号M表示第3节中引入的逆块矩阵。

### 结论与未来研究

本研究解决了与随机系数椭圆问题相关的计算挑战，重点关注由参数κ的大量实现次数产生的系统的高效求解。我们专注于两种对称预条件子$P_Ⅰ$和$P_Ⅱ$，它们由相应2×2块系统的自然值域/零空间分解构造而成。两种方法都允许离线/在线实现，其中实现依赖性仅通过对角矩阵$D(\kappa)$进入。

## CRediT作者贡献声明

Cuervo、Galvis和Sarkis参与了预条件子的设计和数值测试。Cuervo完成了所有的数值实现并生成了数值结果。所有作者对论文的撰写贡献相同。

## 致谢

J. Galvis感谢MiLNE MATH-AmSud项目（项目编号23MATH-06），并感谢哥伦比亚国立大学科学计算卓越中心（Centro de Excelencia en Computación Científica）。

O. Andrés Cuervo | Juan Galvis | Marcus Sarkis