广义侧向抛物方程的磨光正则化方法

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：The mollification regularization method for a general sideways parabolic equation

　　

**摘要** 本研究探讨了求解一般侧向抛物方程柯西问题的 mollification（平滑化）正则化方法。通过将测量数据与 Dirichlet 核进行卷积，将不适定问题转化为适定问题。分别采用先验和后验参数选择方法来确保收敛估计的构造。最后给出了仿真结果，以说明所提方法的可行性和稳定性。

**引言** 在许多工业应用中，确定无法直接测量的物体表面温度具有重要意义（见[1]、[2]）。在这种情况下，必须根据物体内部某一固定位置记录的温度历史来推断表面温度。这被称为逆热传导问题（IHCP）。假设物体较大，该问题通常会导致以下四分之一平面上的侧向抛物方程（见[3]）：

$$\begin{cases} v_t = a_1(x)v_{xx} + a_2(x)v_x + a_3(x)v, & x > 0,\ t > 0 \\ v(1,t) = p(t), & t \geq 0 \\ v(x,0) = 0, & x > 0 \end{cases}$$

其中 $a_1$、$a_2$ 和 $a_3$ 是满足以下条件的给定函数，对某些 $\gamma, \eta > 1$：$\gamma \leq a_1(x) \leq \eta$，$x \in \mathbb{R}^+$，且 $a_3(x) \leq 0$。为简化起见，我们假设 $a_1(x) \in C^2(\mathbb{R}^+)$，$a_2(x) \in C^1(\mathbb{R}^+)$，$a_3(x) \in C(\mathbb{R}^+)$。此外，全文中我们假设 $p \in L^2(0, \infty)$，该数据被视为上述模型中的测量数据。

在逆热传导问题（IHCP）文献中，大多数研究集中于常系数标准热方程，其显式解的表示简化了分析过程（见[4]–[10]）。Tautenhahn 在文献[10]中研究了求解侧向热方程(1.1)的谱方法，但他没有给出后验参数选择规则。针对更一般的方程，数值方法已有发展（见[11]、[12]）；然而，在大多数情况下，稳定性理论和收敛性证明尚未得到全面探讨。本文旨在填补这一空白，提出两种正则化方法。在文献[6]中，作者研究了相同方程的非特征柯西问题，但其估计结果不适用于正则化近似解，且其工作中未提出任何正则化方法。侧向热方程的数值解已得到充分研究，读者可参考 Carasso [2] 和 H`ao [12] 的相关工作。众所周知，方程(1.1)在 Hadamard 意义下严重不适定。不适定问题是指无法从数据中获取解的有效信息的过程。换言之，不稳定——即无法从常规数据中有效恢复解——可视为信息丢失的结果。关于不适定性的详细分析，请参阅文献[13]。为克服不适定性，我们需要采用有效的正则化方法将不适定问题转化为适定问题。

Mollification（平滑化）方法涉及选择一个核函数与测量数据卷积，将不适定问题转化为适定问题。由于不同的核函数具有不同的优势，mollification 方法可应用于广泛的各类不适定问题。文献[14]、[15]、[16]利用高斯核来解决逆问题。H`ao [17]使用 Dirichlet 核和 de la Vallée-Poussin 核研究了抛物方程的柯西问题。类似地，He 和 Feng [18]使用三种不同的核函数求解了二维热方程的柯西问题。

在本文中，我们采用基于 Dirichlet 核的 mollification 正则化方法，在先验和后验规则下推导误差估计。此外，还提供了数值算例来验证该方法的有效性和稳定性。

文章结构如下：第2节分析问题的不适定性。第3节引入 Dirichlet 核并突出其在解决不适定问题中的相关性质。第4节在先验和后验规则下给出精确解与其近似解之间的锐误差估计。最后，第5节包含数值算例，展示所提方法的效率和精度。

