Caputo分数阶动力学模型数值计算方法的比较研究与理论分析

《Symmetry》：Comparative Analysis of Fractional Euler-Type and Runge–Kutta-Type Methods for Newton’s Law of Cooling and Page Models

　　本文提出了一个关于Caputo分数阶动力学模型的数值计算方法与理论分析的综合研究框架，旨在系统地比较Euler型和Runge–Kutta型分数阶数值方法在求解该类问题时的表现。具体而言，本项研究围绕分数阶Newton冷却定律与Page模型展开，核心工作包括以下四个方面：**一、数值方法的选用**研究中采用了四种分数阶数值方法：分数阶前向Euler法（FFEM）、分数阶后向Euler法（FBEM）、显式分数阶Runge–Kutta法（EFORK）以及隐式分数阶Runge–Kutta法（IFORK），用于对Caputo分数阶Newton冷却定律和Page模型进行数值求解。**二、解析解的推导**研究利用Kilbas–Saigo广义Mittag–Leffler函数，推导出了分数阶Page模型的一个新的解析解，为后续数值结果的验证提供了理论基准。**三、存在性与唯一性证明**运用Banach不动点定理，严格建立了两个分数阶模型解的存在性与唯一性，为该问题的数值求解提供了坚实的理论保障。**四、数值模拟与性能评估**针对不同的分数阶阶数、步长及模型参数，开展了系统的数值模拟实验，以考察所考虑方法的精度与收敛行为。评估指标包括：绝对误差分析、实验收敛阶以及数值解与对应解析解之间的图形化对比。结果表明，随着步长的减小，所有四种方法均收敛于相应的解析解。**总结**：本研究为Euler型与Runge–Kutta型分数阶数值方法在Caputo分数阶动力学模型数值求解中的应用提供了一个系统的比较框架，对于相关领域的数值分析研究具有一定的参考价值。