**模型问题及其不适定性** 考虑关于变量 $t$ 的 $L^2(\mathbb{R})$ 中的问题，我们将 $v(x, \cdot)$、$p(\cdot) = v(1, \cdot)$、$f(\cdot) = v(0, \cdot)$ 以及本文中出现的其他函数在 $t < 0$ 时延拓为零。记号 $\|\cdot\|$ 和 $(\cdot, \cdot)$ 分别表示 $L^2(\mathbb{R})$ 中的范数和内积。

由于数据 $p(\cdot)$ 来源于物理观测，它不可避免地包含测量误差。我们假设测量数据 $p_\delta(\cdot)$ 满足以下条件：$\|p - p_\delta\| \leq \delta$。

函数 $p(t)$ 的 Fourier 变换为：

$$\hat{p}(\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} p(t) e^{-i\omega t} dt$$

**Dirichlet 核与辅助结果** Dirichlet 核函数定义为：

$$V_\mu(x) := \frac{\sin(x/\mu)}{\pi x},\quad x \in \mathbb{R}\ 且\ x \neq 0$$

相应的正则化算子定义为：

$$V_\mu * p(t) = \int_{\mathbb{R}} V_\mu(t) p(\omega - t)\, d\omega = \int_{\mathbb{R}} V_\mu(\omega - t) p(t)\, dt$$

$V_\mu(x)$ 的 Fourier 变换为：

$$\sqrt{2\pi}\, \hat{V}_\mu(\omega) = \begin{cases} 1, & |\omega| < 1/\mu \\ 0, & |\omega| \geq 1/\mu \end{cases}$$

为确保问题(1.1)的稳定性，我们将测量数据 $p_\delta(t)$ 与 Dirichlet 核卷积，得到以下方程：

$$\begin{cases} v_{\mu,\delta,t} = a_1(x)\, v_{\mu,\delta,xx} + a_2(x)\, v_{\mu,\delta,x} + a_3(x)\, v_{\mu,\delta}, & x > 0,\ t > 0 \\ v_{\mu,\delta}(1,t) = (V_\mu * p_\delta)(t), & t \geq 0 \\ v_{\mu,\delta}(x,0) = 0, & x > 0 \end{cases}$$

**方程(3.4)的解** （略）

**误差估计** 讨论了在先验和后验两种正则化参数选择规则下上述过程的收敛性分析。设 $v$ 和 $v_{\mu,\delta}$ 分别表示公式(1.1)的精确解和正则化近似解。

**算例部分** 在本节中，我们讨论所提方法的一些数值方面。数值实验使用 MATLAB R2017b 完成。在实验中，$N = 100$，离散区间为 $x \in [-10, 10]$。

假设序列 $\{p(x_i)\}_{i=1}^n$ 表示函数 $p(x)$ 在等距网格上的采样值，其中 $n$ 为偶数。然后我们对每个数据点添加随机均匀分布的扰动，得到扰动数据：

$$p_\delta = p + \mu \cdot \text{randn}(\text{size}(p))$$

其中 $p = (p(x_1), \ldots, p(x_n))^T$，$x_i = (i-1)\Delta x - 10$，$\Delta x = \frac{20}{n-1}$，$i = 1, \ldots, n$。

**最优近似分析** 文献[3]中提出的研究引入了一种先验正则化方法，但未提供后验正则化方法，也未包含任何数值验证。文献[19]虽然提出了后验正则化方法，但缺乏系统的理论分析，且未明确说明所展示的近似解是来自先验正则化方法还是后验正则化方法。

在本文中，我们同时呈现了先验和……

**结论** 在本研究中，我们提出了基于 Dirichlet 核的 mollification 方法来应对一般侧向抛物方程的不适定性问题。我们提供了正则化近似解，并基于先验和后验参数选择规则进行了收敛性分析。最后，我们包含了多个数值算例来说明所提方法的精度和有效性。

吕先丽 | 冯秀芳 | 何尚勤

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